基于APOS理論下的概念教學(xué)設(shè)計探究

黃安錦

[摘? 要] APOS理論關(guān)注學(xué)生怎么學(xué)和怎么幫助學(xué)生去學(xué)兩個核心問題，讓數(shù)學(xué)概念知識的生成和發(fā)展的過程與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成過程自然融合，文章就相關(guān)理論的認(rèn)識及教學(xué)中的實踐設(shè)計進(jìn)行探索.

[關(guān)鍵詞] APOS理論;數(shù)學(xué)概念;算術(shù)平方根

問題的源起

在日常教學(xué)中，有些教師容易忽略概念的生成，通過簡單的例子講解直接拋出定義，更重視概念的機(jī)械識記和重復(fù)的練習(xí)鞏固. 學(xué)生未曾經(jīng)歷概念的形成過程，很難理解概念，甚至混淆概念. 概念教學(xué)包括了概念的生成、理解、保持和應(yīng)用四個環(huán)節(jié)，當(dāng)前教學(xué)中教師更側(cè)重于概念的應(yīng)用，而概念的生成環(huán)節(jié)往往會被忽略. 在初中概念教學(xué)過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的抽象與歸納能力沒有得到發(fā)展，容易造成概念記得住，就是用不好的現(xiàn)象. 新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)學(xué)生對基本概念的理解，核心概念貫穿教學(xué)，并幫助學(xué)生構(gòu)建基本的知識體系，逐步加深對核心概念的理解，掌握其中蘊含的基本思想，最終發(fā)展成為學(xué)生終身受用的學(xué)科素養(yǎng).

杜賓斯基等人在建構(gòu)主義理念基礎(chǔ)上通過實踐研究提出了APOS理論，他們認(rèn)為概念的形成要重視“學(xué)生怎么學(xué)習(xí)概念”以及“怎樣才能幫助學(xué)生去學(xué)好概念”，該理論由活動、過程、對象和圖示四階段組成（如圖1），凸顯“學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性”.

以“算術(shù)平方根”為例的教學(xué)實踐

1. 活動階段——問題情境的創(chuàng)設(shè)

在活動階段中，教師通過問題情境引導(dǎo)學(xué)生參與操作，讓學(xué)生在操作過程中回顧與新概念學(xué)習(xí)相關(guān)的前知識，觸發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓新概念在實際中顯現(xiàn)和概化，為情境的抽象和概念的生成奠定基礎(chǔ). 在這個過程中，問題情境的設(shè)計一定要注意數(shù)量和難度上的雙適度，既要給予學(xué)生充足的操作空間，也要找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生“看得見、夠得著”，太難或太泛都不利于學(xué)生對概念生成過程的觀察、操作、反思和總結(jié).

（1）學(xué)習(xí)準(zhǔn)備

練習(xí)1：請說出20以內(nèi)所有自然數(shù)的平方.

練習(xí)2：求出下列各式的值.

課前通過練習(xí)幫助學(xué)生回顧前面所學(xué)的幾個知識點，為本節(jié)課教學(xué)活動的開展作好鋪墊，這也是學(xué)生對后面實際問題進(jìn)行操作思考的起點.

（2）情境導(dǎo)入，引發(fā)認(rèn)知沖突

情境一：如圖2，請想辦法將下面兩個邊長為1的小正方形拼成一個更大的正方形.

由于學(xué)生在前面學(xué)習(xí)無理數(shù)時接觸過此圖，所以好奇心和求知欲瞬間被激活了，很快就投入小組合作與討論中，最終得到以下幾種操作方案（如圖3）：

師：拼出來的這個大正方形的面積是多少？

生1：2.

師：設(shè)這個大正方形的邊長為x，那么x應(yīng)該滿足什么條件？

生2：x2=2.

生3：x一定是正數(shù).

師：那在前面的學(xué)習(xí)中，你能想辦法求出x的值嗎？

學(xué)生陷入沉思，嘗試用已知的知識解決問題未果.

師：上面的問題能否用數(shù)學(xué)語言來描述？

生4：已知正數(shù)x的平方等于2，求x的值.

師：我們帶著這個問題進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)，認(rèn)識這個數(shù).

2. 過程階段——探究體驗的過程

過程階段是數(shù)學(xué)概念生成的重要環(huán)節(jié)，在此階段中，教師通過活動設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索、小組合作等形式對具體的問題進(jìn)行實驗和分析，并對學(xué)生探索的方向和方法提供適度的指導(dǎo). 學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念從具體化問題轉(zhuǎn)化為抽象化的概述，從特殊情況的探索轉(zhuǎn)化為對一般情況的思考，從文字語言的描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言符號化的表示，從對新知識的感性認(rèn)知轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)知的生成過程，圍繞問題積極思考、嘗試探究、交流反思、歸納總結(jié)，最終形成數(shù)學(xué)概念.

（1）設(shè)計問題，引導(dǎo)主動探索

師：算術(shù)平方根是什么？它與我們所學(xué)過的知識有何聯(lián)系？我們能否從現(xiàn)實生活中通過我們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識對算術(shù)平方根的概念進(jìn)行概括？應(yīng)該從什么地方入手去探索這個新的概念？

生5：上面的例子中“一個正數(shù)的平方等于2”，我們前面學(xué)過平方的運算，能不能從平方運算入手去試試看？

師：好，那我們就從特殊的正方形面積和邊長來看看能否解決上面的問題？

情境二：你能根據(jù)某正方形的邊長求出這個正方形的面積嗎？

生6：簡單，邊長×邊長=面積.

師：很好，那請根據(jù)已知條件填寫表1. （引導(dǎo)學(xué)生填表，并引入新情境）

情境三：為了布置教室，小明想剪出一塊面積為36dm2的正方形彩紙，用于剪紙設(shè)計，請問這塊正方形彩紙的邊長應(yīng)取多少比較合適？

生7：這塊正方形彩紙的邊長應(yīng)該為6dm.

師：為什么？

生8：因為62=36，所以應(yīng)該為6dm.

師：很好，那如果小明需要剪出的正方形的面積是4dm2、25dm2、100dm2、dm2呢？

（引導(dǎo)學(xué)生填表2）

師：上面兩個表中的運算有什么關(guān)系？

生9：表1是已知邊長求面積，表2是已知面積求邊長，它們是互逆的.

師：上面的例子中，已知x2=a，a叫做x的平方，那么x叫做a的什么呢？

很多學(xué)生脫口而出：算術(shù)平方根.

師：怎樣正確描述算術(shù)平方根呢？請從課本中找出相關(guān)的概念.

板書課題，展示算術(shù)平方根的定義（暫不引出符號表示）.

（2）初步應(yīng)用，了解概念

師：請同學(xué)們相互談?wù)?，列出一個數(shù)，并嘗試說出這個數(shù)的算術(shù)平方根. （學(xué)生活動）

師：在所有的數(shù)中，有個數(shù)非常特別，并通過多媒體出示“0”，請問它有算術(shù)平方根嗎？如果有，它的算術(shù)平方根是多少？

生10：沒有.

生11：有，因為02=0，所以0的算術(shù)平方根是0.

其他學(xué)生恍然大悟，教師通過多媒體展示“0的算術(shù)平方根是0”.

練習(xí)1 填空題.

因為52=25，所以5是25的________;

因為（? ）=100，所以____是____的算術(shù)平方根.

練習(xí)2 求出下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

①4 ②25 ③0.81 ④

教師對例2中“求900的算術(shù)平方根”進(jìn)行示范解答并板演，強(qiáng)調(diào)答題規(guī)范性.

（3）引入符號，追尋本源.

師：有沒有什么辦法可以讓上面的求某個數(shù)的算術(shù)平方根的解答過程更加簡潔？

生10：可以像平方一樣用符號來表示算術(shù)平方根.

師：很好，用符號來描述一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根既簡潔又方便. 歷史上古人曾用不同的符號描述算術(shù)平方根，直至17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造了“”，它的出現(xiàn)得到了數(shù)學(xué)界的公認(rèn)，一直沿用至今. 一般地，我們把a(bǔ)（a≥0）的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，例如5的算術(shù)平方根可寫成，例2中“900的算術(shù)平方根是30”可以寫成“=30”.

練習(xí)3 求下列各式的值.

3. 對象階段——交流形成的對象

本階段是認(rèn)識數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征的重要環(huán)節(jié)，也是教師指導(dǎo)學(xué)生通過探究并加深對概念理解的環(huán)節(jié). 本環(huán)節(jié)主要由師生共同開展活動完成. 在上一階段得出概念后，教師通過變式練習(xí)或探究活動幫助學(xué)生完善對概念的理解，從新的角度或其他非本質(zhì)特征辨析概念，以凸顯新概念的本質(zhì)特征. 教師在本階段中應(yīng)注重學(xué)生對新概念本質(zhì)和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)活動中及時反饋學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，把握寶貴的可再生知識，引導(dǎo)學(xué)生在辨析中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并嘗試通過探索分析問題和解決問題，促使學(xué)生對新概念的鞏固并嘗試應(yīng)用.

在練習(xí)3中，教師通過巡視，發(fā)現(xiàn)第4小題有部分同學(xué)的答案為“= -2”，通過實物投影展示，并提出思考：=-2，大家對這題答案有異議嗎？

很快就有學(xué)生搶答：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

教師緊接著通過多媒體出示問題：“（1）負(fù)數(shù)有平方根嗎？為什么？（2）一個數(shù)如果有算術(shù)平方根，它需要滿足什么條件？”教師組織學(xué)生小組內(nèi)討論并得出答案：任何正數(shù)都有一個算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根. 一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根同樣是非負(fù)數(shù);當(dāng)a≥0時，≥0.

練習(xí)4 判斷題.

①16的算術(shù)平方根是4;

②因為（-3）2=9，所以9的算術(shù)平方根是-3;

③5是-25的算術(shù)平方根，9的算術(shù)平方根是-3;

④100的算術(shù)平方根是10，0.1的算術(shù)平方根是0.01.

練習(xí)5 解答題.

①的算術(shù)平方根是多少？

②下列各式是否有意義，為什么？

-

教師組織學(xué)生自主練習(xí)，并通過抽查提問反饋學(xué)生答題情況. 對于學(xué)生答題中的錯誤，通過小組幫扶和全班辨析加以解惑，讓學(xué)生的錯誤反饋形成再生知識，輻射到其他可能對算術(shù)平方根特性不熟悉的學(xué)生上. 教師也應(yīng)根據(jù)題目中的特例加以強(qiáng)調(diào)，如：“正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，所以即使（-3）2=9，9的算術(shù)平方根是3而非-3”“-是指2的算術(shù)平方根的相反數(shù)，所以該式有意義”“判斷一個根式是否有意義，不要只關(guān)心根號里面有沒有負(fù)號，而要看清被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)”等等，并對題目進(jìn)行變式訓(xùn)練，讓學(xué)生從非本質(zhì)特性中找到算術(shù)平方根的本質(zhì)，深入對新概念的理解和應(yīng)用.

練習(xí)6 =_________，

=_________，

-=_________.

練習(xí)7 若有意義，那么a_____（填取值范圍）.

4. 圖示階段——概括形成的圖示

本階段旨在讓學(xué)生從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生新概念，幫助學(xué)生構(gòu)建綜合心理圖示，擴(kuò)展新概念的外延，以促進(jìn)學(xué)生對新知識的掌握和應(yīng)用. 教師在此階段中，應(yīng)通過綜合訓(xùn)練和課堂小結(jié)，一方面將學(xué)生新學(xué)概念與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，對本節(jié)課的相關(guān)問題進(jìn)行綜合思考;另一方面通過課堂小結(jié)，幫助學(xué)生通過簡單的思維導(dǎo)圖或結(jié)構(gòu)圖示鞏固對新概念定義及其本質(zhì)特征的理解，讓本節(jié)課知識得以延續(xù)和拓展.

練習(xí)8 若x-5的算術(shù)平方根是3，那么x=_______.

練習(xí)9 計算.

①（-1）2+-

②+（-）

練習(xí)10 已知5是a+2+1的算術(shù)平方根，那么a=_______.

課堂小結(jié)：

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有何收獲？

（2）表示什么意義？

（3）請根據(jù)今天所學(xué)內(nèi)容繪制知識結(jié)構(gòu)圖樣，說說你掌握本節(jié)知識的做法.

（出示知識結(jié)構(gòu)圖（圖4），加深學(xué)生理解）

通過練習(xí)和師生共同小結(jié)，學(xué)生對算術(shù)平方根的概念和意義有了更深刻的理解，也掌握了如何判斷一個有理數(shù)是否存在算術(shù)平方根及如何去求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得以生成和發(fā)展.

結(jié)語

杜賓斯基說過：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理建構(gòu)，只有在自身已有知識、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，主動建構(gòu)新知識的意義，才能達(dá)成理解.”APOS理論的提出喚起了對如何開展數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新一輪思考，它還指出教師在設(shè)計教學(xué)活動過程中要關(guān)注到學(xué)生的心理構(gòu)建過程，由“教會學(xué)生如何做”轉(zhuǎn)向“教會學(xué)生如何學(xué)”. APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教師的精心設(shè)計情境引導(dǎo)下，主動參與學(xué)習(xí)并通過同伴互助、自主探索等形式掌握新概念的本質(zhì)特征，讓學(xué)生成為課堂真正的“主人”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中自然養(yǎng)成.