基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的任意邊界下梁橫振特性分析

黃 櫻，郭詠梅

基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的任意邊界下梁橫振特性分析

黃 櫻1，郭詠梅2

（1.河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450005；2.長(zhǎng)安大學(xué)，陜西 西安 710000）

【目的】船舶工程、海洋工程、汽車工程等相關(guān)領(lǐng)域涉及大量的梁結(jié)構(gòu)，其振動(dòng)特性直接關(guān)系到整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制?！痉椒ā繉⒘航Y(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)位移采用一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)展開，運(yùn)用Rayleigh-Ritz能量法進(jìn)行求解，建立任意彈性邊界條件下梁橫向振動(dòng)特性統(tǒng)一求解模型；在此基礎(chǔ)上，分析不同邊界條件對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響規(guī)律?！窘Y(jié)果與結(jié)論】基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)，利用Rayleigh-Ritz能量法建立的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)的求解模型與解析解基本相同，具有良好的準(zhǔn)確性，且優(yōu)于Ansys仿真解。本研究可為船海工程等梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)理研究與優(yōu)化提供參考。

歐拉-伯努利梁；橫振；任意邊界；改進(jìn)傅里葉法

船舶工程、海洋工程、汽車工程等相關(guān)領(lǐng)域涉及大量的梁結(jié)構(gòu)，特別是船舶龍骨、肋骨、縱骨，甲板橫梁、縱桁，以及海洋平臺(tái)主體桁架結(jié)構(gòu)，其振動(dòng)特性直接關(guān)系到整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，影響整體結(jié)構(gòu)的正常使用。因此，梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析對(duì)整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制具有非常重要的研究意義。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)梁結(jié)構(gòu)在經(jīng)典邊界條件下的振動(dòng)解析解進(jìn)行大量研究，研究方法包括集中質(zhì)量法、Rayleigh-Ritz能量法、假設(shè)模態(tài)法、加權(quán)參數(shù)法（伽遼金法）、傳遞矩陣法等。鮑四元等[1]基于Rayleigh-Ritz法研究不同截面彈性多跨梁的橫向振動(dòng)。許得水等[2]和周海軍等[3]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法分別研究任意邊界下桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和軸系回旋振動(dòng)。周海軍等[3-4]推導(dǎo)出帶集中質(zhì)量的梁回旋方程和橫向振動(dòng)方程。杜敬濤等[5]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)研究任意邊界下桿縱向振動(dòng)特性。Hozhabrossadati等[6]采用集中質(zhì)量法研究Euler-Bernoulli梁的自由振動(dòng)。Kim等[7]和Li[8-9]均使用傅里葉級(jí)數(shù)法研究任意邊界梁的橫向振動(dòng)。Shin等[10]應(yīng)用微分變換法分析Euler-Bernoulli梁在變軸力作用下的橫向振動(dòng)。

由于梁結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)求解時(shí)會(huì)遇到超越方程，計(jì)算其固有頻率十分困難。因此，有限差分法[11-12]、邊界元法[13]和有限元法[14]等數(shù)值方法也大量應(yīng)用于梁結(jié)構(gòu)分析。其中，有限元法是研究該類問題的主要方法，Erdelyi等[15]和錢管良[16]分別使用有限元法研究多層梁和裂紋梁的振動(dòng)特性。然而，數(shù)值方法在求解過程中需要將結(jié)構(gòu)離散化，高頻精確度較差，且不適合進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化等方面的研究；同時(shí)，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，振動(dòng)結(jié)構(gòu)邊界條件并非理想的經(jīng)典邊界條件，對(duì)彈性邊界的研究更具工程價(jià)值。鑒于此，本研究提出一種基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的任意彈性邊界條件下梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析模型，統(tǒng)一傅里葉級(jí)數(shù)求解方法，分析任意彈性邊界下梁的振動(dòng)特性，以及不同邊界條件對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響規(guī)律，以期為船舶、海洋平臺(tái)等骨架的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究提供設(shè)計(jì)參考。

1 理論建模

1.1 彈性約束邊界條件

考慮到梁結(jié)構(gòu)厚度尺寸遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度尺寸，本研究使用適用于求解細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的Euler-Bernoulli梁理論。圖1為簡(jiǎn)化梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型，兩端引入線性約束彈簧及旋轉(zhuǎn)約束彈簧以模擬彈性邊界條件，對(duì)應(yīng)的彈簧剛度分別為0、k、0和K。

當(dāng)剛度系數(shù)取某有限值時(shí)，可表示彈性約束邊界條件。將彈簧剛度系數(shù)取零或無(wú)窮大可以模擬自由或固支邊界條件（表1）。和分別為梁的長(zhǎng)度、楊氏模量、慣性矩和密度，橫向振動(dòng)位移用(,)表示。

圖1 彈性邊界約束梁橫向振動(dòng)模型

表1 彈簧剛度設(shè)定值

根據(jù)梁結(jié)構(gòu)兩端的力平衡關(guān)系，邊界條件方程可寫為如下形式：

在= 0處，

在=處，

1.2 位移場(chǎng)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式

在經(jīng)典邊界條件下，振動(dòng)位移函數(shù)可采用傅里葉正弦或余弦級(jí)數(shù)展開，但是在梁結(jié)構(gòu)兩端，即=0或=處，會(huì)出現(xiàn)位移導(dǎo)數(shù)始終為零的情況，無(wú)法研究彈性邊界條件下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。為克服傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在彈性邊界的求導(dǎo)不連續(xù)問題，梁結(jié)構(gòu)橫向位移采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)展開為

圖2 輔助函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

由圖2，可知

1.3 Rayleigh-Ritz法求解

基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)，可利用Rayleigh-Ritz能量法結(jié)合Hamilton原理來(lái)確定振動(dòng)位移函數(shù)的未知系數(shù)，從而建立統(tǒng)一的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程求解形式。

無(wú)外部作用力時(shí)，梁結(jié)構(gòu)的拉格朗日方程為

其中，Le是拉格朗日量，是梁結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能，是梁結(jié)構(gòu)的總動(dòng)能。梁結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能包含兩個(gè)部分，分別是結(jié)構(gòu)的勢(shì)能及邊界彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能。

任意邊界條件下梁（圖1）的橫向振動(dòng)總勢(shì)能表達(dá)式為

其中，梁結(jié)構(gòu)勢(shì)能beam為

模擬彈性邊界的彈簧勢(shì)能spring為

梁結(jié)構(gòu)總動(dòng)能為

其中，是角頻率，是梁的橫截面積。

結(jié)合Rayleigh-Ritz法及Hamilton原理[17]，對(duì)其中每個(gè)未知系數(shù)求極值，可以得到一系列方程組

將式(5)帶入式(13)，可得矩陣表達(dá)形式

其中，

在矩陣、中，11、22和11、22分別為對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和輔助函數(shù)系數(shù)的對(duì)稱項(xiàng)，12、21和12、21分別為對(duì)應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和輔助函數(shù)系數(shù)的耦合項(xiàng)。

通過以上分析，橫向振動(dòng)的固有頻率和特征向量可以通過求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題得到。每一個(gè)特征向量包含結(jié)構(gòu)模態(tài)的所有未知系數(shù)，將系數(shù)帶入振動(dòng)位移表達(dá)式中即可得到真實(shí)的模態(tài)。

2 數(shù)值算例分析

本研究選取某海洋工程平臺(tái)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真模型分析，該平臺(tái)縱梁為QSTE700TM矩形型材60 mm × 40 mm × 2.5 mm，截面的抗彎慣性矩為2.347 × 10-7m4，橫截面積為4.75 × 10-4m2，長(zhǎng)度= 3.0 m，材料密度= 7 850 kg/m3，楊氏模量= 2.06 × 1011Pa。為方便后續(xù)推導(dǎo)及分析，引入量綱為1系數(shù)，線性約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)（量綱為1）分別為

2.1 準(zhǔn)確性和收斂性驗(yàn)證

本研究對(duì)梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并與方程解析解、有限元分析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。本研究使用Ansys軟件建立梁結(jié)構(gòu)有限元模型，采用Beam 188單元，Ansys仿真結(jié)果與網(wǎng)格精細(xì)程度有關(guān)。為排除網(wǎng)格尺寸對(duì)結(jié)果的影響，比較不同網(wǎng)格尺寸下簡(jiǎn)支梁的Ansys仿真結(jié)果（表2），可見當(dāng)單元數(shù)目達(dá)到400（單元尺寸0.75 cm）時(shí)，Ansys解已經(jīng)基本收斂，可用于本研究的分析對(duì)比。

表2 簡(jiǎn)支邊界條件Ansys解收斂情況

將兩端旋轉(zhuǎn)約束彈簧設(shè)為0，使線性彈簧剛度逐漸增大，當(dāng)彈簧剛度足夠大時(shí)即可模擬簡(jiǎn)支邊界條件。表3列出本研究方法模擬兩端線性約束彈簧剛度逐漸增大時(shí)前6階頻率的收斂情況（均取相同的傅里葉截?cái)鄶?shù)= 50計(jì)算）。由表2可見，當(dāng)邊界約束剛度取值達(dá)到1010時(shí)，Rayleigh-Ritz能量法結(jié)果已經(jīng)收斂，第1-3階的頻率結(jié)果與解析解相同，第4-6階頻率與解析解非常接近，精度高于Ansys解。

表3 模擬簡(jiǎn)支邊界條件線性彈簧剛度系數(shù)收斂情況

采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法在計(jì)算時(shí)需要對(duì)傅里葉項(xiàng)數(shù)進(jìn)行截?cái)?，為進(jìn)一步對(duì)比不同項(xiàng)數(shù)下的收斂速度，表4列出兩端簡(jiǎn)支邊界條件下，不同截?cái)鄶?shù)時(shí)梁的前6階固有頻率。由表4可見，隨著截?cái)鄶?shù)增加，固有頻率計(jì)算精度逐漸提高，當(dāng)截?cái)鄶?shù)大于20時(shí)，計(jì)算結(jié)果已基本收斂，可見改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的收斂速度非常快。

2.2 不同邊界條件對(duì)固有頻率的影響

從表3中可看出，在彈性邊界約束剛度變化時(shí)，梁的橫向振動(dòng)變化存在一個(gè)較為敏感的取值區(qū)間。

圖3給出梁從自由-自由邊界到簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界，梁的前6階固有頻率變化趨勢(shì)。由圖3可見，不同階次固有頻率對(duì)邊界約束剛度變化的敏感程度不同，第1階固有頻率敏感區(qū)域在線性彈簧剛度系數(shù)（量綱為1）小于102以下，而當(dāng)剛度系數(shù)（量綱為1）取值從103到104時(shí)，第4階到第6階固有頻率變化較快。

表4 改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)收斂情況

圖3 固有頻率隨線性約束彈簧剛度變化

圖4給出梁從簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界到固支-固支邊界，梁的前6階固有頻率變化趨勢(shì)。由圖4可見，梁的前6階固有頻率變化敏感區(qū)域均在旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)（量綱為1）取值100到102之間。

圖4 固有頻率隨旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度變化

圖5和圖6給出梁結(jié)構(gòu)一端固定（= 0處），一端從自由邊界到固支邊界（=處），梁結(jié)構(gòu)前2階固有頻率變化趨勢(shì)。由圖5和圖6可見，旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度對(duì)固有頻率的影響要明顯大于線性約束彈簧，旋轉(zhuǎn)約束彈簧的影響不能忽視。

圖5 第1階固有頻率隨約束彈簧剛度變化

圖6 第2階固有頻率隨約束彈簧剛度變化

2.3 不同邊界條件對(duì)模態(tài)振型的影響

圖7給出梁在自由-自由邊界，本研究方法、解析解和Ansys解下的第1階模態(tài)振型。由圖7可見，本研究方法和解析解、Ansys解完全一致。

圖7 自由狀態(tài)下梁第1階模態(tài)振型

同樣，為分析不同邊界約束剛度變化對(duì)梁結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的影響，圖8和圖9給出梁一端固定，另一端從自由邊界到簡(jiǎn)支邊界，梁結(jié)構(gòu)前2階模態(tài)振型的變化趨勢(shì)。由圖8和圖9可見，模態(tài)振型在線性彈簧剛度（量綱為1）敏感區(qū)域會(huì)出現(xiàn)劇烈變化，特別是在線性彈簧剛度（量綱為1）敏感區(qū)域101到104之間。

圖8 變化邊界條件第1階模態(tài)振型

圖9 變化邊界條件第2階模態(tài)振型

3 討論

將梁結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)位移采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，帶入相應(yīng)的能量方程，結(jié)合Hamilton原理確定位移函數(shù)中的未知系數(shù)，可快速建立統(tǒng)一的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程求解形式，便于研究任意邊界條件下梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。本方法可以克服傳統(tǒng)傅里葉正弦或余弦級(jí)數(shù)在研究經(jīng)典邊界條件下出現(xiàn)的兩端位移導(dǎo)數(shù)不連續(xù)情況[18]，具有良好的準(zhǔn)確性和快速的收斂性。

船舶和海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)中各類桿件，如船舶結(jié)構(gòu)中的骨架如橫梁、肋骨、肋板、縱骨、縱桁等，均可使用本方法進(jìn)行固有振動(dòng)特性求解。當(dāng)然，整個(gè)船體結(jié)構(gòu)也可視為船體梁結(jié)構(gòu)[19]，使用本方法快速求得模態(tài)信息。對(duì)于不規(guī)則的梁結(jié)構(gòu)，由于無(wú)法給出其具體的能量方程，求解時(shí)需要進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，使用本方法時(shí)會(huì)影響其結(jié)果的精確性。

船舶結(jié)構(gòu)、海工結(jié)構(gòu)在風(fēng)浪、海流、地震等沖擊力作用下的振動(dòng)特性分析也具有十分重要的價(jià)值[20]，可使用本方法進(jìn)行下一步研究。對(duì)于梁結(jié)構(gòu)在外界激勵(lì)力作用下的受迫振動(dòng)求解，只需將外部作用力所做的功引入方程式(8)，進(jìn)行求解即可。

后續(xù)將利用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)和Rayleigh-Ritz能量法建立的任意邊界下梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)求解方法拓展至海洋工程平臺(tái)板殼理論研究方面。

4 結(jié)論

本研究基于Euler-Bernoulli梁理論，利用Rayleigh-Ritz能量法建立梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)統(tǒng)一求解模型，分析任意彈性邊界下梁的振動(dòng)特性，得到以下結(jié)論：

1）利用標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級(jí)數(shù)和輔助函數(shù)構(gòu)建梁結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)位移函數(shù)，可消除級(jí)數(shù)求導(dǎo)過程中邊界處的不連續(xù)性，具有求解過程統(tǒng)一、收斂速度快的優(yōu)勢(shì)。

2）采用兩組旋轉(zhuǎn)約束彈簧和線性約束彈簧，可很好地模擬梁結(jié)構(gòu)的任意彈性邊界條件，不同階次固有頻率和模態(tài)振型變化敏感區(qū)域與彈簧剛度有關(guān)，前6階固有頻率和振型的剛度（量綱為1）敏感區(qū)域均出現(xiàn)在104以下。

3）基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)，利用Rayleigh-Ritz能量法建立的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)的求解模型與解析解基本相同，具有良好的準(zhǔn)確性，且優(yōu)于Ansys仿真解。

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Transverse Vibration Characteristics Analysis of Beam with General Boundary Conditions Based on Improved Fourier Series Method

HUANG Ying1, GUO Yong-mei2

（1.,450005,; 2.’,’710000,）

【Objective】Beam structure is widely used in various engineering occasions, such as ship engineering, ocean engineering, automobile engineering etc., and its vibration characteristics have a directs influence on the vibration control of the whole structure.【Method】The transverse vibration displacement of the beam structure is expanded by a modified Fourier series and solved by the Rayleigh-Ritz energy method to establish a unified solution model for the transverse vibration characteristics of the beam under general elastic boundary conditions.With the model developed, the influence of different boundary conditions on the vibration characteristics of beam system is studied and discussed.【Result and Conclusion】Based on the improved Fourier series, the beam vibration model established by Rayleigh-Ritz energy method is basically the same as the analytical solution, with good accuracy and surpasses the Ansys simulation solution.The study provides a very important reference for the research and vibration optimization of beam structures in ship and ocean engineering.

Euler-Bernoulli beam; transverse vibration; general boundaries; improved Fourier series method

U662.2

A

1673-9159（2022）02-0135-07

10.3969/j.issn.1673-9159.2022.02.017

2021-07-28

2019年度河南省高等職業(yè)學(xué)校青年骨干教師培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目（2019GZGG102）

黃櫻（1982―），女，碩士，副教授，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸規(guī)劃與管理。E-mail: topworker0@protonmail.com

黃櫻，郭詠梅.基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的任意邊界下梁橫振特性分析[J].廣東海洋大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，42（2）：135-141.