結(jié)構(gòu)性練習：小學數(shù)學模型建構(gòu)探索
——以“路程、時間與速度”的教學為例

余慧

（古田縣教師進修學校，福建 寧德 352200）

在當前“雙減”的背景下，教師越來越注重對課堂練習的設(shè)計，高品質(zhì)的練習可以增效減負。數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學結(jié)構(gòu)。［1］教學中精心設(shè)計結(jié)構(gòu)性的練習，引發(fā)學生經(jīng)歷從初步的、淺層性建模向高階的、深層性的建模的探究過程，幫助學生形成結(jié)構(gòu)化知識和結(jié)構(gòu)化思維，從而構(gòu)建結(jié)構(gòu)化課堂。本文基于指向整體的小學數(shù)學結(jié)構(gòu)性練習，以四年級下冊“路程、時間與速度”一課的教學為例，談?wù)勗诮Y(jié)構(gòu)性練習中建構(gòu)模型的課堂實踐。

一、承啟式練習，引領(lǐng)建構(gòu)整體知識

常見的數(shù)量關(guān)系是對現(xiàn)實生活中復雜的數(shù)量關(guān)系的高度抽象。不管是“總價=單價×數(shù)量”，還是“路程=速度×時間”這些數(shù)量關(guān)系，從學生認知的源頭來說，都是乘法運算意義在不同問題情境中的具體應(yīng)用，都是由乘法運算衍生出來的簡單的數(shù)學模型，都是乘法的意義具體表現(xiàn)，都是求幾個幾相加的和是多少。基于知識的本質(zhì)特征，常見的數(shù)量關(guān)系的教學必須從整體架構(gòu)，讓學生自主建構(gòu)形式化的數(shù)學知識，發(fā)展學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實生活的意識和能力。

［片段一］

師：上節(jié)課我們學習了“總價、單價與數(shù)量”這一常見的數(shù)量關(guān)系?，F(xiàn)在我們再借助練習來捋一捋。

導學單第一題：

2.學校食堂購進4 袋大米，一袋大米50 元，一共要用多少元？

師：你是用什么方法解答這兩道題的？生：都是用乘法計算。師：為什么都可以用乘法計算呢？帶著這個問題開始新課的學習。

數(shù)學教學要用“大問題”來將知識中相同、相似乃至相對、相反的意義模塊進行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學知識成為更具生長力的結(jié)構(gòu)體。［2］以上承啟式練習，看似無關(guān)實則結(jié)構(gòu)緊密聯(lián)系的兩道題，同樣體現(xiàn)其背后的思維方式、思想方法。通過復習舊知引出不同知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，產(chǎn)生一個大問題“為什么都可以用乘法計算呢？”來引領(lǐng)全課的學習。找準這個“整合點”，一方面有助于他們進一步調(diào)整和完善認知結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學核心知識在內(nèi)容結(jié)構(gòu)中的地位和作用；另一方面有助于他們更加宏觀地把握不同數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系和區(qū)別，引領(lǐng)建構(gòu)整體知識，使數(shù)學知識成為具有生長力的結(jié)構(gòu)體。

二、開放式練習，促進理解概念關(guān)系

模型建構(gòu)的過程是一個有意義的學生主動接受的過程?！奥烦?、時間與速度”這個常見的數(shù)量關(guān)系的研究，必須聯(lián)系三個概念的關(guān)系進行教學，不宜割裂思考。在教學過程中，教師聯(lián)系學生熟悉的真實情境，設(shè)計結(jié)構(gòu)性的開放練習，發(fā)揮學生的自主性、獨特性與創(chuàng)造性，展示學生解決問題的個性化和多樣化，使每個學習個體從不同的角度真正參與進來，在練習中發(fā)現(xiàn)常見的數(shù)量關(guān)系從而建構(gòu)數(shù)學模型。

［片段二］

師：城西小學是一個體育強校，讓我們走進賽場去領(lǐng)略運動員的風采吧。（課件出示）在豐富多彩的體育活動中，最受同學們喜歡的就是田徑比賽。田徑比賽這個項目比的是什么？生：速度。師：你們覺得什么是速度？生：跑得快，就是速度快。

導學單第二題：

學校需要選一名運動員參加今年的縣級田徑比賽。根據(jù)下表的信息，你認為該選誰，請說明理由。

小組討論后反饋。

1.推理

師：大家認真觀察這張統(tǒng)計表，你認為該選誰，請說明理由。生1：李少雄比陳曦跑得快。因為同樣21 米的路程，李少雄用了3 秒，陳曦用了4 秒，李少雄用的時間更少。生2：路程相同，用的時間少就說明速度快。生3：魏遠川比陳曦跑得塊。因為同樣4 秒的時間，魏遠川跑了24 米，陳曦跑了21 米，魏遠川跑的路程更多。生4：時間相同，跑的路程更多就說明速度快。師：剛才大家運用推理很快就比出快慢來，路程相同就直接比時間，時間相同就直接比路程。

2.運算

師：經(jīng)過兩次的比一比，你有結(jié)果了嗎？生1：李少雄和魏遠川所用時間不同，路程也不同。生2：所用時間不同，路程也不同，就無法比較了嗎？師：請大家?guī)е@個問題完成導學單第二題，完成之后小組分享各自的想法。師：老師收集到了幾個小組的作業(yè)，請分享一下各組的想法。

生：我是通過計算比較出來的。李少雄21 米除以3，每秒跑7 米。魏遠川24 米除以4，每秒跑6 米。所以李少雄速度快。師：這里求出來的7 米、6 米表示什么?生1：表示速度。生2：通過畫線段圖也可以比較，李少雄每秒跑的線段更長，所以李少雄的速度更快。（學生作業(yè)如圖1）

圖1

生：路程不同，時間也不同，也可以比出速度的快慢，只要對比相同時間跑的路程就行。師：你們同意他的觀點嗎？你能結(jié)合線段圖說說他的意思嗎？生1：線段圖的每一段都表示多少時間跑的路程？生2：一秒跑的路程。

3.建模

師：在比較過程中，無論通過計算還是畫線段圖，都可以比較出每秒跑的路程。每秒跑的路程，在數(shù)學上就是什么？生：速度。師：在路程和時間都不相同的情況比快慢，就是比什么？生1：速度。生2：速度=路程÷時間。

以上練習是開放性的說理練習，意在發(fā)揮學生的自主性、獨特性與創(chuàng)造性，展示學生解決問題的個化和多樣化，讓學生在說理的過程中溝通“路程、時間、速度”三者之間的關(guān)系。練習設(shè)計兩個相同的時間，兩個相同的路程，引出三個層次的“比一比”，激發(fā)建構(gòu)模型的需求，水到渠成抽象概括出“路程÷時間=速度”這個常見的數(shù)量關(guān)系。學生在推理和運算中，明確“路程、時間與速度”三者之間的關(guān)系。通過練習學生經(jīng)歷給“半成型”的線段圖分一分畫一畫，取線段中“相同時間跑的路程”進行比較，學生深刻體會到每秒跑的路程就是比較的標準，明確“速度”就是表示這樣的一份是多少，形成“速度”的直觀表象，建立起“速度模型”開放式的解決方案。這樣的課堂練習再現(xiàn)了學生的生活經(jīng)驗，使新舊知識發(fā)生相互作用，凸顯“速度、時間、路程”概念之間的聯(lián)系，幫助學生從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)量關(guān)系。

三、互逆式練習，明晰結(jié)構(gòu)深化模型

結(jié)構(gòu)性是數(shù)學學科的本質(zhì)特性。［3］數(shù)學的學習必須準確把握知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)。教師聯(lián)系生活實際設(shè)計有結(jié)構(gòu)的課堂練習，有助于學生把握知識的邏輯結(jié)構(gòu)。在引導學生解決生活實際問題的過程中，明確要解決的是什么樣的問題，明晰這樣的問題屬于什么類的模型結(jié)構(gòu)，在促進模型的深化的同時，形成結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

［片段三］

視頻簡介綠皮火車、“和諧號”高鐵動車和“復興號”高鐵動車的情況。

導學單第三題：

隨著社會和科學技術(shù)的發(fā)展，家鄉(xiāng)的交通越來越便捷。1.古田到上海的鐵路全長是960 千米，綠皮火車平均速度是80 千米/時，乘坐綠皮火車從古田到上海需要多少小時？2.和諧號高鐵動車平均速度是240 千米/時，從古田到上海需要行駛4 小時，古田到上海路程是多少千米？3.古田到上海鐵路全長大約960 千米，如果乘坐復興號高鐵動車需要行駛3 小時，復興號高鐵動車平均速度是多少千米/時？

（學生完成后反饋。）師：能分享一下你用的是哪個數(shù)量關(guān)系式解決問題嗎？生1：第1 題我用的是：路程÷速度=時間。生2：第2 題我用的是：速度×時間=路程。生3：第3 題我用的是：路程÷時間=速度。

師：以上三個小題，有的是求時間，有的是求路程，有的是求速度，用不同的數(shù)量關(guān)系式解決，但是不論哪種方法，都是“路程、時間與速度”三者關(guān)系的靈活應(yīng)用。

在教學過程中，知識的掌握、技能的形成、思維的激發(fā)、素養(yǎng)的發(fā)展，都需要組織科學的、合理的練習。有時，依據(jù)學習內(nèi)容的需要，可以設(shè)計有一定量的、系統(tǒng)的練習題組，讓學生在練習題組的完成中聯(lián)系生活應(yīng)用，促進模型的深化。以上互逆式的練習，把同一情境、同一模型、結(jié)構(gòu)互逆的三道題編成一組，意在讓學生掌握“速度、時間和路程”的數(shù)學模型，深度理解三個數(shù)量關(guān)系式以及三者之間的聯(lián)系，并舉一反三，靈活運用數(shù)學模型解決生活中的實際問題，促進模型的深化。以上互逆式練習，把同一情境、同一模型、結(jié)構(gòu)互逆的三道題編成一組，意在讓學生掌握“速度、時間和路程”的數(shù)學模型，深度理解三個數(shù)量關(guān)系式以及三者之間的聯(lián)系，并舉一反三靈活運用數(shù)學模型解決生活中的實際問題，這樣的練習更能促進模型的深化。另外，在練習的同時感受家鄉(xiāng)交通狀況的巨大進步，激發(fā)學生愛祖國、愛家鄉(xiāng)、愛科學的情感。

四、同質(zhì)式練習，重構(gòu)結(jié)構(gòu)拓展模型

數(shù)學教學，要合理利用知識的“同化”或“順應(yīng)”，用原有的知識結(jié)構(gòu)去吸收和融合新的知識，及時調(diào)整學習方法和策略，使知識結(jié)構(gòu)發(fā)生改變并進行重構(gòu)的學習過程。小學階段有兩個重要的乘法模型：路程、時間、速度和總價、數(shù)量、單價。速度和單價都是由兩個不同類量的比得到的，這些模型的知識本質(zhì)是一致的。［1］在教學中，要突出知識本質(zhì)，重構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，促進模型的拓展。

［片段四］

導學單第四題：

請解答以下問題，并在小組里說說你的發(fā)現(xiàn)。

1.一輛汽車速度為80 千米/時，3 小時行駛多少千米？2.一款書包售價為80 元/個，買3 個需要付多少元？3.一種大米重量為80 千克/袋，3 袋大米一共多少千克？

師：對比這三道問題，你們組有什么發(fā)現(xiàn)？生：都可以用80×3 計算。師：不同的3 道題為什么可以列出相同的乘法算式？生：都表示3 個80 是多少。

師：這里的80 指的是什么？3 指的什么？結(jié)合課件的線段圖。生1：80 指的是每份數(shù)，3 指的是份數(shù)。生2：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

師：數(shù)學就是這么神奇，這就是乘法模型的魅力。如果每份數(shù)表示速度，你會想到哪個數(shù)量關(guān)系？如果每份數(shù)表示單價，又是哪個數(shù)量關(guān)系？

生1：速度×時間=路程。

生2：單價×數(shù)量=總價。

數(shù)學學習的過程實則是一個不斷抽象、不斷建模，并把小模型不斷納入大模型的結(jié)構(gòu)化的過程。以上同質(zhì)式練習，意在把知識本質(zhì)一致的“路程=速度×時間”和“總價=單價×數(shù)量”常見的數(shù)量關(guān)系納入乘法模型這個結(jié)構(gòu)中去，讓學生明白“路程、速度、時間”和“總價、單價、數(shù)量”都屬于乘法模型系統(tǒng)，都可以表示幾個幾是多少，形成更具廣泛性的“總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)”模塊結(jié)構(gòu)。［4］建立學生眼中有“樹木”，心中有“森林”的整體性認知格局，促進模型的拓展，讓學生帶著聯(lián)系的眼光學習數(shù)學，形成結(jié)構(gòu)化思維和整體意識，促進核心素養(yǎng)的發(fā)展。

總之，教師積極設(shè)計指向整體的結(jié)構(gòu)性練習，給學生充分的練習、討論和思考的時間，放慢教學的步伐，放大思維的空間，引導學生深度學習，學生學到的才會是“帶得走”的數(shù)學，這樣的結(jié)構(gòu)性練習才能將結(jié)構(gòu)化的理念融入課堂，真正為課堂增效為學生減負。