一個表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋在Beta平面自由漂移的數(shù)值模擬

張彤輝，張 洋，潘 嵩，李君益

一個表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋在Beta平面自由漂移的數(shù)值模擬

張彤輝1，張 洋1，潘 嵩2，李君益1

（1.廣東海洋大學(xué)海洋與氣象學(xué)院，廣東 湛江 524088；2.自然資源部海洋環(huán)境信息保障技術(shù)重點實驗室，天津 300171）

【目的】研究一個表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋在β平面上的自由漂移及其驅(qū)動的流場、能譜演化?！痉椒ā炕谧V方法理想數(shù)值模擬，研究分析渦旋羅斯貝數(shù)以及β效應(yīng)對流場演化的影響?！窘Y(jié)果與結(jié)論】與準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋類似，表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋的漂移速度和其激發(fā)的羅斯貝波波速十分接近。漂移過程中不斷生成的渦絲使得小尺度波段的能譜趨于-2結(jié)構(gòu)。渦旋非線性和β效應(yīng)可以增強渦旋漂移速度，提高渦絲生成速率。

表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)；β平面湍流；譜方法；數(shù)值模擬

海洋亞中尺度過程是當(dāng)前海洋研究的熱點[1]。研究表明部分亞中尺度過程為表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)（Surface Quasi-geostrophic, SQG）形式[2-3]。在遠(yuǎn)離邊界的大洋內(nèi)部，大尺度海水運動一般認(rèn)為是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)（Quasi-geostrophic, QG）形式。由于海面密度擾動，上層海洋必須考慮海面邊界條件。Hoskins等[4]通過在位渦表達式中引入函數(shù)建立SQG系統(tǒng)，將上層海洋運動與內(nèi)區(qū)分離，使得人們可以通過海面密度反演流場。前人研究[5-7]證明，上層海洋在某些情況下可由海面密度異常驅(qū)動。

非線性使得QG和SQG流場呈現(xiàn)出湍流多尺度結(jié)構(gòu)。由于隨流守恒量不同，相比于內(nèi)部的QG流，上層SQG流展現(xiàn)出豐富的亞中尺度結(jié)構(gòu)，這為亞中尺度生成機制提供一種解釋。衛(wèi)星高度計觀測發(fā)現(xiàn)海面動能逆向串級[3]，即動能從小尺度傳遞給大尺度，但這并不能用QG湍流理論解釋，而需要依托SQG理論。SQG系統(tǒng)機械能逆向串級，表面勢能正向串級[6]。Capet等[8]通過理想數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)勢能經(jīng)生鋒過程轉(zhuǎn)化成動能并逆向串級，表明鋒面經(jīng)斜壓不穩(wěn)定產(chǎn)生亞中尺度這一過程符合SQG理論。在橫跨鋒面的方向上，密度梯度普遍存在，且對于亞中尺度過程而言，這種背景密度梯度十分重要。因為SQG運動中密度隨流守恒，密度梯度的作用類似于正壓渦度方程中的β效應(yīng)，可以激發(fā)Rossby波。雖然SQG理論已存在半個多世紀(jì)，然而對其β效應(yīng)的關(guān)注卻不多。鋒面不穩(wěn)定形成大量亞中尺度渦旋，這些渦旋的運動必然受到β效應(yīng)的影響。眾所周知，β平面一個QG渦旋會激發(fā)Rossby波并向西漂移。探討β平面的SQG渦旋如何運動將有助于理解鋒面演化過程中的渦旋等亞中尺度過程的演化。理想數(shù)值模擬指出β效應(yīng)可抑制大尺度波段的動能逆向串級[9]。在物理空間，逆向串級通常表現(xiàn)為小渦旋合并成大渦旋；而正向串級則往往伴隨著大渦旋變形、破碎產(chǎn)生小渦旋和渦絲。在β平面，自由漂移的渦旋會與自身激發(fā)的Rossby波相作用后變形并甩出渦絲。這些渦絲并不穩(wěn)定，會卷曲形成更小的渦旋；由此動能得以向小尺度串級。然而，β效應(yīng)如何影響這一過程目前并不清楚。一維動能譜的演化可直觀地展現(xiàn)能量串級。本研究采用理想數(shù)值模擬刻畫β平面上一個SQG渦旋的演化，分析渦旋自身漂移以及β效應(yīng)對小尺度結(jié)構(gòu)在能譜演化中的影響。

1 表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模型構(gòu)建

SQG模型中海面密度異常引起的浮力擾動可寫成

式(1)中，為地轉(zhuǎn)流函數(shù)，0是科氏參數(shù)，表示垂直坐標(biāo)（向上為正），下標(biāo)s表示海面（= 0）。s為海表浮力異常，其量綱為加速度（單位m/s2），它隨流守恒并且驅(qū)動流場。如果s本身包含一個經(jīng)向梯度，則其隨流守恒意味著

從頻散關(guān)系式不難得到Rossby波西向波速大小為

2 數(shù)值模擬設(shè)置

湍流模擬通常采用譜方法，其空間差分精度遠(yuǎn)高于有限差分，可更細(xì)致地刻畫湍流。本研究采用基于傅里葉級數(shù)的譜方法，因此，南北邊界條件為周期性邊界條件。初始條件采用一個流函數(shù)形式的渦旋：

其中，為一個可調(diào)的無量綱數(shù)，通過對式(2)括號中的兩項尺度分析，即可發(fā)現(xiàn)這樣定義的好處：代表了和s之比，即項相比于非線性項的大小，其本質(zhì)是無量綱。本研究主要關(guān)心＜１的情況，即β效應(yīng)相比于渦旋自身浮力擾動而言較弱的情形。在這種情況下，強非線性使得渦旋具有一定的自持性，渦旋可長期漂移并驅(qū)動流場，流場長期演化對和e的依賴性是本研究關(guān)注重點。

非線性項的時間差分采用四階Runge-Kutta顯格式，項采用隱格式。模擬區(qū)域是一個邊長1 000 km的矩形海盆，在和方向各有512個網(wǎng)格點。為避免小波混淆，在每步計算非線性項之后使用Hou等[12]設(shè)計的低通濾波器將尺度最小的1/3波數(shù)剪除。在一系列實驗中，本研究改變渦旋非線性強度（，e）以及β效應(yīng)的強度。本研究部分算例的控制參數(shù)見表1。

表1 本研究所用的部分?jǐn)?shù)值模擬的控制參數(shù)

3 結(jié)果與分析

3.1 β效應(yīng)對渦旋漂移速度及流場演化的影響

一個氣旋會在β平面上向西北方向漂移，而反氣旋則會向東南方向漂移。在SQG框架下，本研究關(guān)注β效應(yīng)對渦旋漂移速度的影響。在海盆中心放置一個半徑為e= 80 km，海面高度異常為-10 cm的氣旋式冷渦，渦旋羅斯貝數(shù)e= 0.01，參數(shù)設(shè)置符合海洋中尺度渦旋特征[13]。中尺度渦主要是由斜壓不穩(wěn)定產(chǎn)生的，其發(fā)生的必要條件之一是密度存在南北梯度。在SQG的框架下，密度梯度構(gòu)成β效應(yīng)。

圖1展示一個氣旋式冷渦在β平面上向西北方向漂移的過程。表1中實驗1號0.100意味著β效應(yīng)（在渦旋尺度上）所產(chǎn)生的密度改變是渦旋本身密度擾動的10%。如果改變渦旋的極性，則可看到反氣旋（暖渦）向東南方向漂移（這里未作展示）。SQG渦旋在β平面的漂移機制和QG渦旋類似，都是由于渦旋與其自身激發(fā)的Rossby波相互作用產(chǎn)生。圖1（b, e, h）顯示當(dāng)減小時渦旋的漂移速度也隨之減慢。渦旋與Rossby波相互作用的另一個體現(xiàn)是渦旋東側(cè)不斷形成渦絲。這些渦絲起初均源自渦旋外圍的黑色渦環(huán)。該處切變劇烈且相對渦度與渦心處相反，這是由初始條件（式(5)）決定的。在渦旋剛開始漂移時，切變產(chǎn)生的渦絲在很大程度上被限制在渦旋附近（圖1(b, e)）。特別是當(dāng)背景β較弱（較小），渦旋本身相對較強時，蝸旋對這些渦絲具有裹挾作用，渦絲難以延伸到較遠(yuǎn)的區(qū)域（圖1(h)）。渦絲的包裹使得渦旋相比于初始時刻得到一定的增強。但在隨后演化中，渦旋周圍的這些渦絲很快被黏性耗散（圖1(i)中的渦旋邊緣），并不影響整個流場小尺度波段的能量累積。本研究主要關(guān)注整個流場演化對的依賴性，這里不深入討論渦旋結(jié)構(gòu)的變化。當(dāng)較強（渦旋相對較弱）時，渦絲迅速遠(yuǎn)離渦旋的影響（圖1(b, c)）。遠(yuǎn)離渦旋的區(qū)域背景剪切較弱，耗散也較弱，渦絲的演化取決于自身非線性。顯然，這些渦絲并不穩(wěn)定，會扭動卷曲并形成更小的渦旋（圖1(c, f)）。這一過程必然會將初始渦旋的能量注入到渦絲和小渦旋中，進而使得能量向小尺度串級。類似的渦旋邊緣切變激發(fā)鋒面的現(xiàn)象在前人模擬研究中也有發(fā)現(xiàn)，Jing等[14]指出這些鋒面會通過對稱不穩(wěn)定產(chǎn)生亞中尺度結(jié)構(gòu)，進而將能量串級到更小尺度。SQG流場演化始終滿足式（3）位渦為零的要求，因此，流場中小尺度結(jié)構(gòu)的生成完全取決于非線性平流。

a，b，c，分別為實驗1號初始時刻、1 a與2 a后的流場；d，e，f，分別為實驗3號初始時刻、2 a與4 a后的流場；g，h，i，分別為實驗7號初始時刻、3 a與7 a后的流場。背景灰度代表標(biāo)準(zhǔn)化相對渦度ζ/ f0，變化范圍從0.5（白色）到-0.5（黑色）

圖2展現(xiàn)實驗8、9、10號的流場演化。這3個實驗的初始渦旋與圖1(a)一致且都具有較強背景β效應(yīng)。渦旋向西北漂移的情況依然十分明顯。比較圖2（a, c, e）可見，渦旋西向漂移速度隨著的增大而顯著增大。同時，渦旋東側(cè)呈現(xiàn)出明暗相間的弧形條紋，這是在強β作用下渦旋激發(fā)的Rossby波，類似的結(jié)構(gòu)在QG渦旋中也有發(fā)現(xiàn)[15]。相比＜１的情形（圖1），圖2中Rossby波更明顯，特別是圖2(f)。當(dāng)=１時，渦旋能量主要用于激發(fā)波動，而不能夠維持自身，這樣的情形并非本研究關(guān)注點。海洋亞中尺度渦旋的相對渦度較大，相比于β效應(yīng)產(chǎn)生的行星渦度變化，渦旋自身非線性發(fā)揮主導(dǎo)作用。類似地，這里主要關(guān)注＜１情況下強SQG渦旋自由漂移所驅(qū)動的流場演化。

比較不同強度e的氣旋渦在β平面上的自由漂移（圖3），顯然，漂移速度隨著e增大而增快，這一點和QG渦旋的漂移類似。同時，由于強渦旋的剪切較強，其甩出的渦絲也更容易不穩(wěn)定，進而激發(fā)更多小尺度渦旋（圖2(f, i)）。由于這些渦絲源自初始渦旋的黑色渦環(huán)，其卷曲形成的小渦旋也具有負(fù)渦度（黑色暖渦）。比較圖2(c, f, i)不難發(fā)現(xiàn)能量正向串級的速率一定程度地依賴初始渦旋的非線性強度。

a，b，分別為實驗8號在180 d和1 a后的流場；c，d，分別為實驗9號在90 d和180 d的流場；e，f，為實驗10號在45 d和90 d的流場。背景灰度代表標(biāo)準(zhǔn)化相對渦度ζ / f0，變化范圍從0.5（白色）到-0.5（黑色）

a，b，c，分別為實驗4號初始時刻、1 a和2 a后的流場；d，e，f，分別是實驗5號初始時刻、1 a和2 a后的流場；g，h，i，分別是實驗6號初始時刻、1 a和2 a后的流場。背景灰度代表標(biāo)準(zhǔn)化相對渦度ζ / f0，變化范圍從0.5（白色）到-0.5（黑色）

圖1—3表明渦旋漂移速度與和e這兩個參數(shù)有關(guān)。為定量計算渦旋漂移速度，本研究利用渦旋識別算法[16]追蹤渦旋核心位置，對其作時間中央差得到漂移速度。在初始階段，渦旋的漂移主要受到其激發(fā)的Rossby波的作用，而不受其周邊渦絲等精細(xì)結(jié)構(gòu)的影響。初始階段定義為2倍的渦旋自轉(zhuǎn)周期e/（約14 d），在此期間，渦旋主導(dǎo)整個流場，渦絲等精細(xì)結(jié)構(gòu)并沒有大量產(chǎn)生。這一時期渦旋平均漂移速度與無量綱數(shù)e呈顯著的線性關(guān)系（圖4），即背景β效應(yīng)越強（越大），初始渦旋越強（e越大），漂移速度越快。在QG理論框架下，遙感觀測發(fā)現(xiàn)，海洋中的強渦旋漂移速度接近且略高于斜壓Rossby波的波速e2 [17]。SQG系統(tǒng)本質(zhì)是一種斜壓模型?？紤]到相鄰且極性相反的一對渦旋構(gòu)成一個波，波數(shù)為= 2π/ (4e)。圖4所用實驗的渦旋半徑為e= 40 km，代入式(6)得到其右側(cè)系數(shù)0/≈255 cm/s。該值和圖4(a)線性回歸的擬合斜率十分接近，說明在初始階段渦旋以自身激發(fā)的Rossby波的波速向西漂移。圖4(b)顯示，北向漂移速度和e依然具有良好的線性關(guān)系，其大小相比西向速度慢得多。遙感觀測發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)海洋渦旋的漂移速度以向西分量為主，南北分量較小，本研究模擬結(jié)果與其相符[13]。然而對于SQG渦旋，其北向漂移速度略小的具體原因還有待后續(xù)研究分析。

a，西向漂移速度；b，北向漂移速度

3.2 β效應(yīng)對能譜演化的影響

能譜分析是湍流研究的常用手段。一維動能能譜的定義為

a，實驗1號；b，實驗3號；c，實驗5號；d，實驗7號。自下往上4條曲線分別表示初始時刻、1 a、2 a和4 a后流場所對應(yīng)的動能譜；直線表示k-2能譜結(jié)構(gòu)；橫縱坐標(biāo)均為指數(shù)坐標(biāo)。

a，ε對能譜重心變化的影響；b，初始渦旋的非線性Re對能譜重心變化的影響。縱坐標(biāo)為能譜重心相對于其初始時刻的位移

4 結(jié)論

本研究通過理想數(shù)值模擬展現(xiàn)一個強SQG渦旋（＜１）在β平面上自由漂移所驅(qū)動的流場與能譜演化，得到以下結(jié)論：

1）在初始階段，渦旋以其激發(fā)的Rossby波速向西漂移，速度量級約為cm/s, 該量級和衛(wèi)星高度計觀測值接近。這意味著一部分海洋渦旋的運動機制可能符合SQG理論，特別是鋒面附近的亞中尺度渦旋。

2）-2能譜在亞中尺度波段廣泛存在。SQG渦旋在漂移過程中由非線性平流產(chǎn)生渦絲，也可以形成-2能譜，一定程度上支持鋒面演化理論。

3）能譜重心分析發(fā)現(xiàn)，β效應(yīng)對能量向小尺度正向串級具有一定的促進作用。

目前高度計遙感分辨率只有1/4度，不能捕獲亞中尺度范疇的精細(xì)流場結(jié)構(gòu)，這使得通過實測驗證本研究結(jié)論變得困難。然而，隨著下一代高度計觀測項目SWOT（Surface Water Ocean Topography）的實施，將可利用高分辨率遙感流場以驗證本研究結(jié)果，這是未來工作的方向。

[1] MCWILLIAMS J C.Submesoscale currents in the ocean[J].Proceedings Mathematical, Physical, and Engineering Sciences, 2016, 472(2189): 20160117.

[2] LE TRAON P Y, KLEIN P, HUA B L, et al.Do altimeter wavenumber spectra agree with the interior or surface quasigeostrophic theory?[J].Journal of Physical Oceanography, 2008, 38(5): 1137-1142.

[3] SCOTT R B, WANG F M.Direct evidence of an oceanic inverse kinetic energy cascade from satellite altimetry[J].Journal of Physical Oceanography, 2005, 35(9): 1650-1666.

[4] HOSKINS B J, MCINTYRE M E, ROBERTSON A W.On the use and significance of isentropic potential vorticity maps[J].Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 2007, 111(470): 877-946.

[5] ISERN-FONTANET J, CHAPRON B, LAPEYRE G, et al.Potential use of microwave sea surface temperatures for the estimation of ocean currents[J].Geophysical Research Letters, 2006, 33(24): L24608.

[6] LAPEYRE G, KLEIN P.Dynamics of the upper oceanic layers in terms of surface quasigeostrophy theory[J].Journal of Physical Oceanography, 2006, 36(2): 165-176.

[7] QIU B, CHEN S M, KLEIN P, et al.Reconstructing upper-ocean vertical velocity field from sea surface height in the presence of unbalanced motion[J].Journal of Physical Oceanography, 2020, 50(1): 55-79.

[8] CAPET X, KLEIN P, HUA B L, et al.Surface kinetic energy transfer in surface quasi-geostrophic flows[J].Journal of Fluid Mechanics, 2008, 604: 165-174.

[9] SUKHATME J, SMITH L M.Local and nonlocal dispersive turbulence[J].Physics of Fluids, 2009, 21(5): 1-19.

[10] RHINES P B.Waves and turbulence on a beta-plane[J].Journal of Fluid Mechanics, 1975, 69(3): 417-443.

[11] ZHANG Z G, ZHANG Y, WANG W, et al.Universal structure of mesoscale eddies in the ocean[J].Geophysical Research Letters, 2013, 40(14): 3677-3681.

[12] HOU T Y, LI R.Computing nearly singular solutions using pseudo-spectral methods[J].Journal of Computational Physics, 2007, 226(1): 379-397.

[13] CHELTON D B, SCHLAX M G, SAMELSON R M.Global observations of nonlinear mesoscale eddies[J].Progress in Oceanography, 2011, 91(2): 167-216.

[14] JING Z Y, FOX-KEMPER B, CAO H J, et al.Submesoscale fronts and their dynamical processes associated with symmetric instability in the northwest Pacific subtropical ocean[J].Journal of Physical Oceanography, 2021, 51(1): 83-100.

[15] MCWILLIAMS J C, FLIERL G R.On the evolution of isolated, nonlinear vortices[J].Journal of Physical Oceanography, 1979, 9(6): 1155-1182.

[16] NENCIOLI F, DONG C M, DICKEY T, et al.A vector geometry–based eddy detection algorithm and its application to a high-resolution numerical model product and high-frequency radar surface velocities in the southern California bight[J].Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 2010, 27(3): 564-579.

[17] FU L L.Pattern and velocity of propagation of the global ocean eddy variability[J].Journal of Geophysical Research Atmospheres, 2009, 114(C11): C11017.

[18] SHCHERBINA A Y, D'ASARO E A, LEE C M, et al.Statistics of vertical vorticity, divergence, and strain in a developed submesoscale turbulence field[J].Geophysical Research Letters, 2013, 40(17): 4706-4711.

[19] ROCHA C B, CHERESKIN T K, GILLE S T, et al.Mesoscale to submesoscale wavenumber spectra in drake passage[J].Journal of Physical Oceanography, 2016, 46(2): 601-620.

[20] BOYD J P.The energy spectrum of fronts: time evolution of shocks in Burgers’ equation[J].Journal of the Atmospheric Sciences.1992, 49(2): 128-139.

[21] DAVEY M K, KILLWORTH P D.Flows produced by discrete sources of buoyancy[J].Journal of Physical Oceanography, 1989, 19(9): 1279-1290.

Numerical Simulation of the Beta Drift of a Surface Quasi-geostrophic Eddy

ZHANG Tong-hui1, ZHANG Yang1, PAN Song2, LI Jun-yi1

（1.,,524088,; 2.,,300171,）

【Objective】This study investigates the initial evolution of a surface quasi-geostrophic (SQG) eddy on a β-plane and the evolution of the associated flow field and energy spectrum.【Method】Idealized numerical simulation based on the spectral method is employed to show the dependence of the flow characteristics on the eddy Rossby number and the strength of the β-effect.【Result and Conclusion】Similar to the quasi-geostrophic eddy, the drift velocity of the surface quasi-geostrophic eddy is very close to the wave velocity of its excited Rossby wave.The continuously generated eddy filaments during the drift make the small-scale spectrum converge to the-2structure.The eddy nonlinearity and β-effect can enhance the eddy’s drift velocity and increase the rate of eddy filament generation.

surface quasi-geostrophic eddy; β-plane turbulence; pseudo-spectral method; numerical simulation

P731.26

A

1673-9159（2022）02-0071-08

10.3969/j.issn.1673-9159.2022.02.009

2021-09-02

自然資源部海洋環(huán)境信息保障技術(shù)重點實驗室開放基金課題（2019）

張彤輝（1996―），男，碩士研究生，研究方向為海洋中小尺度過程。Email: 2064687424@qq.com

張洋（1986―），男，博士，副教授，主要從事物理海洋多尺度過程研究。E-mail: zhangyang_gdou@126.com

潘嵩（1988―），男，高級工程師，主要從事海洋數(shù)值預(yù)報。E-mail: 446705025@qq.com

張彤輝，張洋，潘嵩，等.一個表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋在Beta平面自由漂移的數(shù)值模擬[J].廣東海洋大學(xué)學(xué)報，2022，42（2）：71-78.