局部雙量化模糊粗糙集

謝淋淋,林國平

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建 漳州 363000）

程度粗糙集是1996年姚一豫提出的[1],通過用邏輯語言分析粗糙集模型,給出了絕對量化信息和相對量化信息的定義.相對量化信息與絕對量化信息是描述目標概念與等價類之間重合部分的兩種不同視角的表示方法.根據上述絕對量化信息的定義,產生了一個新的模型:程度粗糙集模型.與概率粗糙集模型不同,程度粗糙集模型是從絕對量化信息的角度分析目標概念與等價類之間的重疊部分的一個代表性的模型.通過引入程度參數(shù)k調節(jié)模型的精度和適用性.用更直觀的角度去表示重合部分.

通過分析絕對量化信息和相對量化、信息相似性和差異性,可以知道二者相輔相成,缺一不可.故為了避免數(shù)據分析的過程中產生誤判,張賢勇等[2-3]將變精度粗糙集與程度粗糙集用邏輯聯(lián)結詞進行組合引入了雙量化粗糙集模型,通過分析得出雙量化粗糙集模型具有雙重容錯的優(yōu)勢.其他學者們也通過將不同的由相對量化信息生成的粗糙集模型與程度粗糙集模型進行結合從而產生不同的雙量化粗糙集及其延伸模型[4-11].由于生活中不只存在分類型數(shù)據,還有連續(xù)性數(shù)據等其他的數(shù)據類型.但是,程度粗糙集仍然還有其局限性.目前,仍然缺少用t-范數(shù)和模糊t-余范數(shù)定義的模糊相似關系產生的程度模糊粗糙集的相關介紹.所以本文先引入程度模糊粗糙集.

為了解決程度模糊粗糙集模型中可能存在的全監(jiān)督數(shù)據的缺少以及計算效率不夠高的問題,故又提出將局部的概念[12]應用于程度模糊粗糙集模型進而產生局部模糊粗糙集模型.由于模型的下近似只考慮模糊目標概念中的那些模糊對象,所以此模型的計算效率就被大大提高.其他的學者也討論了局部模糊粗糙集模型的性質及其約簡情況[13].考慮到模型的適用性,學者們在粗糙模糊集的基礎上提出了雙量化粗糙模糊集模型[14-15].有學者提出相應的雙量化模糊粗糙集模型,但是考慮到雙量化模糊粗糙集的計算效率還是不夠高,可能會產生過擬合結果,故僅僅只討論雙量化模糊粗糙集模型不足以解決問題,而且還需要大量的監(jiān)督數(shù)據才能執(zhí)行,本文結合相應的局部模糊粗糙集模型與局部程度模糊粗糙集模型，產生局部模糊雙量化模糊粗糙集模型.

1 預備知識

為了行文方便,在下面的討論過程中,設U是論域,是在U上的模糊T-相似關系.∈F(U)為一個模糊集,是定義在F(U)×F(U)上的包含度.

定義1設I=(U,)是一個模糊信息系統(tǒng).其中U是非空論域,是一個T-相似關系.xλ是模糊點,x∈U,λ∈(0,1],那么對任意的目標概念∈F(U),它的α-局部下近似和β-局部上近似分別定義為:

定義2[4]設I=(U,R)是一個信息系統(tǒng),X關于R的局部程度上、下近似分別為

定義3[15]設I=(U,R)是一個信息系統(tǒng),R是一個等價關系.給定兩個參數(shù)α,β(0≤β<α≤1),對任意的目標概念X?U,基于參數(shù)α,β的上、下近似分別定義為

2 局部雙量化模糊粗糙集模型（LDQFRS）

為了合成局部雙量化模糊粗糙集,在第2 節(jié)介紹的基礎知識的基礎上,可以發(fā)現(xiàn)定義3 是由在論域上的等價關系提出的,且目標概念為分明集.然而,在目前的實際應用中常常需要面對模糊的目標概念.為了提高模型適用性,對象與對象之間的關系也不再局限于等價關系,而是擴充到了模糊相似關系.故與程度粗糙模糊集相似,程度模糊粗糙集亟需被提出.

下文先提出一個程度模糊粗糙集模型與局部程度模糊粗糙集模型,分別從全局和局部的方向用絕對量化信息去近似模糊的目標概念.

2.1 程度模糊粗糙集（GFRS）

程度粗糙集模型是由姚一豫率先提出的.程度粗糙集模型作為用絕對量化信息近似目標概念的一個代表性模型,在實際應用中有無法替代的位置.為了拓寬模型的適用性,相應的程度粗糙模糊集模型、局部程度粗糙集模型被依次提出,然而缺乏應用于模糊目標概念及模糊相似關系的程度模糊粗糙集.本文需先定義程度模糊粗糙集.

在局部模糊粗糙集模型中,往往使用如下包含度的定義討論目標概念和模糊相似類的關系,即

故可仿照程度粗糙集的定義,將包含度的分子部分作為程度模糊粗糙集中模糊相似類相對于目標概念的內部程度;而將包含度的分母部分與分子部分的差定義為相應的外部程度,從而給出程度模糊粗糙集的如下具體定義.

定義4設I=(U,)是一個模糊信息系統(tǒng),為一個模糊的目標概念,k為可接受的容錯程度,k為非負常數(shù).關于的局部模糊程度上、下近似分別為：

2.2 局部程度模糊粗糙集（LGFRS）

程度模糊粗糙集在很大程度上提升模型的應用性.但是，局部模糊粗糙集模型的提出，使原先模型中可能存在的屬性約簡過擬合、計算效率提升，以及未標記數(shù)據的廣泛存在等問題都得到了很大程度的解決.故下面本文給出局部程度模糊粗糙集的定義.

定義5設I=(U,)是一個模糊信息系統(tǒng),為一個模糊的目標概念,k為可接受的容錯程度,k為非負常數(shù).關于的局部模糊程度上、下近似分別為

顯然,當k=0時,上述定義退化為模糊粗糙集.

2.3 局部雙量化模糊粗糙集（LDQFRS）

本節(jié)由局部模糊粗糙集與上節(jié)所提出的局部程度模糊粗糙集進行結合,提出以下局部雙量化模糊粗糙集模型.

定義6絕對量化信息與相對量化信息結合的方式有四種,故可以提出四種局部雙量化模糊粗糙集模型

不失一般性,下文僅考慮討論第4 個模型,因為兩個原因：一是此模型更符合實際應用中的精確要求;二是另外三種模型與局部程度模糊粗糙集關聯(lián)較大,分析結果不夠明顯.

算法1LDQFRS模型關于目標概念的上下近似.

輸入一個模糊信息系統(tǒng)(U,),一個模糊目標概念,決策風險參數(shù)α,β且程度參數(shù)k.

輸出

步驟1對每個x∈計算相應的

步驟2

步驟3對每個x∈,若>k,則

步驟4對每個x∈,若

步驟5返回

為了進行算法比較,這里需要提出全局雙量化模糊粗糙集模型,即

與局部雙量化模糊粗糙集模型的上、下近似算法的分析相似,通過相應分析可知,全局雙量化模糊粗糙集模型的上、下近似算法的步驟1 的計算的時間復雜度為O(|U|2),步驟3-4 計算以及的過程的時間復雜度為其余步驟計算的時間復雜度為常數(shù).所以,當目標概念總數(shù)遠小于論域的數(shù)目時,總的時間復雜度近似為O(|U|2).

定理1給定一個模糊信息系統(tǒng)(U,),目標概念∈F(U).局部雙量化模糊粗糙集對一個目標概念的上、下近似算法的時間復雜度相對于全局雙量化模糊粗糙集對一個目標概念的上、下近似算法的時間復雜度減少為后者的

證明根據前面的算法分析可知,局部雙量化模糊粗糙集對一個目標概念的上、下近似算法的時間復雜度相對于全局雙量化模糊粗糙集,對一個目標概念的上、下近似算法的時間復雜度減少,為后者的概率為p,有

定理2

證明根據定義1、定義5 及定義6 可以知道:若?x∈有則且即且故此時有綜上所述同理可證

2.4 DQFRS模型的特殊性質

設(U,)是一個模糊信息系統(tǒng),對任意模糊子集∈F(U),可以得出以下結論,

4)令k1,k2∈N且k1

證明1)對??F(U)若則由定義6 中的具體定義可知x∈即得證.

3)當α1<α2,β1<β2,對任意k∈N,有且有成立.根據定理2有和成立.

4)當k1

6)當k>0,對 任意∈F(U),有當k=0 時有和因此,由定理2 可得即同理又因為和所以同理及成立,所以有且得證.

7)任意∈F(U),有且因此,同理可得因 此由于對任意∈F(U),有因為性質6）證明過程得式子:故可證成立.同理對任意∈F(U),有成立,又故可得成立.

8)當α=1,β=0,k=0,此時成立,故故也成立.

3 例析

例1給定一個模糊信息系統(tǒng)(U,),其中U={u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8}.給定U上的一個模糊T-相似關系為:

這里考慮使用Lukasiewiczt-范數(shù),和一個特殊的余范數(shù),它們分別為

TL(x，y)=max{0，x+y-1}，SL(x，y)=min{1，x+y}.

根據表1的計算結果可得

通過進一步地分析可以知道,當只使用LFRS模型,即只考慮包含度的取值時,與的包含度取值相同,都為1,故在某些情況下α,β的取值不容易將它們區(qū)分,就是說參數(shù)α,β的取值會對結果產生很大影響.但是此時通過用LGFRS 模型可知,它們在的取值不同,所以可以通過使用LGFRS 模型區(qū)分.

綜上例題分析可以清楚得到LFRS 模型與LGFRS 模型都有很好的實際意義,若將它們根據實際問題的需要進行結合,得到的雙量化模型有其獨特的雙容錯率,可以進行更準確的分析,得到更精確的結論.

4 結語

絕對量化信息與相對量化信息都可以用以表示模糊相似類與目標概念的重疊部分,通過在模型中結合使用這兩種量化信息可以有雙重容錯率.本文重點討論了將局部程度模糊粗糙集與局部模糊粗糙集進行邏輯合取之后產生的局部雙量化模糊粗糙集模型,進一步分析其性質,并用一個例子體現(xiàn)了其實用性和高效性.后續(xù)研究可以通過借鑒局部模糊粗糙集的屬性約簡方法,進一步提出此模型的決策規(guī)則以及屬性約簡方法,還可以根據此模型的特性提出特殊的屬性約簡方法.