基于FOPI+FOPD控制器的單區(qū)域電力系統(tǒng)頻率控制及電壓調(diào)節(jié)

崔明勇，曹 朋，朱大偉，唐英干，陸 瑤，呂 靜

(1.燕山大學(xué) 河北省電力電子節(jié)能與傳動控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；3.呼和浩特市城市燃?xì)鉄崃瘓F(tuán)有限公司，內(nèi)蒙古 呼和浩特010020)

0 引言

電力系統(tǒng)頻率與電壓穩(wěn)定是衡量電能質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，較小的頻率偏差和良好的端電壓響應(yīng)是可靠電源的特征。有功功率需求的變化影響頻率，而無功功率的變化影響電壓。自動發(fā)電控制單元包含負(fù)荷頻率控制與自動電壓調(diào)節(jié)，其中負(fù)荷頻率控制是保持頻率偏差在規(guī)定范圍內(nèi)；自動電壓調(diào)節(jié)是通過控制勵磁電壓將同步發(fā)電機(jī)的端電壓保持在規(guī)定的水平[1-2]，故上述兩方面的研究對提高電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性起著至關(guān)重要的作用。

隨著互聯(lián)電網(wǎng)的發(fā)展，電力系統(tǒng)對電壓和頻率質(zhì)量的要求越來越高，選擇一個(gè)性能可靠的控制器顯得尤為重要，控制器的選取涉及到兩方面的內(nèi)容，即控制器結(jié)構(gòu)的選取與控制器參數(shù)的獲取與調(diào)整。傳統(tǒng)的PID控制器結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)，控制效果較理想，所以在相關(guān)控制領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。但是由于實(shí)際電力系統(tǒng)通常具有非線性、時(shí)變不確定性、強(qiáng)干擾等特性，應(yīng)用常規(guī)PID控制器難以達(dá)到理想的控制效果。隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展，在科學(xué)與工程領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了分?jǐn)?shù)階PID(Fractional Order Proportional Integral Differential，F(xiàn)OPID)控制器的應(yīng)用[3-7]。文獻(xiàn)[8]指出FOPID控制器比傳統(tǒng)PID控制器具有更強(qiáng)的魯棒性，并且FOPID控制器對非線性過程具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。文獻(xiàn)[9]指出單獨(dú)使用模糊PI控制器在瞬態(tài)響應(yīng)中表現(xiàn)不佳，而單獨(dú)使用模糊PD控制器在消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力上表現(xiàn)欠缺，所以可將PI與PD控制器進(jìn)行級聯(lián)操作，混合兩種控制器的不同特點(diǎn)和優(yōu)勢，能夠在干擾傳遞到系統(tǒng)其他部分之前將其快速抑制。

對于控制器參數(shù)的選取與調(diào)整，文獻(xiàn)[10-13]分別采用遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法、細(xì)菌覓食優(yōu)化算法、蟻群算法優(yōu)化PID控制器參數(shù)，這些算法雖能夠獲得較快的收斂速度，但是可能會出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)的問題，而基于Levy變異的帝國競爭算法相比于傳統(tǒng)的帝國競爭算法以及傳統(tǒng)的優(yōu)化算法具有收斂速度快、避免陷入局部最優(yōu)、尋優(yōu)精度高等優(yōu)點(diǎn)[14]。故本文采用基于Levy變異的帝國競爭算法對控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

本文在FOPID以及PI+PD控制器的基礎(chǔ)上，提出分?jǐn)?shù)階比例積分(Fractional Order Proportional Integral，F(xiàn)OPI)與分?jǐn)?shù)階比例微分(Fractional Order Proportional Differential，F(xiàn)OPD)級聯(lián)的FOPI+FOPD控制器，并將其應(yīng)用到單區(qū)域電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制及自動電壓調(diào)節(jié)中。采用基于Levy變異的帝國競爭算法優(yōu)化控制器參數(shù)，在加入負(fù)荷擾動以及改變系統(tǒng)參數(shù)的情況下，通過與傳統(tǒng)PID、FOPID控制器對比分析可以得出，單區(qū)域電力系統(tǒng)采用FOPI+FOPD控制器具有更好的穩(wěn)定性以及魯棒性。

1 負(fù)荷頻率控制及自動電壓調(diào)節(jié)

在電力系統(tǒng)中負(fù)荷頻率控制是指控制有功功率和頻率，自動電壓調(diào)節(jié)是指控制無功功率和電壓，負(fù)荷頻率控制與自動電壓調(diào)節(jié)都可以看作是一個(gè)簡單的閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖1所示。針對一定的運(yùn)行條件對負(fù)荷頻率控制與自動電壓調(diào)節(jié)控制器參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，并根據(jù)負(fù)載需求的微小變化，調(diào)整汽輪機(jī)的進(jìn)氣量以及發(fā)電機(jī)的勵磁，從而可以將頻率和電壓保持在規(guī)定的限值內(nèi)。

1.1 負(fù)荷頻率控制模型

負(fù)荷頻率控制系統(tǒng)是通過調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)的調(diào)速器，將頻率保持在標(biāo)稱范圍內(nèi)，包含4個(gè)主要部分：調(diào)速器、汽輪機(jī)、發(fā)電機(jī)負(fù)荷和控制器。其中調(diào)速器、汽輪機(jī)、發(fā)電機(jī)負(fù)荷構(gòu)成主回路，這個(gè)主回路不足以獲得零穩(wěn)態(tài)誤差，因此需要增加一個(gè)控制器構(gòu)成次回路。本文采用FOPI+FOPD控制器，如圖2所示?？紤]到電網(wǎng)因頻率波動會引起汽輪機(jī)調(diào)速器頻繁動作，故設(shè)置調(diào)速器死區(qū)，以保護(hù)調(diào)速器，延長其使用壽命。調(diào)速器死區(qū)是一個(gè)具有滯后性的非線性問題，其輸入與輸出的關(guān)系為

當(dāng)函數(shù)Y接近正弦關(guān)系時(shí)，可以用描述函數(shù)法將Y用傅立葉級數(shù)展開，并取前3項(xiàng)得

其中，各式系數(shù)為

其中，ω0是系統(tǒng)角頻率，A是系統(tǒng)角頻率對應(yīng)的周期分量幅值，將具有死區(qū)的調(diào)速器線性化后，其傳遞函數(shù)為

圖1 負(fù)荷頻率控制與自動電壓調(diào)節(jié)示意圖Fig.1 Schematic diagram of load frequency control and automatic voltage regulation

圖2 負(fù)荷頻率控制模型Fig.2 Model of load frequency control

1.2 自動電壓調(diào)節(jié)模型

自動電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)是保持發(fā)電機(jī)端電壓恒定的局部閉環(huán)控制系統(tǒng)，將電壓傳感器測得的電壓和參考電壓之間的誤差放大并饋送到勵磁回路，通過調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)的勵磁調(diào)整無功功率平衡，保持系統(tǒng)電壓在限值之間。自動電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)包括放大器、勵磁機(jī)、發(fā)電機(jī)、傳感器和控制器，本文同樣采用FOPI+FOPD控制器，如圖3所示[15]。

圖3 自動電壓調(diào)節(jié)模型Fig.3 Model of automatic voltage regulation

1.3 負(fù)荷頻率控制和自動電壓調(diào)節(jié)組合模型

本文采用的組合模型如圖4所示，其中所涉及的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，常數(shù)增益如表2[16]所示。圖4中的ΔPLD為區(qū)域負(fù)荷波動引起的功率偏差，當(dāng)出現(xiàn)負(fù)荷擾動時(shí)，該區(qū)域頻率會出現(xiàn)偏差，并且端電壓也會發(fā)生變化，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)對頻率偏差及端電壓偏差進(jìn)行抑制。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of system

表2 常數(shù)增益Tab.2 Constant gain

最后通過考察區(qū)域內(nèi)的頻率偏差Δf以及系統(tǒng)端電壓響應(yīng)，評判控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其動態(tài)性能的優(yōu)劣。

圖4 負(fù)荷頻率控制與自動電壓調(diào)節(jié)組合模型Fig.4 Combination model of load frequency control and automatic voltage regulation

2 FOPI+FOPD控制器設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

現(xiàn)代分?jǐn)?shù)階微積分計(jì)算理論是由Riemann-Liouville和Caputo等人建立與完善的，其中應(yīng)用最廣的是Riemann-Liouville提出的定義：

(1)

其中，a是為初值，β為分?jǐn)?shù)階微分的階次。

分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以描述為

(2)

式中，α0<α1<…<αn，β0<β1<…<βm。

2.2 FOPI+FOPD控制器

FOPI+FOPD控制器如圖5所示，包含F(xiàn)OPI控制器與FOPD控制器，通過級聯(lián)方式連接。通過調(diào)節(jié)FOPI+FOPD控制器的6個(gè)參數(shù)，使FOPD控制器輸出值最小。

圖5 FOPI+FOPD級聯(lián)控制器Fig.5 FOPI+FOPD cascade controller

FOPI+FOPD控制器的微分方程為

u(t)=[(Kp1+KiD-λ)×(Kp2+KdDμ)]e(t)，

(3)

式中，u(t)為控制器輸出；e(t)為控制器的誤差輸入；D為微分算子；Kp1與Kp2為比例增益；Ki、Kd分別為積分系數(shù)、微分系數(shù)；λ和μ分別為積分階次、微分階次。

則FOPI+FOPD控制器的傳遞函數(shù)為

式中，μ>0,λ>0。

根據(jù)λ和μ的取值不同，可得到不同形式的FOPI+FOPD控制器。FOPI+FOPD控制器優(yōu)勢明顯，可將λ和μ改成任意階次，比整數(shù)階PID控制器操作靈活，應(yīng)用更加廣泛。

FOPI+FOPD控制器既具有PID控制器的優(yōu)點(diǎn)，又有單獨(dú)使用PI控制器與PD控制器時(shí)的特征，所以其適用范圍更廣，操作更加靈活，可調(diào)參數(shù)更多，具有良好的調(diào)節(jié)和追蹤能力，從而能獲得更好的系統(tǒng)性能。FOPI+FOPD控制器既適用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，也適用于傳統(tǒng)的整數(shù)階系統(tǒng)。

3 FOPI+FOPD控制器參數(shù)優(yōu)化

本文利用基于Levy變異的帝國競爭算法對FOPI+FOPD控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。本文將對負(fù)荷頻率控制器、自動電壓調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，將時(shí)間乘誤差絕對值積分(Integral of Time multiplied Absolute Error，ITAE)作為目標(biāo)函數(shù)，其結(jié)果可反映時(shí)域動態(tài)響應(yīng)[17]。

3.1 帝國競爭算法

帝國競爭算法(Imperialist Competitive Algorithm，ICA)是一種基于群體而衍生的智能優(yōu)化算法[18]，流程圖如圖6所示。

圖6 帝國競爭算法流程圖Fig.6 Flow chart of imperialist competitive algorithm

3.2 基于Levy變異的帝國競爭算法

變異是遺傳算法和進(jìn)化算法中的基本算子。本文采用Levy變異算子，從而保證其可覆蓋更廣的區(qū)間范圍。Levy變異根據(jù)Levy分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，在分布關(guān)于z=0對稱時(shí)，其概率密度函數(shù)為

(4)

式中，α為控制率密度函數(shù)的形狀，通常規(guī)定范圍為0<α<2；γ為尺度縮放因子，γ>0。

在ICA中，帝國集團(tuán)的搜索過程與優(yōu)化結(jié)果直接相關(guān)。由于各個(gè)帝國集團(tuán)的殖民地國家都朝帝國移動，一旦帝國陷入局部最優(yōu)，其所屬的殖民地則有可能陷入局部最優(yōu)，從而發(fā)生早熟現(xiàn)象。同時(shí)，種群的分散性也就丟失了。因此本文在帝國上增加變異操作。設(shè)P=[p1,p2,…,pNvar]表示帝國，變異過程實(shí)現(xiàn)如下:

式中，r為按照Levy分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)；k為尺度參數(shù)。

變異操作分別針對向量中的各個(gè)維度進(jìn)行，如果解的質(zhì)量有所提高，則變異成功。為了提高變異的成功率，本文對每一維進(jìn)行5次變異[19]。

3.3 負(fù)荷頻率控制與自動電壓調(diào)節(jié)控制器參數(shù)優(yōu)化

3.3.1負(fù)荷頻率控制器參數(shù)優(yōu)化

首先，將國家表示為向量形式，即P=[Kp1,Kp2,Ki,Kd,λ,μ]，P為FOPI+FOPD控制器的控制參數(shù)，并分別對P中的參數(shù)設(shè)置范圍、限定條件。單區(qū)域電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制的目標(biāo)函數(shù)為

(5)

其約束條件為

負(fù)荷頻率控制系統(tǒng)采用基于Levy變異的ICA算法得到的性能指標(biāo)ITAE收斂曲線如圖7所示，在FOPI+FOPD控制器參數(shù)優(yōu)化的過程中，采用基于Levy改進(jìn)的ICA算法相比PSO、ICA算法具有更快的收斂速度以及更高的收斂精度，可以獲得更小目標(biāo)函數(shù)值，故基于Levy變異的ICA算法能夠提高算法的全局收斂能力以及尋優(yōu)精度。

圖7 負(fù)荷頻率控制系統(tǒng)在不同算法下的ITAE收斂曲線Fig.7 ITAE convergence curves of load frequency control system under different algorithms

基于Levy變異的ICA算法優(yōu)化的負(fù)荷頻率控制器參數(shù)如表3。為了與FOPI+FOPD控制器的性能作對比分析，同樣采用該算法，得出PID控制器、FOPID控制器的參數(shù)記錄于表3中。

表3 負(fù)荷頻率控制器參數(shù)Tab.3 Load frequency controller parameters

3.3.2自動電壓調(diào)節(jié)控制器參數(shù)優(yōu)化

在自動電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，同樣采用基于Levy變異的ICA算法求解以式(6)為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)的FOPI+FOPD控制器參數(shù)，得到最佳的Kp1、Kp2、Ki、Kd、λ，μ最終獲得具有良好動態(tài)響應(yīng)特性的自動電壓調(diào)節(jié)控制器。

(6)

H是以ITAE準(zhǔn)則獲取得目標(biāo)函數(shù)，與3.3.1類似，自動電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)采用基于Levy變異的ICA算法得到的性能指標(biāo)ITAE收斂曲線如圖8所示。該算法具有更加良好的尋優(yōu)精度和收斂速度，對于同一種FOPI+FOPD控制器，基于Levy變異的ICA算法可獲得更小的ITAE目標(biāo)值。

圖8 自動電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)在不同算法下的ITAE收斂曲線Fig.8 ITAE convergence curves of automatic voltage regulation system under different algorithms

將該算法優(yōu)化的FOPI+FOPD控制器、PID控制器、FOPID控制器優(yōu)化參數(shù)記錄于表4。圖9給出了優(yōu)化目標(biāo)收斂圖，可以看出采用FOPI+FOPD控制器得到控制器參數(shù)更優(yōu)。

表4 自動電壓調(diào)節(jié)控制器參數(shù)Tab.4 Automatic voltage regulation controller parameters

圖9 不同控制器在相同算法下的ITAE收斂曲線Fig.9 ITAE convergence curves of different controllers under the same algorithm

4 仿真結(jié)果與分析

為了評估單區(qū)域電力系統(tǒng)采用不同控制器的穩(wěn)定性與魯棒性，本文在不同負(fù)荷擾動以及系統(tǒng)參數(shù)變化下，針對圖4所示系統(tǒng)進(jìn)行仿真，對比分析不同控制器作用下系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間、上升時(shí)間、超調(diào)量、ITAE參數(shù)，以及整體動態(tài)響應(yīng)性能。

4.1 動態(tài)響應(yīng)性能分析

為了驗(yàn)證本文所提出的控制器在不同初始條件下具有更優(yōu)的整體動態(tài)性能，系統(tǒng)分別采用PID控制器、FOPID控制器、FOPI+FOPD控制器，在初始條件為無擾動、加+0.1pu負(fù)荷擾動、加-0.1pu負(fù)荷擾動進(jìn)行仿真，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖10所示。

(a) 采用PID控制器

(b) 采用FOPID控制器

(c) 采用FOPI+FOPD控制器

根據(jù)系統(tǒng)頻率偏差響應(yīng)曲線，系統(tǒng)采用FOPI+FOPD控制器對頻率超調(diào)的抑制效果更加明顯，其最大超調(diào)量分別是采用FOPID控制器、PID控制器的1/3與1/4，能夠有效地抑制負(fù)荷擾動引起的系統(tǒng)頻率波動，并且整體響應(yīng)速度快，具有較好的整體動態(tài)性能。

4.2 控制器穩(wěn)定性分析

1) 加入瞬時(shí)負(fù)荷擾動

當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行后，在12 s時(shí)加入+0.1pu階躍負(fù)荷擾動，頻率偏差Δf及端電壓響應(yīng)曲線如圖11所示，系統(tǒng)的各項(xiàng)瞬態(tài)響應(yīng)性能參數(shù)如表5所示。

(b) 端電壓響應(yīng)曲線

表5 各控制器瞬態(tài)響應(yīng)特性Tab.5 Transient response characteristics of each controller

從圖11(a)頻率偏差響應(yīng)曲線中可以看出，負(fù)荷頻率控制采用FOPI+FOPD控制器時(shí)，其瞬態(tài)響應(yīng)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器和FOPID控制器，能夠很好地抑止系統(tǒng)頻率偏差，使系統(tǒng)很快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。采用FOPI+FOPD控制器時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的ITAE為0.35，比FOPID控制器減小了23.9%；Δf的調(diào)整時(shí)間為2.25 s，比傳統(tǒng)PID控制器快4 s左右。仿真結(jié)果可以看出，采用FOPI+FOPD控制器可比其他控制器更快、更平穩(wěn)地使系統(tǒng)頻率波動減小到零。

從圖11(b)端電壓響應(yīng)曲線中可以看出自動電壓調(diào)節(jié)控制器采用FOPI+FOPD控制器的優(yōu)越性，電壓調(diào)整時(shí)間為0.67 s，上升時(shí)間為0.13 s，大大縮短了端電壓從波動到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間，并且能夠?qū)崿F(xiàn)與額定電壓的穩(wěn)態(tài)誤差為零，對擾動具有較強(qiáng)的抗干擾性。

2) 加入隨機(jī)負(fù)荷擾動

為了驗(yàn)證系統(tǒng)采用FOPI+FOPD控制器的穩(wěn)定性，本文加入隨機(jī)負(fù)荷擾動，擾動發(fā)生時(shí)間與幅值為：3 s發(fā)生-0.1pu擾動、10 s發(fā)生+0.08pu擾動、15 s發(fā)生-0.06pu擾動，系統(tǒng)的頻率偏差與端電壓響應(yīng)曲線如圖12所示。

(a) 頻率偏差Δf響應(yīng)曲線

(b) 端電壓響應(yīng)曲線

從圖12(a)可以看出，系統(tǒng)仿真時(shí)間為25 s，在每次出現(xiàn)負(fù)荷擾動時(shí)，采用FOPID控制器時(shí)頻率偏差較大，需要較長的時(shí)間消除擾動帶來的影響。而采用FOPI+FOPD控制器時(shí)，超調(diào)量明顯下降，且系統(tǒng)能快速恢復(fù)穩(wěn)定，各項(xiàng)性能指標(biāo)都具有優(yōu)越性。從圖12(b)端電壓響應(yīng)曲線可以看出，采用FOPI+FOPD控制器時(shí)響應(yīng)迅速，具有更好的穩(wěn)定性，電壓響應(yīng)得到很好的改善。

4.3 控制器魯棒性分析

為分析采用FOPI+FOPD控制器時(shí)系統(tǒng)參數(shù)變化對其響應(yīng)性能的影響，本文將勵磁機(jī)時(shí)間常數(shù)Te、放大器時(shí)間常數(shù)Ta改變+50%與-50%，得出的系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖13、14所示，動態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)如表6所示。

(a) 頻率偏差Δf響應(yīng)曲線

(b) 端電壓響應(yīng)曲線

從上述仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，對系統(tǒng)的響應(yīng)影響較小，調(diào)節(jié)時(shí)間、上升時(shí)間、ITAE差別也較小，說明本文采用的FOPI+FOPD控制器具有較強(qiáng)的魯棒性，能夠很好地抵御系統(tǒng)參數(shù)變化帶來的影響，保持系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性。

(a) 頻率偏差Δf響應(yīng)曲線

(b) 端電壓響應(yīng)曲線

表6 系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)動態(tài)性能指標(biāo)Tab.6 Dynamic performance index when system parameters change

5 結(jié)論

本文針對電力系統(tǒng)頻率控制以及自動電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)發(fā)生擾動時(shí)控制器響應(yīng)速度較慢以及超調(diào)量較大的問題，提出了在單區(qū)域電力系統(tǒng)中采用FOPI+FOPD級聯(lián)控制器，并通過基于Levy變異的ICA算法優(yōu)化控制器參數(shù)。仿真驗(yàn)證了系統(tǒng)采用FOPI+FOPD控制器相比于傳統(tǒng)的PID控制器、分?jǐn)?shù)階PID控制器時(shí)系統(tǒng)頻率與電壓的調(diào)整時(shí)間分別縮短了13%以及18%，能夠更快速地將電力系統(tǒng)頻率波動減小到零、端電壓恢復(fù)到額定值。在負(fù)荷擾動以及系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，控制器能為系統(tǒng)提供較強(qiáng)的阻尼，將頻率與電壓偏差保持在規(guī)定的限值內(nèi)，系統(tǒng)可以獲得更小的ITAE與時(shí)域動態(tài)性能指標(biāo)，以及能夠獲得更好的穩(wěn)定性與魯棒性。