自爬升電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)及誤差分析

付玉行，韓龍光，趙延治,* ，李 偉，余發(fā)國(guó)，賀 勇

(1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；3.廊坊精雕數(shù)控機(jī)床制造有限公司，河北 廊坊 065000；4.秦皇島齊二數(shù)控機(jī)床有限公司，河北 秦皇島 066004)

0 引言

電梯安裝最主要的一項(xiàng)工作是進(jìn)行電梯導(dǎo)軌的安裝，電梯導(dǎo)軌安裝的質(zhì)量將決定整個(gè)電梯的運(yùn)行質(zhì)量。目前，無(wú)論是國(guó)內(nèi)還是國(guó)外，電梯本身生產(chǎn)與制造技術(shù)已日臻完善與成熟，但在電梯導(dǎo)軌安裝方面，即使全球著名品牌電梯公司，長(zhǎng)久以來(lái)也一直依靠人工作業(yè)來(lái)完成安裝。近年來(lái)隨著電梯安裝行業(yè)勞動(dòng)力成本高和危險(xiǎn)性高引起的“用工難、用工荒”頻現(xiàn)，甚至出現(xiàn)無(wú)人安裝的境況，多年來(lái)一直延續(xù)的電梯導(dǎo)軌安裝人工作業(yè)模式，已成為嚴(yán)重制約電梯行業(yè)發(fā)展的痛點(diǎn)，亟待實(shí)現(xiàn)技術(shù)變革。

針對(duì)電梯巷道這一特殊作業(yè)環(huán)境，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)電梯導(dǎo)軌自動(dòng)化設(shè)備進(jìn)行了研究。楊付龍等[1]設(shè)計(jì)了一種導(dǎo)軌軌距及垂直度自動(dòng)測(cè)量?jī)x，使導(dǎo)軌檢測(cè)技術(shù)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化；戚政武等[2]設(shè)計(jì)了一種電梯導(dǎo)軌攀爬機(jī)器人，該機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)電梯導(dǎo)軌的水平偏差、軌距偏差的監(jiān)測(cè)；天津市特種設(shè)備監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院王璇等[3]設(shè)計(jì)了一種電梯導(dǎo)軌多功能檢測(cè)機(jī)器人，可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)軌間距、導(dǎo)軌接頭處臺(tái)階、導(dǎo)軌支架距離及導(dǎo)軌垂直度等項(xiàng)目的自動(dòng)檢測(cè)；迅達(dá)公司研發(fā)了電梯導(dǎo)軌機(jī)器人，該機(jī)器人可以在巷道壁打孔并放入膨脹螺栓，但整體導(dǎo)軌支架的安裝還是依靠人工進(jìn)行。

導(dǎo)軌安裝最重要的是要保證導(dǎo)軌的安裝精度，導(dǎo)軌的安裝精度決定了電梯運(yùn)行的效果，導(dǎo)軌安裝精度的研究屬于幾何誤差建模分析類問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外已對(duì)此類問(wèn)題擴(kuò)展了系列研究，先后提出了D-H矩陣微分法[4]、矢量微分法[5]、指數(shù)積建模法[6]以及螺旋理論[7-8]等方法。其中D-H矩陣微分法應(yīng)用最為廣泛，通過(guò)構(gòu)建相鄰坐標(biāo)系變換矩陣的乘積和微分運(yùn)算，建立幾何誤差源與末端位姿誤差之間的映射關(guān)系。矢量微分法通過(guò)對(duì)空間閉環(huán)矢量方程做一階攝動(dòng)，合成幾何參數(shù)誤差對(duì)應(yīng)的微小位移矢量，進(jìn)而獲得機(jī)器人幾何誤差的傳遞關(guān)系。

為了定量分析和對(duì)比幾何誤差源的影響程度，靈敏度分析法被廣泛應(yīng)用到精度分析中。學(xué)者們分別根據(jù)誤差傳遞模型和誤差概率模型定義了多種形式的靈敏度指標(biāo)。王鑫輝等[9]利用靈敏度分析法求解出3-PRR全柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最佳構(gòu)型和靈敏度。Caro等[10]通過(guò)分析Orthoglidc機(jī)構(gòu)的靈敏度分析支鏈中同類誤差源對(duì)末端位置誤差影響。Cheng等[11]也采用該方法分析了多種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差特性，根據(jù)分析結(jié)果確定零部件制造的公差等級(jí)。李官明等[12]針對(duì)一種含閉環(huán)支鏈的平面結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差敏感度分析，基于誤差模型,得到了評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)誤差敏感度的指標(biāo)。張吉旺等[13]以一種三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ),分析其位姿誤差并提出了補(bǔ)償誤差的方法。

經(jīng)國(guó)內(nèi)外調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人多針對(duì)電梯導(dǎo)軌安裝過(guò)程中的部分工序?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)化，如垂直度檢測(cè)、軌距偏差測(cè)量、打孔及膨脹螺栓安裝，但能實(shí)現(xiàn)導(dǎo)軌及支架安裝過(guò)程中復(fù)雜工序，并且可保證垂向大行程、大載荷移動(dòng)的機(jī)器人卻鮮有報(bào)道。因此，設(shè)計(jì)研發(fā)兼具多作業(yè)任務(wù)協(xié)同技術(shù)和垂向大載荷自行走技術(shù)的電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人，已成為電梯安裝領(lǐng)域亟待解決的問(wèn)題。

為解決當(dāng)下人工安裝電梯導(dǎo)軌困難的問(wèn)題，本文將傳統(tǒng)電梯導(dǎo)軌安裝流程與特種機(jī)器人技術(shù)相結(jié)合，針對(duì)電梯導(dǎo)軌安裝中具體需求與實(shí)際工藝流程，創(chuàng)新設(shè)計(jì)自升式電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)機(jī)構(gòu)的自由度、輸入選取和位置正反解等進(jìn)行了分析。除此之外，分析了不同誤差源對(duì)導(dǎo)軌安裝精度的影響，找到了對(duì)導(dǎo)軌位置誤差影響較大的主要因素，為實(shí)現(xiàn)電梯導(dǎo)軌自動(dòng)化安裝奠定基礎(chǔ)。

1 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為方便設(shè)備運(yùn)輸，實(shí)現(xiàn)巷道內(nèi)快速組裝，整體采用模塊化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，本文設(shè)計(jì)的電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人系統(tǒng)共分為4個(gè)模塊，分別是爬升模塊、下工作模塊、上工作模塊和運(yùn)軌模塊，前三個(gè)相鄰模塊之間通過(guò)導(dǎo)向定位機(jī)構(gòu)進(jìn)行連接，運(yùn)軌系統(tǒng)模塊通過(guò)卷?yè)P(yáng)機(jī)與機(jī)器人本體連接。爬升模塊用于爬升和整體固定，上、下工作模塊用于完成具體安裝作業(yè)任務(wù)，運(yùn)軌模塊用于運(yùn)輸待安裝導(dǎo)軌。電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人機(jī)械系統(tǒng)方案如圖1所示。

圖1 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人機(jī)械系統(tǒng)方案Fig.1 System solution for installing robots on elevator guide rails

1) 爬升模塊由上層卷?yè)P(yáng)機(jī)和底層爬升模塊組成，卷?yè)P(yáng)機(jī)使機(jī)器人實(shí)現(xiàn)快速移動(dòng)，底層爬升模塊實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的精確定位，由伺服電機(jī)通過(guò)齒輪減速驅(qū)動(dòng)絲母旋轉(zhuǎn)，伺服電機(jī)和絲杠可以保證機(jī)器人的爬升精度，使機(jī)器人實(shí)現(xiàn)垂向高精度移動(dòng)；

2) 下工作模塊的功能是完成導(dǎo)軌提升、導(dǎo)軌接頭和下檔導(dǎo)軌支架的安裝，該模塊主要由夾軌裝置、焊接裝置、擰緊裝置、機(jī)架、下工作動(dòng)平臺(tái)組成；

3) 上工作模塊的功能是完成井壁打孔、導(dǎo)軌固定、上檔導(dǎo)軌支架的安裝，該模塊主要由夾軌裝置、打孔裝置、擰緊裝置、機(jī)架、上工作動(dòng)平臺(tái)組成；

4) 運(yùn)軌模塊的功能是完成待安裝導(dǎo)軌的運(yùn)輸,將地面安裝好支架的導(dǎo)軌運(yùn)輸?shù)綑C(jī)器人所在的位置，為機(jī)器人安裝提供原料。

電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人系統(tǒng)整體方案示意圖如圖2所示，為更清晰地體現(xiàn)出各模塊之間的關(guān)系，其中擰緊、打孔等具體功能執(zhí)行裝置未做示意。

圖2 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人整體方案示意圖Fig.2 Schematic diagram of the overall structure of the elevator guide rail installation robot

2 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析

2.1 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化

將電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人整體模型簡(jiǎn)化，以單根導(dǎo)軌的安裝為例：當(dāng)進(jìn)行導(dǎo)軌安裝時(shí)，機(jī)器人整體框架固定在已安裝導(dǎo)軌上，故可以將機(jī)器人整體框架等效成靜平臺(tái)；兩個(gè)夾軌器分別固定于上下動(dòng)平臺(tái)上的十字滑臺(tái)上，上下兩個(gè)動(dòng)平臺(tái)可以沿Z軸移動(dòng)，因此將上下兩個(gè)動(dòng)平臺(tái)等效成沿垂直方向的兩個(gè)移動(dòng)副，上下兩個(gè)動(dòng)平臺(tái)上十字滑臺(tái)等效成兩個(gè)相互垂直的移動(dòng)副；夾軌器夾持待安裝導(dǎo)軌進(jìn)行位姿的調(diào)整，將待安裝導(dǎo)軌等效為剛體，兩個(gè)夾軌器夾持待安裝導(dǎo)軌等效成兩個(gè)萬(wàn)向鉸；待安裝導(dǎo)軌由兩個(gè)分支夾持進(jìn)行安裝作業(yè)，故將待安裝導(dǎo)軌等效成動(dòng)平臺(tái)，機(jī)器人夾持待安裝導(dǎo)軌構(gòu)成兩個(gè)閉合回路，因此電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人單根導(dǎo)軌安裝等效為一個(gè)兩分支并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-PPPU。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)兩個(gè)分支為：分支一：上動(dòng)平臺(tái)-十字滑臺(tái)1-夾軌裝置-待安裝導(dǎo)軌；分支二：下動(dòng)平臺(tái)-十字滑臺(tái)2-夾軌裝置-待安裝導(dǎo)軌。等效機(jī)構(gòu)如圖3所示。

通過(guò)分析機(jī)器人安裝導(dǎo)軌過(guò)程，可以看出整個(gè)電梯導(dǎo)軌安裝的精度與每根導(dǎo)軌的安裝位置有關(guān)系，而四根待安裝導(dǎo)軌使用同一個(gè)機(jī)器人安裝，四根導(dǎo)軌之間會(huì)相互影響，電梯整體的安裝精度由四根導(dǎo)軌的安裝精度共同決定。因此，在分析導(dǎo)軌安裝時(shí)將四根待安裝導(dǎo)軌等效成并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)，已安裝導(dǎo)軌為固定平臺(tái)，固定平臺(tái)與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)之間由四個(gè)分支連接，每個(gè)分支由2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成。該機(jī)器人導(dǎo)軌安裝等效機(jī)構(gòu)如圖4所示。

圖3 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic diagram of elevator guide rail installation robot mechanism

圖4 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人等效機(jī)構(gòu)Fig.4 Elevator rail installation robot equivalent mechanism

2.2 自由度分析與輸入選擇

1) 自由度計(jì)算

建立如圖5所示的坐標(biāo)系O-XYZ，對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)使用運(yùn)動(dòng)螺旋進(jìn)行分析，各分支螺旋及坐標(biāo)系如圖5所示。

圖5 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)螺旋Fig.5 Elevator guide rail installation robot mechanism motion spiral

根據(jù)螺旋理論[14]，第i(i=1,2)分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為

對(duì)支鏈i的運(yùn)動(dòng)螺旋系求反螺旋，得到其約束螺旋系為

2) 輸入選擇

電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人有兩個(gè)分支，共有5個(gè)自由度，實(shí)際工作時(shí)選取一個(gè)分支的3個(gè)移動(dòng)副和另一個(gè)分支的兩個(gè)移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副，兩個(gè)支鏈中的運(yùn)動(dòng)副輸入耦合，對(duì)兩個(gè)分支的輸入選擇進(jìn)行討論，驗(yàn)證驅(qū)動(dòng)副的選取是否合理[15]。

將分支一的3個(gè)移動(dòng)副鎖死，分支一對(duì)動(dòng)平臺(tái)所有的約束反螺旋為

a) 當(dāng)分支二Z、Y軸驅(qū)動(dòng)副鎖死后，分支二對(duì)動(dòng)平臺(tái)的總的約束反螺旋為

則兩個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)總的約束反螺旋系為

通過(guò)計(jì)算可得dim($r)=6，所以選取的輸入較為合理。

b) 當(dāng)分支二Z、X軸驅(qū)動(dòng)副鎖死后，分支二對(duì)動(dòng)平臺(tái)總的約束反螺旋為

則兩個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)總的約束反螺旋系為

通過(guò)計(jì)算可得dim($r)=6，所以選取的輸入較為合理。

c) 當(dāng)分支二Y、X軸驅(qū)動(dòng)副鎖死后，分支二對(duì)動(dòng)平臺(tái)總的約束反螺旋為

則兩個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)總的約束反螺旋系為

通過(guò)計(jì)算可得dim($r)=6，所以選取的輸入較為合理。

三種輸入方式都可以滿足自由度輸入，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況輸入加載的方便性，選取分支一的3個(gè)移動(dòng)副和分支二X和Y軸的移動(dòng)為輸入副。

2.3 2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析

2.3.12-PPPU機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系

2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型及坐標(biāo)系的建立如圖6所示：機(jī)器人框架上建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)基坐標(biāo)系O-XYZ，在待安裝導(dǎo)軌上建立動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz，其中P點(diǎn)位于待安裝導(dǎo)軌底端中心，Z軸沿待安裝導(dǎo)軌長(zhǎng)度方向，Y、X與定坐標(biāo)系相應(yīng)的軸線平行。兩個(gè)分支分別由X、Y、Z三個(gè)方向的移動(dòng)副和一個(gè)虎克鉸組成。A1、B1、C1、D1分別為分支一運(yùn)動(dòng)副的中心，A2、B2、C2、D2分別為分支二運(yùn)動(dòng)副的中心。

圖6 2-PPPU機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.6 Coordinate system of 2-PPPU mechanism

2.3.2位置正反解

設(shè)動(dòng)平臺(tái)繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)α繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)β，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)定平臺(tái)的姿態(tài)變換矩陣為

R=R(x,α)R(y,β)=

通過(guò)姿態(tài)變換矩陣建立D1點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的關(guān)系：

oD1=RpD1+oP，

(1)

通過(guò)構(gòu)型分析，可以得到

(2)

聯(lián)立以上兩式，可以得到

對(duì)上式矩陣計(jì)算可得分支一的輸入表達(dá)式

通過(guò)D2點(diǎn)建立在不同坐標(biāo)系下的關(guān)系：

oD2=RpD2+oP，

(3)

通過(guò)構(gòu)型分析，可以得到

聯(lián)立上式可以得到方程組

綜上，已知?jiǎng)悠脚_(tái)位姿時(shí)，可以得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-PPPU反解為

(4)

通過(guò)式(4)可知，已知末端位置，可求出并聯(lián)機(jī)構(gòu)唯一的輸入驅(qū)動(dòng)變量。

根據(jù)2-PPPU結(jié)構(gòu)可得兩個(gè)分支與動(dòng)平臺(tái)的鉸接點(diǎn)OD1、OD2在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為

根據(jù)點(diǎn)OD1、OD2可以求出過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為

(x-d3-l1)/(d5-d3)=(y-d2)/(d4-d2)=

(z-d1)/(l-d1)。

設(shè)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)

則可得

由上式可得到正解：

2.3.3位置正反解驗(yàn)證

給定2-PPPU機(jī)構(gòu)的初始位姿，假設(shè)該機(jī)構(gòu)兩個(gè)分支移動(dòng)副與定坐標(biāo)系之間的距離l10=3 200 mm、l20=700 mm，h1=2 750 mm、h2=250 mm，l0=690 mm。假設(shè)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)參考坐標(biāo)點(diǎn)沿某一運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行位姿變換，給定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡為

(5)

通過(guò)式(5)中給定的動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡方程求出在給定動(dòng)平臺(tái)位姿軌跡時(shí)各驅(qū)動(dòng)的大小，圖7為計(jì)算出的各驅(qū)動(dòng)隨時(shí)間變化曲線，可根據(jù)該曲線進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的控制。

圖7 機(jī)器人位置反解Fig.7 Inverse solution of robot position

2.4 多根導(dǎo)軌安裝運(yùn)動(dòng)分析

在巷道全局坐標(biāo)系下，假設(shè)巷道不同高度待安裝導(dǎo)軌參考點(diǎn)位姿滿足函數(shù)關(guān)系：

F(x,y,z,α,β,H)=0，

(6)

式中，H為巷道高度，x、y、z、α、β分別為當(dāng)前高度待安裝導(dǎo)軌理想安裝位姿坐標(biāo)。

初始狀態(tài)時(shí)已安裝導(dǎo)軌固定在巷道墻壁上，導(dǎo)軌安裝機(jī)器人沿已安裝導(dǎo)軌向上爬升H固定在已安裝導(dǎo)軌的端部，導(dǎo)軌安裝機(jī)器人夾持待安裝導(dǎo)軌進(jìn)行安裝對(duì)接。理想狀態(tài)下，電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人夾持待安裝導(dǎo)軌在空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使待安裝導(dǎo)軌滿足理想安裝位姿公式(6)，同時(shí)保證待安裝導(dǎo)軌下端面陰榫與已安裝導(dǎo)軌上端面陽(yáng)榫對(duì)接。當(dāng)完成當(dāng)前導(dǎo)軌安裝后，機(jī)器人整體向上爬升到已安裝導(dǎo)軌固定位置進(jìn)行下一根導(dǎo)軌的安裝。以此類推完成巷道導(dǎo)軌的安裝。

對(duì)單根導(dǎo)軌連續(xù)安裝進(jìn)行分析，首先建立全局坐標(biāo)系M-XYZ，Z軸沿巷道軸線豎直向上，X軸與兩側(cè)轎廂導(dǎo)軌連線平行方向指向右側(cè)轎廂導(dǎo)軌，Y軸方向按右手法則確定。每一根待安裝導(dǎo)軌固連一個(gè)坐標(biāo)系Pi-xyz，如圖8所示。

圖8 連續(xù)導(dǎo)軌安裝示意圖Fig.8 Schematic diagram of continuous rail installation

在機(jī)器人進(jìn)行導(dǎo)軌安裝時(shí)，機(jī)器人框架坐標(biāo)系{O′}固定在機(jī)器人框架整體的底面，其坐標(biāo)軸方向與巷道整體坐標(biāo)系方向相同。待安裝導(dǎo)軌固定在已安裝導(dǎo)軌上，當(dāng)安裝第i根導(dǎo)軌時(shí)，可得

人工首先安裝基準(zhǔn)導(dǎo)軌，記做第0根導(dǎo)軌。當(dāng)安裝第i根時(shí)，已知巷道參數(shù)：

Fi(xi,yi,zi,αi,βi,Hi)=0

激光測(cè)距儀和陀螺儀測(cè)得此時(shí)框架整體的位姿參數(shù)為Oi(xi′,yi′,zi′,αi′,βi′,0)，由于機(jī)器人整體沿四根導(dǎo)軌豎直向上爬升，Z方向的旋轉(zhuǎn)誤差幾乎不存在，不考慮框架繞Z軸的旋轉(zhuǎn)，則

根據(jù)式(7)可以得第i根導(dǎo)軌相對(duì)于機(jī)器人框架的位姿矩陣：

3 電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人誤差建模

3.1 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系

使用矢量法建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，首先建立坐標(biāo)系，如圖9所示，機(jī)構(gòu)靜坐標(biāo)系{O}坐標(biāo)原點(diǎn)O位于已安裝導(dǎo)軌底端，動(dòng)坐標(biāo)系{O′}坐標(biāo)系原點(diǎn)O′位于待安裝導(dǎo)軌底端，對(duì)于分支i(i=1,2)，Ai為桿一在Z軸移動(dòng)副的初始位置，同時(shí)也是坐標(biāo)系{Ai}的坐標(biāo)原點(diǎn)。在理想狀態(tài)下，{Ai}各坐標(biāo)軸與機(jī)構(gòu)靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向相同，RAi為坐標(biāo)系{Ai}相對(duì)于靜坐標(biāo)系的姿態(tài)變換矩陣，Bi點(diǎn)為桿二移動(dòng)副的中心點(diǎn)，以此點(diǎn)建立坐標(biāo)系{Bi}，在理想狀態(tài)下，坐標(biāo)系各坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向與機(jī)構(gòu)相應(yīng)的坐標(biāo)軸方向相同。RBi為坐標(biāo)系{Bi}相對(duì)于坐標(biāo)系{Ai}的姿態(tài)變換矩陣，Ci為桿三移動(dòng)副原點(diǎn)，以此點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系{Ci}，坐標(biāo)系各軸方向與機(jī)構(gòu)相應(yīng)的坐標(biāo)軸方向相同，Di為桿三與動(dòng)平臺(tái)的鉸接點(diǎn)。

3.2 導(dǎo)軌安裝綜合誤差建模

由圖9可知該并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在兩個(gè)矢量閉環(huán)，分支一的矢量閉環(huán)如圖10所示。

圖9 2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.9 2-PPPU parallel mechanism coordinate system

圖10 分支一矢量鏈閉環(huán)Fig.10 Branch-vector chain closed loop

RAi=R(X,θAix)R(Y,θAiy)R(Z,θAiz)=

其中，θAix、θAiy、θAiz為坐標(biāo)系{Ai}相對(duì)于坐標(biāo)系{O}繞X軸、Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，轉(zhuǎn)動(dòng)角度誤差為δθAix、δθAiy、δθAiz，桿一驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)為li1，桿長(zhǎng)誤差δli1。

RBi=R(X,θBix)R(Y,θBiy)R(Z,θBiz)=

其中，θBix、θBiy、θBiz為坐標(biāo)系{Bi}相對(duì)于坐標(biāo)系{Ai}繞X軸、Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，轉(zhuǎn)動(dòng)角度誤差為δθBix、δθBiy、δθBiz，驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)為li2，桿長(zhǎng)誤差δli2。

桿三做直線運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)閑i3，其理論位置與實(shí)際位置的存在一定的偏差，導(dǎo)軌沿X軸做直線運(yùn)動(dòng)，向量修正的位姿變換矩陣

RCi=R(X,θCix)R(Y,θCiy)R(Z,θCiz)=

其中，θx、θy分別為動(dòng)平臺(tái)繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

根據(jù)上述建立的坐標(biāo)系和假設(shè)變量，建立分支i的矢量閉環(huán)方程。

對(duì)第i個(gè)閉環(huán)矢量方程兩端進(jìn)行微分可得

dli1RAiei1+li1dRAiei1+dli2RAiRBiei2+

li2dRAiRBiei2+li2RAidRBiei2+dli3RAiRBiRCiei3+

li3dRAiRBiRCiei3+li3RAidRBiRCiei3+

li3RAiRBidRCiei3+dli4wi+li4dwi=dPi+dRai+Rdai,

對(duì)于任意姿態(tài)變換矩陣R有δR=ΔR×R，其中：

令

分別為旋轉(zhuǎn)誤差向量，則可以得到

dRAi=δθAi×RAi,dRBi=δθBi×RBi,

dR=δθ×R,dRCi=δθCi×RCi，

li1(RAiei1×wi)T+li2(RAiRBiei2×wi)T+li3(RAiRBiRCiei3×wi)T

考慮兩個(gè)分支，令

則可以得到

(7)

式(7)表達(dá)了零部件誤差與動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)誤差之間的傳遞關(guān)系，由于兩個(gè)分支結(jié)構(gòu)對(duì)稱，假設(shè)各分支中相同零部件的制造誤差相等，于是在F中只有8個(gè)元素獨(dú)立。

(8)

式(8)即為2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，從上式中可以看出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)共包含26項(xiàng)誤差，動(dòng)平臺(tái)的誤差影響因素為：各移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)δl、移動(dòng)副軸線偏差δθi和動(dòng)平臺(tái)與連桿鉸接點(diǎn)的位置誤差向量δai。

3.3 機(jī)器人誤差分析

由誤差表達(dá)式可以看出機(jī)構(gòu)末端位姿誤差與機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)誤差有很大的關(guān)系，通過(guò)對(duì)驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)誤差規(guī)律進(jìn)行仿真，得到了驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)誤差對(duì)末端位姿誤差的影響規(guī)律，本節(jié)主要討論驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)變化對(duì)機(jī)器人末端輸出誤差的影響。

當(dāng)不考慮移動(dòng)副軸線偏轉(zhuǎn)誤差，即δθA1=δθB1=δθC1=δθA2=δθB2=δθC2=0時(shí)，設(shè)定零點(diǎn)誤差(初始位置沒(méi)有回歸零點(diǎn)的誤差)分別為(假設(shè)各零點(diǎn)誤差均為正)：

δl11=2.5,δl12=1,δl13=1.5，

δl22=1.2,δl23=1。

給定每個(gè)輸入軸運(yùn)動(dòng)函數(shù)為

考慮各移動(dòng)副軸線誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)輸出誤差的影響，在給定輸入的情況下，討論不同軸線角度誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)的輸出影響進(jìn)行探究，繪制如圖11所示曲線。

圖11(a)、(b)分別表示輸入誤差對(duì)X軸、Z軸的位置誤差。除此之外，輸入誤差對(duì)Y軸的位置誤差以及對(duì)各軸線的末端角度輸出誤差影響較小，在實(shí)際安裝過(guò)程中不受影響。

當(dāng)不考慮驅(qū)動(dòng)誤差時(shí)，討論各移動(dòng)副軸線偏角誤差對(duì)末端位姿的影響。通過(guò)MATLAB仿真計(jì)算得到3個(gè)方向的轉(zhuǎn)角誤差對(duì)末端誤差的影響。討論Z向?qū)к壿S線偏角誤差對(duì)末端位姿的影響。假設(shè)δθA1y=0.2°,δθA1z=0.3°，考慮導(dǎo)軌X方向誤差對(duì)末端位姿的影響，如圖12(a)、(b)所示；令δθA1x=0.1°,δθA1z=0.3°，考慮導(dǎo)軌Y方向轉(zhuǎn)角誤差對(duì)末端位姿的影響,如圖12(c)、(d)所示；令δθA1x=0.1°,δθA1z=0.3°考慮導(dǎo)軌Z方向轉(zhuǎn)角誤差對(duì)末端位姿的影響，如圖12(e)、(f)所示。

圖11 驅(qū)動(dòng)誤差對(duì)末端位姿的影響Fig.11 The influence of drive error on end pose

圖12 動(dòng)平臺(tái)軸線誤差對(duì)末端位姿的影響Fig.12 Influence of axis error of moving platform on end pose

考慮Y向?qū)к壿S線偏角誤差對(duì)末端位姿的影響，假設(shè)δθB1x=0.1°,δθB1z=0.3°考慮導(dǎo)軌X方向偏角誤差對(duì)末端位姿的影響，如13(a)、(b)所示；令δθB1x=0.1°,δθB1z=0.3°考慮導(dǎo)軌Y方向偏角誤差對(duì)末端位姿的影響，如圖13(c)、(d)所示；令δθB1x=0.1°,δθB1z=0.3°；考慮導(dǎo)軌Z方向偏角誤差對(duì)末端位姿的影響，如13(e)、(f)所示。

考慮X向?qū)к壵`差對(duì)末端位姿的影響。令δθC1y=0.2°,δθC1z=0.3°考慮導(dǎo)軌X偏角誤差對(duì)末端位姿的影響，如圖14(a)、(b)所示；令δθC1x=0.1°,δθC1z=0.3°考慮導(dǎo)軌Y軸偏角誤差對(duì)末端位姿的影響，如圖14(c)、(d)所示；令δθC1x=0.1°,δθC1z=0.3°考慮導(dǎo)軌偏角誤差對(duì)末端的影響，如圖14(e)、(f)所示。

圖13 Y向?qū)к壿S線誤差對(duì)末端位姿的影響Fig.13 The influence of Y-direction guide axis error on end pose

圖14 轉(zhuǎn)角誤差對(duì)末端位姿的影響Fig.14 The influence of angle error on end pose

當(dāng)分別給定3個(gè)移動(dòng)副軸線偏角誤差，討論每個(gè)移動(dòng)副軸線偏角誤差對(duì)末端位置和姿態(tài)的影響，通過(guò)以上曲線可以看出，各移動(dòng)副軸線誤差對(duì)末端位姿的影響隨誤差的變化成線性變化。從各曲線變化范圍可以看出，軸線偏轉(zhuǎn)誤差對(duì)末端姿態(tài)的影響較小，但對(duì)位置的影響較大，為后續(xù)誤差補(bǔ)償提供了方向。

4 結(jié)論

將傳統(tǒng)電梯導(dǎo)軌安裝流程與特種機(jī)器人技術(shù)相結(jié)合，針對(duì)電梯導(dǎo)軌安裝中具體需求與實(shí)際工藝流程，設(shè)計(jì)了具有多作業(yè)任務(wù)的機(jī)器人作業(yè)單元本體實(shí)現(xiàn)方案和垂向大載荷安裝機(jī)器人自爬升方案，可代替?zhèn)鹘y(tǒng)人工安裝實(shí)現(xiàn)電梯導(dǎo)軌的自動(dòng)化安裝。將設(shè)計(jì)的電梯導(dǎo)軌安裝機(jī)器人簡(jiǎn)化為2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度、輸入選取和位置正反解等進(jìn)行了分析，得到了等效動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制提供了參考。采用矢量法構(gòu)造出2-PPPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差模型，分別分析了驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)誤差、移動(dòng)副軸線偏轉(zhuǎn)誤差對(duì)導(dǎo)軌安裝末端位姿的影響，結(jié)果表明移動(dòng)副軸線偏轉(zhuǎn)誤差對(duì)導(dǎo)軌位置的影響較大，為后續(xù)的誤差補(bǔ)償提供了理論參考。