高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式法訓(xùn)練的應(yīng)用

王洪學(xué)

摘 要：高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，運(yùn)用變式法可以有效轉(zhuǎn)變思維，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，提高解題效率.文章以高中數(shù)學(xué)為例，首先概括了高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用價(jià)值，然后通過(guò)分析式、漸進(jìn)式、差異化等應(yīng)用策略，從一題多問(wèn)、一題多解、一題多變、求同存異四個(gè)應(yīng)用要點(diǎn)入手，探尋變式法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體應(yīng)用路徑.

關(guān)鍵詞：變式法;高中數(shù)學(xué);價(jià)值;應(yīng)用要點(diǎn);策略

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）06-0008-03

高中數(shù)學(xué)題目雖然內(nèi)容變化萬(wàn)千，但本質(zhì)卻萬(wàn)變不離其宗.在大多數(shù)時(shí)候，都需要學(xué)生靈活變換思維，以達(dá)到撥云見(jiàn)日的解題目的.數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)模式中常常習(xí)慣通過(guò)“題海戰(zhàn)術(shù)”來(lái)讓學(xué)生養(yǎng)成條件反射的學(xué)習(xí)習(xí)慣，而這種方式會(huì)逐漸消磨高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)耐心，直至到力不從心的狀態(tài).為了解決這個(gè)教學(xué)弊端，本文將論述變式法訓(xùn)練的具體應(yīng)用，探究高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新思路，為促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)解題能力提供有力的策略.

1 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用價(jià)值

1.1 減少不必要的習(xí)題練習(xí)

高中生的課業(yè)本就繁重，又要面對(duì)高考的如山壓力.高壓狀態(tài)下，學(xué)生很容易產(chǎn)生崩潰的心理.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)用精煉、用少量的題目，達(dá)到海量、繁雜的題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練效果.機(jī)械、反復(fù)的做題雖然能達(dá)到熟能生巧的程度，但對(duì)于學(xué)生而言無(wú)疑會(huì)增加學(xué)習(xí)壓力，訓(xùn)練的效率也比較低下.如果改用變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通的思考能力，迅速?gòu)淖兪接?xùn)練中總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，掌握各種有效的解題思路.由此，不僅能減緩高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力，也能從解題的過(guò)程中感受到學(xué)習(xí)樂(lè)趣.

1.2 有效提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率

在變式訓(xùn)練中，高中生常常能見(jiàn)到一種例題的多種問(wèn)法、多種解法，學(xué)生在這種教學(xué)啟示下，能強(qiáng)化歸納整理以及思維發(fā)散的學(xué)習(xí)效果.在同樣的時(shí)間內(nèi)掌握更多類型的題型，學(xué)會(huì)從整體角度思考問(wèn)題.因此，數(shù)學(xué)教師有效利用變式法訓(xùn)練，不僅能激活高中生的數(shù)學(xué)思維.還能幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)自信，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，有效提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.

1.3 培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的創(chuàng)新意識(shí)

變式法訓(xùn)練的主要目的，在于教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題、剖析問(wèn)題，并能結(jié)合題目?jī)?nèi)容全面思考、大膽假設(shè)，迅速找出題目中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律.這樣有助于高中生從固定、僵化的解題思維中脫離出來(lái)，逐漸培養(yǎng)出舉一反三的創(chuàng)新解題意識(shí).

2 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用措施

2.1 分析式訓(xùn)練

應(yīng)用分析式訓(xùn)練的主要目的，是為了通過(guò)變式法訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握多種類型的數(shù)學(xué)習(xí)題，有效積累解題經(jīng)驗(yàn).高中數(shù)學(xué)題按照題型進(jìn)行分類，可以分為基礎(chǔ)型、綜合型.基礎(chǔ)類題目主要考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念掌握的是否扎實(shí)，這一類題目大多通過(guò)填空或選擇的方式體現(xiàn).

例1 奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.

教師可以分析這道填空題的變式，思考其他可能的問(wèn)法，例如關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（ ）函數(shù).而綜合型題目，多將不同的知識(shí)點(diǎn)融合在一體，而這種類型的習(xí)題也是高中生攻關(guān)的重點(diǎn).例如存在函數(shù)f（x）=（x+2）（x+5），g（x）=log2（4x-1），試求兩個(gè)函數(shù)的定義域.這道題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，包括方程、對(duì)數(shù)函數(shù)等多種數(shù)學(xué)知識(shí).教師在分析時(shí)，也可以將定義域這個(gè)說(shuō)法進(jìn)行替換.改成問(wèn)兩個(gè)函數(shù)的集合是否存在交集，這樣也能達(dá)到異曲同工的提問(wèn)效果.解題思路不變，但需要運(yùn)用集合的知識(shí)修改最后的結(jié)論.

2.2 漸進(jìn)式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)教師在變式訓(xùn)練時(shí)，可以采用循序漸進(jìn)的方式逐步加深訓(xùn)練的難度.以同一道習(xí)題為引，一點(diǎn)點(diǎn)引入多種重要的知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生將不同的數(shù)學(xué)理論統(tǒng)籌在一起，建構(gòu)成良好的知識(shí)體系.漸進(jìn)式訓(xùn)練十分契合高中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，能通過(guò)由淺至深的形式，一步步深化學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生逐漸進(jìn)入到深度學(xué)習(xí)狀態(tài).

例2 已知存在點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（-7，0），試問(wèn)在直線y=3上是否存在點(diǎn)P，與點(diǎn)A、點(diǎn)B構(gòu)成直角三角形.解答這道題，可以從向量的角度入手，將向量OA、向量OB的坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)直角三角形直角邊垂直的知識(shí)角度進(jìn)行列式計(jì)算.若將這道題的難度加大，改成存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，恒定滿足PA⊥PB，試求P的軌跡方程.這個(gè)問(wèn)題需要學(xué)生從圓的方程角度來(lái)進(jìn)行思考，解題思路比前一問(wèn)要更加深入.若繼續(xù)將問(wèn)題延伸，繼續(xù)改變問(wèn)題內(nèi)容，問(wèn)某直線同樣存在點(diǎn)P，試問(wèn)直線和圓存在怎樣什么位置關(guān)系.這個(gè)問(wèn)題需要分析直線上存在幾個(gè)點(diǎn)P，若只有一個(gè)，那么就與該圓相切，若有兩個(gè)，就與圓相交.由此，隨著題目的不斷延伸，學(xué)生結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)會(huì)越來(lái)越多，學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力也會(huì)越來(lái)越強(qiáng).

3 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用要點(diǎn)

3.1 一題多問(wèn)的教學(xué)應(yīng)用

一種習(xí)題多種問(wèn)法，是數(shù)學(xué)教師應(yīng)用變式法訓(xùn)練的關(guān)鍵點(diǎn).這種教學(xué)方式在應(yīng)用過(guò)程中通常不會(huì)對(duì)題目進(jìn)行較大的變動(dòng)，只是適當(dāng)改變題目的問(wèn)法.這樣可以幫助學(xué)生迅速總結(jié)同一種類型習(xí)題的延伸變化，充分開(kāi)拓高中生的解題思路.因此，數(shù)學(xué)教師可以在授課內(nèi)容的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，讓題目的問(wèn)法更具有針對(duì)性和引導(dǎo)性.

例3 已知點(diǎn)A（-8，11），點(diǎn)B（-9，12），如果存在一個(gè)點(diǎn)P（x，y）保證∠APB恒定為直角，試求P的軌跡方程.這道題的也可以換幾種問(wèn)法，比如過(guò)點(diǎn)A（-8，11）的直線C1與過(guò)點(diǎn)B（-9，12）的直線C2相互垂直，垂足為P，試求P的軌跡方程.再比如點(diǎn)A（-8，11），點(diǎn)B（-9，12）為直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)，另有一動(dòng)點(diǎn)P分別與點(diǎn)A、點(diǎn)B相連接，滿足PA⊥PB，試求P的軌跡方程.同一題目，三種問(wèn)法，但實(shí)質(zhì)上應(yīng)用的卻是同一種解題思路.只是從論述的角度進(jìn)行些微的調(diào)整，成為高中生解題時(shí)的主要干擾.學(xué)生在面對(duì)這一類習(xí)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)透過(guò)問(wèn)題看本質(zhì)，看到動(dòng)點(diǎn)、直角，就要聯(lián)想到“圓上任意一點(diǎn)與直徑兩端（不包括直徑兩段的點(diǎn)）能組成直角三角形”這個(gè)重要的結(jié)論.

3.2 一題多解的教學(xué)應(yīng)用

許多數(shù)學(xué)習(xí)題的解題思路屬于開(kāi)放形式，并非一成不變.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最忌諱墨守成規(guī)，高中生想要提高解題能力，需要做到多管齊下，而不是“一招鮮，吃遍天”.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)引入一題多解類型的變式習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度思考解題的策略，逐漸加強(qiáng)高中生的自主探究能力與多元思維能力.

例4 不等式4<|3x-1|<9，針對(duì)這道例題，有兩種解析思路.第一，從絕對(duì)值角度入手，按照絕對(duì)值的定義，當(dāng)3x-1≥0時(shí)，滿足4<3x-1<9，當(dāng)3x-1<0時(shí)，滿足-9<3x-1<-4，針對(duì)兩種情況分類討論，就能求出最后的答案.第二種解題思路，先將原式分離成兩個(gè)不等式|3x-1|<9與|3x-1|>4，寫成不等式組的形式，求解方程組，寫出解集，同樣也能得出最后的答案.雖然兩種解題的思路不一樣，但殊途同歸，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是唯一的.而這也可以作為高中生嘗試應(yīng)用不同解題思路的驗(yàn)證途徑.讓學(xué)生在掌握多種解題方法的同時(shí)，能保證結(jié)果的準(zhǔn)確度.

3.3 一題多變的教學(xué)應(yīng)用

所謂一題多變，是以某道經(jīng)典例題為基礎(chǔ)，在不改變題目本質(zhì)和原理的基礎(chǔ)上，適當(dāng)改變表述的方式，以起到提高學(xué)生讀題能力、幫助學(xué)生迅速熟悉解題技巧的目的.對(duì)于一題多變，教師可以從學(xué)生考試或平時(shí)作業(yè)中錯(cuò)誤率最高的題型中進(jìn)行篩選.通過(guò)不同的編題方式，讓學(xué)生靈活思考，從多個(gè)角度來(lái)嘗試分析問(wèn)題.這不僅能拓展學(xué)生的思維深度，也能幫助學(xué)生迅速熟悉和掌握變式訓(xùn)練方法.

例5 已知α是第二象限上的角，sinα=45，試問(wèn)tanα的值為多少？對(duì)于這道題的解析，我們已知sinα的值，想要求解tanα，就要了解cosα為多少.而通過(guò)判斷α的位置，可以確定cosα的值是正是負(fù).因此，根據(jù)公式cosα=-1-sin2α，就能算出cosα為-35，進(jìn)而求出tanα為-43.

本題還可以進(jìn)行改編，比如變式一：將原題中“α是第二象限上的角”這一條件去掉.只留sinα=45，試問(wèn)tanα的值為多少？在這種情況下，由于不知道α角所處的位置在解題時(shí)，就要進(jìn)行分類討論，將α在第一象限或是第二象限的情況分別列舉出來(lái)，求出各自的答案，再進(jìn)行匯總.

變式二：如果sinα=a（a>0），試問(wèn)tanα的值為多少？變式二與變題一相比，分類討論上明顯變的更為復(fù)雜.學(xué)生首先要根據(jù)a>0，找出題目中隱藏的條件0

變式三：如果sinα=b（|b|≤1），試問(wèn)tanα的值為多少？與變式二相比，變式三增加了絕對(duì)值的概念，分類討論的情況會(huì)進(jìn)一步增加，包括b=1，-1，0，以及α在一、四象限或二、三象限等等.通過(guò)這種變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的做題習(xí)慣.

3.4 求同存異的教學(xué)應(yīng)用

高中生在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)明明看上去題目的類型不同，但卻需要應(yīng)用同一種解題思路，這也是數(shù)學(xué)題常見(jiàn)的共通性特點(diǎn).教師在解題教學(xué)中，可以基于求同存異的思想，指導(dǎo)學(xué)生嘗試在不同的習(xí)題中，歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，將解題方法進(jìn)行串聯(lián)，以起到一法多用的學(xué)習(xí)效果.

數(shù)學(xué)問(wèn)題表面上看似多變，但實(shí)質(zhì)上卻蘊(yùn)含著共通之處.如果只靠不停的做題來(lái)強(qiáng)行記憶所有的題干描述形式，那么高中生的學(xué)習(xí)任務(wù)不僅繁重，效率也將十分低下.通過(guò)變式法訓(xùn)練，可以激發(fā)學(xué)生舉一反三的思考能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維將大有裨益.教師在開(kāi)展變式法訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)“分析式、漸進(jìn)式、差異化”等應(yīng)用策略，從一題多問(wèn)、一題多解、一題多變、求同存異四個(gè)應(yīng)用要點(diǎn)入手，為學(xué)生帶來(lái)良好的學(xué)習(xí)啟示，幫助學(xué)生掌握多元化的解題方式，強(qiáng)化學(xué)以致用的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 溫慶文.變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用淺談[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（06）：128.

[2] 劉學(xué)輝.變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].高中數(shù)理化，2019（22）：25-26.

[責(zé)任編輯：李 璟]