淺析整體思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

許含潔

[摘? 要] 整體思想表現(xiàn)在思考問題時(shí)，打破思維的局限性，將視線放到問題的整體結(jié)構(gòu)中，從宏觀層面全面地觀察問題的本質(zhì)，將一些獨(dú)立卻又相關(guān)的量視為一個(gè)整體進(jìn)行處理. 文章探討了整體思想在求圖形面積、方程、整體操作以及應(yīng)用題中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 整體思想;數(shù)學(xué)教學(xué);方程;應(yīng)用題

數(shù)學(xué)整體思想是以數(shù)學(xué)事物的整體性質(zhì)為著手點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體性的改造與分析，從“集成”的角度將一些圖形或式子等打包為一個(gè)整體，進(jìn)行整體處理的數(shù)學(xué)思想[1]. 這種思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得較多，如解方程（組）、代數(shù)式的求值或化簡(jiǎn)、幾何證明等均有涉及. 一般以整體運(yùn)算、設(shè)元、代入、補(bǔ)型等方式進(jìn)行操作. 筆者從自身的執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從以下幾方面談?wù)務(wù)w思想的實(shí)際應(yīng)用情況，與讀者共勉.

在求圖形面積中的應(yīng)用

縱觀近些年的中考數(shù)學(xué)題，關(guān)于求圖形面積的問題屢見不鮮且靈活多變，此類試題雖新穎有活力，但也給部分學(xué)生帶來(lái)了困擾. 一些基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，數(shù)學(xué)思想方法欠缺的學(xué)生看到此類問題打心底就感到恐懼. 筆者研究了不少關(guān)于求圖形面積的問題，發(fā)現(xiàn)此類問題若從整體思想的角度去分析，常能起到事半功倍的效果.

例1 如圖1，函數(shù)y=-x的圖像與y= -的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是點(diǎn)A，B. 若過這兩點(diǎn)分別作y軸的兩根垂線，點(diǎn)C，D為垂足，此時(shí)四邊形ACBD的面積是（? ）

A. 2? B. 4? C. 6? D. 8

本題以反比例函數(shù)的幾何意義為思維的切入點(diǎn)，連接A，C，B，D四點(diǎn)，易知S=S=2. 利用反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性可得CO=DO，AO=BO，由此可判定待求的四邊形ACBD是一個(gè)平行四邊形，面積為4S=8. 因此，可確定本題選D.

本題從反比例函數(shù)的幾何意義、對(duì)稱變換的角度進(jìn)行思考與分析，把圖像中呈現(xiàn)的一些零碎且毫無(wú)規(guī)則可言的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)生所熟悉的規(guī)則圖形. 學(xué)生面對(duì)轉(zhuǎn)化后的平面圖形，解題思路變得清晰.

整體思想在求圖形面積時(shí)最大的功能是將神態(tài)各異的不規(guī)則圖形，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的特殊圖形來(lái)進(jìn)行解決. 這種方法不僅能啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還能有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生在探索與思考中實(shí)現(xiàn)解題的創(chuàng)新，提升數(shù)學(xué)能力.

在方程組中的應(yīng)用

整體思想主要體現(xiàn)在摒棄局部思維，從大局著手進(jìn)行整體觀察與分析，以探尋新的解決問題的途徑. 代數(shù)問題的解決中，我們常發(fā)現(xiàn)將它們進(jìn)行合并能消元或湊成整數(shù)，一般稱這種操作為整體合并，最常用的整體合并方式有錯(cuò)位合并、配方合并、首尾合并等.

二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從二元消為一元的角度去分析問題. 這就涉及加減消元與代入消元的問題，不論是哪種消元都需要將一部分內(nèi)容視為整體進(jìn)行使用.

例2 已知x，y滿足方程組2x+y=1009，x+2y=-1006，求x2-y2的值.

本題若按照正常解題思路分析，需分別計(jì)算出x與y的值，再計(jì)算x2-y2，此過程異常煩瑣，增加計(jì)算量的同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生. 若換一種思維角度，運(yùn)用倒推法從結(jié)論著手，x2-y2可寫成（x+y）（x-y），只要能分別計(jì)算出（x+y）與（x-y）的值，此題的答案便呼之欲出.

將方程組中的兩個(gè)式子相減，即2x+y-（x+2y）=1009-（-1006），計(jì)算可得x-y=2015;將方程組中的兩個(gè)式子相加，即2x+y+x+2y=1009-1006，計(jì)算可得3x+3y=3，x+y=1. 所以x2-y2=（x+y）（x-y）=1×2015=2015.

通過兩個(gè)式子整體的加減，我們很快地解決了問題，這種解題思路既簡(jiǎn)潔又方便. 解方程組時(shí)遇到數(shù)字大的情況，計(jì)算會(huì)異常繁雜，這是一個(gè)棘手的問題，學(xué)生一不小心就會(huì)出現(xiàn)失誤. 此時(shí)，將未知數(shù)的系數(shù)作為觀察的點(diǎn)，若兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)具有一定的關(guān)聯(lián)性，則可進(jìn)行整體加減，將數(shù)值化小，獲得簡(jiǎn)易方程，由此達(dá)到事半功倍的解題效果.

在整體操作中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開實(shí)踐活動(dòng)的開展，而一節(jié)課的時(shí)間是有限的，用怎樣的方式方法來(lái)提高活動(dòng)效率是我們關(guān)注的問題[2]. 整體操作一般是指從宏觀的視角來(lái)觀察、分析與改造問題，將一些操作對(duì)象視為整體，在處理時(shí)以這個(gè)整體為單位進(jìn)行處置.

遇到操作性的實(shí)踐活動(dòng)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生用集成的眼光來(lái)看待操作對(duì)象，操作時(shí)有意識(shí)地將一些具有相同屬性的個(gè)體歸在一個(gè)整體下. 在此過程中，學(xué)生需經(jīng)歷觀察、猜想、思考、討論、歸納、推理與反思等流程，結(jié)合自身原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)提出解決問題的辦法.

例3 有7只杯口向上的茶杯擺在講臺(tái)上，現(xiàn)在請(qǐng)你們按照規(guī)則將它們的杯口全部倒扣在講臺(tái)上，規(guī)則是一次需翻轉(zhuǎn)四只茶杯. 在這種情況下，能不能將所有的茶杯都倒扣在講臺(tái)上？若可以，需經(jīng)過幾輪翻轉(zhuǎn)？證明你的結(jié)論.

學(xué)生看到本題的第一感覺就是要拿幾個(gè)茶杯來(lái)試試，因?yàn)檫@是一個(gè)很容易操作的活動(dòng). 但是，在嘗試過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)幾次后就亂了順序，感覺毫無(wú)頭緒. 其實(shí)本題的答案是無(wú)法做到所有茶杯都倒扣在講臺(tái)上的，我們可以用賦值的方法來(lái)操作.

將正放的茶杯標(biāo)記為“+1”，將倒扣的茶杯標(biāo)記為“-1”，此時(shí)該活動(dòng)就轉(zhuǎn)變?yōu)槠邆€(gè)“+1”輪流翻轉(zhuǎn)成“-1”的活動(dòng). 每翻轉(zhuǎn)一次，就有四個(gè)符號(hào)發(fā)生變化，最終想要得到的結(jié)果是所有的數(shù)都要變成“-1”，此時(shí)7個(gè)數(shù)的乘積也變?yōu)椤?1”（將7個(gè)數(shù)的乘積看為一個(gè)整體）.

想要讓數(shù)字的符號(hào)發(fā)生變化，就是將這個(gè)數(shù)與“-1”相乘，每次翻轉(zhuǎn)就有四個(gè)數(shù)與“-1”相乘，也就是乘以（-1）4=1，所以它們的乘積在翻動(dòng)后是保持不變的. 初始階段這七個(gè)數(shù)都是“+1”，經(jīng)過n輪翻轉(zhuǎn)后，它們的乘積依然保持為“+1”，所以永遠(yuǎn)不可能將這七個(gè)“+1”同時(shí)翻轉(zhuǎn)成“-1”.

本題若依次嘗試，很難獲得問題的結(jié)論. 而賦值法的應(yīng)用，通過奇數(shù)和偶數(shù)規(guī)律的判別，問題的本質(zhì)就水落石出了. 若杯子的總數(shù)為偶數(shù)，每次翻動(dòng)一次的數(shù)量為奇數(shù)，也能用整體思想解題. 因此，整體思想的應(yīng)用需多加琢磨，在應(yīng)用中勤思考，達(dá)到觸類旁通的目的.

在應(yīng)用題中的應(yīng)用

學(xué)困生有一個(gè)共同特點(diǎn)，看到題干較長(zhǎng)的題目就畏縮不前，覺得自己肯定做不出來(lái)[3]. 而應(yīng)用題一般都有比較長(zhǎng)的文字描述，為了鼓勵(lì)學(xué)生大膽向前，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在解一些應(yīng)用題時(shí)可利用整體思想化繁為簡(jiǎn)，直擊問題的本質(zhì)，起到出奇制勝的教學(xué)效果.

例4 李明、陳紅和吳剛?cè)齻€(gè)人是同班同學(xué)，李明和陳紅分別從自家出發(fā)朝對(duì)方家步行，他們兩家的距離為30km，李明的速度是2km/h，陳紅的速度是1km/h. 吳剛則以5km/h的騎行速度往返于李明和陳紅之間，若三人同時(shí)出發(fā)，至兩人相遇，吳剛騎行的路程是多少千米？

本題待求的量是吳剛騎行的路程，首先要知道吳剛與其他兩人中的一人相遇騎行的路程，再將各段路程加在一起就是待求距離. 此過程次數(shù)繁多，計(jì)算復(fù)雜，難免會(huì)出現(xiàn)紕漏. 從整體思想的角度去思考，只要從“路程=速度×?xí)r間”的公式著手即可.

吳剛的騎行速度是5km/h，他所騎行的時(shí)間就是李明與陳紅相向而行至相遇所花費(fèi)的時(shí)間. 列式為：30÷（2+1）=10h，5×10=50km. 從這個(gè)角度來(lái)思考，問題變得異常清晰，解題不再有什么障礙，因數(shù)據(jù)比較小且容易計(jì)算，更加不會(huì)因計(jì)算失誤而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生.

應(yīng)用題主要是為了訓(xùn)練與考查學(xué)生的思維能力，整體思想在本題的應(yīng)用，即實(shí)現(xiàn)了對(duì)問題的再創(chuàng)造，又有效地激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 因此，整體思想的運(yùn)用是解決應(yīng)用題的法寶之一.

總之，整體思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用較多，這種數(shù)學(xué)思想對(duì)培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的思維能力與思維品質(zhì)具有深遠(yuǎn)的影響. 作為教師，應(yīng)在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)與各個(gè)章節(jié)有意識(shí)地滲透整體思想，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中形成良好的數(shù)學(xué)思維，提高解題能力，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 錢瑕玲. 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2] 林崇德. 學(xué)習(xí)與發(fā)展[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.

[3] 約翰·D. 布蘭思福特.人是如何學(xué)習(xí)的[M]. 程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.