非緊空間上折現(xiàn) Hamilton-Jacobi方程的粘性解

陳蘇婷 李霞

摘要： 折現(xiàn) Hamilton-Jacobi 方程（簡稱 H-J 方程）作為接觸 H-J 方程的一種特殊形式 ， 對其研究具有深刻意義. 研究了折現(xiàn) H-J 方程在底空間非緊時(shí)粘性解的一個(gè)表達(dá)式 u （x; t）. 就一個(gè)具體的折現(xiàn) H-J 方程 ， 探討了在底空間非緊且>0 時(shí) ， 在不同初值情形下 ， u （x; t）在時(shí)的收斂情況.

關(guān)鍵詞： Hamilton-Jacobi 方程;? 接觸系統(tǒng);? 粘性解

中圖分類號(hào)： O193??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.002

The viscosity solution of the discounted Hamilton-Jacobi equation in non-compact space

CHEN Suting，? LI Xia

（School of Mathematical Sciences， Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu? 215009， China）

Abstract： The? discounted? Hamilton-Jacobi? equation （H-J? equation） is? a? special? form? of the? contact Hamilton-Jacobi equation; hence， study of the discounted H-J equation is important. In this article， we first study an expression of the viscosity solution u （x; t） for the discounted H-J equation in non-compact space. Then， we explore the convergence of the viscosity solution u （x; t） for a specific discounted H-J equation with? >0? in non-compact space for the initial value in different cases.

Keywords： Hamilton-Jacobi equation;? contact system;? viscosity solution

0? 引言

本文主要考慮如下演化折現(xiàn) Hamilton-Jacobi 方程（簡稱 H-J 方程）在t ！+1時(shí)粘性解的收斂情況：

（1）

式（1）中： g（x）2 C（M）; λ> 0.

H-J 方程起源于經(jīng)典力學(xué)、幾何光學(xué). 它作為一階非線性偏微分方程 ， 是海洋內(nèi)波動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)和大氣動(dòng)力學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)模型之一 ， 在哈密爾頓動(dòng)力學(xué)、最優(yōu)控制理論、微分對策等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用[1]. 由于解的激波的產(chǎn)生使得 H-J 方程的經(jīng)典光滑解不容易求出甚至不存在 ， 但許多應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展卻需要解決這個(gè)問題 ， 因此在20世紀(jì)80年代初 ， Crandall 等[2]利用極值原理提出了 H-J 方程粘性解的概念 ， 推進(jìn)了偏微分方程弱解理論的發(fā)展. H-J 方程粘性解的長時(shí)間漸近行為分析是粘性解理論的一個(gè)重要研究方向， 其研究途徑主要有2 種：一種是基于變分法的弱 Kolmogorov Arnold Moser （KAM）方法. Mather[3-4]開創(chuàng)了利用變分法研究正定系統(tǒng) （Tonelli 系統(tǒng)）的 Mather 理論 ， 定義了各種變分意義下的極小不變集 ， 研究了它們的幾何性質(zhì)和拓?fù)湫再|(zhì). Fathi[5]所創(chuàng)立的弱 KAM 理論在 Tonelli 框架下通過 Lax-Oleinik 公式將哈密爾頓流與相應(yīng)的 H-J 方程的粘性解聯(lián)系起來 ， 從而將變分法與研究粘性解理論的偏微分方程（簡稱 PDE）方法交叉融合 ， 產(chǎn)生了一系列問題及新的思路方法. 另一種是 PDE方法. 1999年 ， Namah 等[6]在一般框架下通過 PDE 理論最先得到了收斂結(jié)果. Fathi[7]和 Davini 等[8]在 Aubry-Mather 理論的指導(dǎo)下結(jié)合 PDE 方法在 Tonelli 框架下證明了不同類型的收斂結(jié)果， 與文獻(xiàn)[6]不同的是， Fathi[7]用到了嚴(yán)格凸的框架. Roquejoffre[9]結(jié)合 PDE 方法和動(dòng)力系統(tǒng)方法對上述假設(shè)進(jìn)行了弱化 ， 得到了類似的收斂結(jié)果.

以往的研究大多局限于不含未知函數(shù)的哈密爾頓系統(tǒng) ， 即H（x， Dxu）= 0. 而具有能量耗散的很大一類物理、力學(xué)系統(tǒng)需要用接觸哈密爾頓系統(tǒng) H（x， u， Dxu）= 0來表示. 接觸哈密爾頓系統(tǒng)近年來被廣泛應(yīng)用于耗散力學(xué)、非保守力學(xué)[10-12]等系統(tǒng)以及微觀動(dòng)力學(xué)[13]、平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)[14]等領(lǐng)域. 對于接觸哈密爾頓系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究 ， 也是通過變分法和 PDE 方法進(jìn)行的 ， 其中變分法有隱式變分法[15-17]和 Herglotz 變分法[18]兩種.

折現(xiàn)系統(tǒng)作為接觸哈密爾頓系統(tǒng)的一種特殊形式 ， 對其研究具有深刻意義 ， 可為揭示接觸哈密爾頓系統(tǒng)里的復(fù)雜現(xiàn)象提供直觀的解釋. 以往對折現(xiàn)系統(tǒng)的研究 ， 主要集中在底空間是緊空間的情形. 對于底空間非緊的接觸哈密爾頓系統(tǒng)的研究尚處于探索階段.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

對于折現(xiàn) H-J 方程 ， 先討論了在底空間非緊時(shí) ， 其粘性解的一種表達(dá)式 ， 并以此為基礎(chǔ) ， 研究了在初值不同情形下粘性解的收斂情況 ， 這與底空間是緊集時(shí)有著不一樣的收斂情形.本文的主要結(jié)果如下：

設(shè)L（x， v）是定義在上的連續(xù)函數(shù) ， 滿足：

（1） L（x， v）關(guān)于v 超線性增長 ， 即對 ， 有.

（2）

存在 M>0 ， 且對于所有的， 有定理1—2.

定理1? 令， 其中 γ（t）= x .若有限且連續(xù) ， 則是折現(xiàn) H-J 方程 （1）的粘性解. 式中 ：u （x， t）= g（x）2 C（M）; H（x， p）=? sup? pv? L（x， v）g .

定理2? 若取H（x， p）=? p2?? p ， 則u （x， t）= y fM? u （x， y， t）. 式中 u （x， y， t）=? + e ? tg（y）.

1? 定理1 與定理2 的證明

在給出定理1 和定理2 的證明之前 ， 需要先給出一個(gè)引理.

定義集合AC（[0， t]， Rn）= fγ： [0， t]！ Rnjγ（t）是絕對連續(xù)曲線}.

引理1? 若 L（x， v）是Rn??? Rn上的連續(xù)函數(shù) ， 令

式中γ（t）= x ， 則

證明因?yàn)?/p>

式（2）中

β（s）：=γ（s? α）.

一方面， 由式（2）得

所以

即

u （x， t）? （s）∈A ;t];Rn）{ wt? e （s ?t）L （γ（s）， γ_（s））ds + e ? u （γ（t? α）， t? α）}.

另一方面， 對于任意的α（s） ， β（s）2 AC（[0， t]， Rn） ， 定義

由式（2）得

由β（s）的任意性得

進(jìn)一步得

因此， 命題得證.

定理1 的證明由引理1 可得

（3）

先證? u （x， t）為粘性下解： 取假設(shè).任取 v 2 Rn ， 令且， 再令. 因?yàn)椋?且， 由式（3）， 有

則有

在式（4）兩邊同時(shí)除以α ， 并令 ， 可得

0? L（ ， v）? λ? （ ， t^）? Dx? （ ， t^）v? ?t? （ ， t^）.

由v 的任意性， 且

得

0?? λ? （ ， t^）? H （ ， Dx? （ ， t^））? ?t? （ ， t^）， （5）

于是可得

故u （x， t）為粘性下解.

再證 u （x， t）為粘性上解： 取? 2 C1（Rn??? R） ，? 2 Rn ， t^2 R ， 假設(shè)（u?? ?）（ ， t^）= max （u? ?） =0 .固定ε> 0 ， 且α >0 ， 由于u （ ， t^）有限， 可找到一個(gè)γ（s）2 AC（[0， t]， Rn） ， 使得

因?yàn)?u ? ? 且u （ ， t^）= ? （ ， t^） ， 有

? （ ， t^）+ εα> w? e （s ?t^）L （γ（s）， γ_（s））ds + e ?? （γ（t^? α）， t^? α），

于是

由于

H （γ（s）， Dx? （γ（s）， s））= （s）∈A ;t];Rn）{L （γ（s）， γ_（s））? γ_（s）Dx? （γ（s）， s）} ， （7）

因此， 將式（7）代入式（6）得

0? w? e （s ?t^）[ λ? （γ（s）， s）? H （γ（s）， Dx? （γ（s）， s））? ?t? （γ（s）， s）]ds? εα.? （8）

在式（8）兩邊同時(shí)除以α ， 并令α0 ， 由 L（x， v）關(guān)于 v 超線性增長 ， 可知 H（x， p）關(guān)于p 有限 ， 從而關(guān)于p 連續(xù)[5]. 由 H（x， p）的定義及關(guān)于 L（x， v）的假設(shè)（2）可知 H（x， p）關(guān)于x 連續(xù) ， 得

由ε的任意性知u （x， t）為粘性上解. 再由u （x， t）既是粘性下解又是粘性上解 ， 得u （x， t）是粘性解.

定理2 的證明由定理1 知

式中：γ（0）= y ;γ（t）= x .由 Legendre 變換 ， 得

由于 H（x， p）關(guān)于p 嚴(yán)格凸且 H（x， p）關(guān)于p 超線性增長 ， 因此 ， 由經(jīng)典變分理論 ， 固定端點(diǎn)的作用量函數(shù)u （x， t）的極值曲線滿足歐拉-拉格朗日方程

（e t? （γ（t）， γ_（t）））= e t? （γ（t）， γ_（t）），

即

dt e t （γ_（t）+ 1）= 0，

積分可得

γ（t）=? a e ? t?? t + b.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

式中a ， b 是常數(shù). 根據(jù)γ（0）= y 得b = y +? . 把b 代入γ（t）得

γ（t）=? a e ? t?? t + y + a = x，

解得 a =? .因此

故定理得證.

2?? t +1時(shí)u （x， t）的收斂情形分析

定理3? 取u （x， t）為定理2 中的粘性解，即u （x， t）= y fM { + e ? tg（y）}.

（1）若 M = R ， 當(dāng) g（y）有下界時(shí) ， 則? lim? u （x， t）= 0. 式中：λ >0 ; u （x， t）是式（1）的粘性解;u =0是駐定方程λu+ p2?? p =0 的粘性解.

（2）若 M = R ， 取g（y）= y ， 則? lim? u （x， t）= 0. 式中：λ >0 ; u （x， t）是式（1）的粘性解.

（3）若 M = R ， 取 g（y）=? y2 ， 則對 8（x， t）2 M? [0， +1） ， 有 lim? u （x， t）= 1 .式中： λ> 0;u （x， t）是式（1）的粘性解.

證明由定理2 知， u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中：

u （x， y， t）= + e ? tg（y）;

λ> 0 ; M = R . u （x， y， t） 有下界 ， 則u （x， y， t） 有下確界 ， 設(shè)下確界為m . 當(dāng)? jyj 充分大時(shí) ， u （x， y， t）> m ， 所以 ， 下確界只能在 jyj ? A 時(shí)取到 ， 設(shè)在 y = y0處取到最小值 ， 此時(shí) u （x， t）= + e ? tg（y0） ， 則 t? u （x， t）= 0 ， 因此無論 g（y）取何值 ， 只要 g（y）有下界 ， 都有 lim? u （x， t）= 0.

若取g（y）= y ， 則u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中

u （x， y， t）=+ e ? ty.

則 u =?? + e ? t .令 u = 0 ， 解得 y = x + t?? . 當(dāng) y < x + t?? 時(shí) ，? u < 0. 當(dāng) y > x + t?? 時(shí) ， u > 0. 所以當(dāng) y = x + t??? 時(shí) ， u 可取最小值. 將 y = x + t?? 代入 u? ， 得

式中：λ >0 ; M = R .當(dāng)t ！+1時(shí) ， 有 u ！ 0 ， 因此u ！ 0.

若取g（y）=? y2 ， 則u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中

u （x， y， t）=?? 2（e t?? 1）??? e ? ty2.? （9）

記式（9）中等號(hào)右邊y2項(xiàng)的系數(shù)為m ， 則

因?yàn)?λ（>0）充分小 ， 當(dāng) t ！+1時(shí) ， 有 e t > 0 ， e t?? 1 >0 ， λ? 2< 0 ， （λ? 2）e t ！ 1 ， （λ? 2）e t+2< 0 ， 所以系數(shù) m <0 .從而對于任意給定的 （x， t）2 R? [0， +1） ，? inf u （x， y， t）= 1 ， 此時(shí)inf? u （x， y， t）不對應(yīng)演化方程?tu +λu + H（x， Dxu）= 0的粘性解.

注為了比較 ， 給出u （x， t）在底空間是緊集時(shí)的收斂情形.與底空間非緊時(shí)不同的是 ， 只要其初值連續(xù) ， 當(dāng)t ！+1時(shí) ， u （x， t）！ 0 ， λ> 0.

令u （x， t）是式（1）的粘性解， 由定理2 知， u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中：

u （x， y， t）= + e ? tg（y）;

λ> 0. 當(dāng) t ！+1時(shí) ， 有e? t ！ 0 ，? ！0 .若 M 是緊的 ， 則存在 y0 2 M 使得 u （x， t）= u （x， y0， t） ， 因此t? u （x， t）= 0.

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（責(zé)任編輯：陳麗貞）EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD