非交換剩余格上的n重PMTL濾子及其刻畫

左衛(wèi)兵, 張一旎

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 鄭州 450046)

為給不確定性信息處理理論提供可靠且合理的邏輯基礎(chǔ),許多學(xué)者研究了各種非經(jīng)典邏輯系統(tǒng).同時,作為非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的語義系統(tǒng)的各種邏輯代數(shù)也被廣泛研究,如剩余格、MTL代數(shù)、BL代數(shù)、MV代數(shù)和R0代數(shù)等[1-5],以及它們的各種非交換版本,如非交換剩余格、偽MTL代數(shù)、偽BL代數(shù)、偽MV代數(shù)等[6-10].這些邏輯代數(shù)中剩余格和非交換剩余格是最基本且最重要的代數(shù)結(jié)構(gòu),其他邏輯代數(shù)均是它們的特殊情況.

在邏輯代數(shù)的研究中,濾子理論起到了非常重要的作用.目前,在剩余格、非交換剩余格以及其他邏輯代數(shù)中,各種特殊濾子已被引入,如正規(guī)濾子、布爾濾子、蘊(yùn)涵濾子、正蘊(yùn)涵濾子、奇異濾子等[11-19],并獲得了許多重要結(jié)果.

受文獻(xiàn)[20-21]的啟發(fā),本文在非交換剩余格上引入n重PMTL濾子的概念,得到這類濾子的一系列刻畫,提出n重PMTL代數(shù)的定義,從n重PMTL濾子的角度證明n重PMTL代數(shù)的若干特征定理,并通過提出n重素濾子的定義,給出n重PMTL代數(shù)的另一種刻畫.

1 預(yù)備知識

定義 1.1[22]代數(shù)系統(tǒng)

稱為非交換剩余格,如果：

1) (L,∧,∨,0,1)為有界格;

2) (L,?,1)是非交換幺半群;

3) 對任意x,y,z∈L,則

在非交換剩余格L,對?x∈L,定義

定義 1.2[7]非交換剩余格L若滿足

則稱L為偽MTL代數(shù).

定義 1.3[8]一個偽MTL代數(shù)L若滿足

則稱L為偽BL代數(shù).

引理 1.1[22]設(shè)L是非交換剩余格,那么對于任意x,y,z∈L,以下性質(zhì)成立:

9)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z),(y∨z)?x=(y?x)∨(z?x);

10)x→(y∨z)≥(x→y)∨(x→z)和

(y∧z)→x≥(y→x)∨(z→y),

11) (y→z)?(x→y)≤x→z和

12)x?y≤x∧y,特別地,x2≤x.

定義 1.4[22]設(shè)F為非交換剩余格L的非空子集,如果:

1)x∈F,y∈F?x?y∈F;

2)x∈F,x≤y?y∈F,則稱F為非交換剩余格L的濾子.

引理 1.2[22]設(shè)F為非交換剩余格L的非空子集,則以下條件等價:

1)F是L的濾子;

2) 1∈F,x,y∈L,(x∈F,x→y∈F)?y∈F;

2 n重PMTL濾子

定義 2.1設(shè)F為非交換剩余格L的濾子,若對任何

x,y∈L,n∈N+,

有

(xn→y)∨(y→x)∈F,

且

則稱F為L的n重PMTL濾子.

注意到,當(dāng)n=1且F為正規(guī)濾子時,1重PMTL濾子就是文獻(xiàn)[23]所提到的PMTL濾子.

下面例子表明非交換剩余格上每個濾子并不都是n重PMTL濾子,即n重PMTL濾子是非交換剩余格上的特殊濾子.

例 2.1設(shè)

L={0,a,b,c,d,1},

0

0abcd10000000a00a0aab00b0bbc0aacccd0abcdd10abcd1

→0abcd10111111ab11111b0c1c11cbbb111d0abc1110abcd1

0abcd10111111ac11111bcc1c11c0bb111d0abc1110abcd1

則L為非交換剩余格[15].容易驗(yàn)證F={1}是L上的濾子但不是2重PMTL濾子,因?yàn)?/p>

(b2→c)∨(c→b)=d?F.

命題 2.1每個1重PMTL濾子都是n重PMTL濾子,但反之不一定成立.

證明由不等式

(x→y)∨(y→x)≤(xn→y)∨(y→x),

可知,顯然成立.

0abcd10000000a00000ab00000bc00000cd0abcdd10abcd1

→0abcd10111111ac1c111bcc1111cccc111dcccc1110abcd1

0abcd10111111ad1d111bdd1111cddd111d0abc1110abcd1

則L是非交換剩余格[24].容易驗(yàn)證F={1}是n重PMTL濾子(n≥2),但不是PMTL濾子,因?yàn)?/p>

(a→b)∨(b→a)=c?F.

命題 2.2每個n重PMTL濾子都是(n+1)重PMTL濾子,但反之不一定成立.

證明因?yàn)?/p>

xn→y≤xn+1→y

和

則有

(xn→y)∨(y→x)≤(xn+1→y)∨(y→x)

且

從而結(jié)論成立.

由數(shù)學(xué)歸納法可以得到下面的命題.

命題 2.3每個n重PMTL濾子都是(n+k)重PMTL濾子,但反之不一定成立,其中k∈N+.

n重PMTL濾子具有如下擴(kuò)張定理.

定理 2.1設(shè)F和E是非交換剩余格L的濾子且滿足F?E.如果F是n重PMTL濾子,那么E是n重PMTL濾子.

證明因?yàn)镕是L的n重PMTL濾子,所以

?x,y∈L,

有

(xn→y)∨(y→x)∈F,

且

又F?E,故

(xn→y)∨(y→x)∈E,

且

因此,E是n重PMTL濾子.

3 n重PMTL濾子的刻畫

定理 3.1F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價:

1)F是n重PMTL濾子;

2)x→(yn∨z)∈F蘊(yùn)含

(x→y)∨(x→z)∈F,

3) [x→(yn∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]∈F,

證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,且

x→(yn∨z)∈F,

那么由引理1.1的9)、1)和11)、12)可以得到如下2個不等式鏈：

[(yn→z)∨(z→y)]?[x→(yn∨z)]=

{(yn→z)?[x→(yn∨z)]}∨

{(z→y)?[x→(yn∨z)]}=

{[(yn∨z)→z]?[x→(yn∨z)]}∨

{[(y∨z)→y]?[x→(yn∨z)]}≤

{[(yn∨z)→z]?[x→(yn∨z)]}∨

{[(y∨z)→y]?[x→(y∨z)]}≤

(x→z)∨(x→y),

因此,

2)?3) 設(shè)u=x→(yn∨z),由引理1.1的8)可知

u→u=(u?x)→(yn∨z)∈F,

蘊(yùn)含

[(u?x)→y]∨[(u?x)→z]∈F.

利用引理1.1的8) 和10)有不等式

[(u?x)→y]∨[(u?x)→z]=

[u→(x→y)]∨[u→(x→z)]≤

u→[(x→y)∨(x→z)].

因此,

[x→(yn∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]∈F.

蘊(yùn)含

利用引理1.1的8)和10)有不等式

因此,

3)?1) 令x=yn∨z,則結(jié)論成立.

定理 3.2F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價：

1)F是n重PMTL濾子;

2) (y∧z)→x∈F蘊(yùn)含

(yn→x)∨(z→x)∈F,

蘊(yùn)含

證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,且

那么由引理1.1的9)、12)、2)和11)可以得到如下2個不等式鏈：

[(y∧z)→x]?[(yn→z)∨(z→y)]=

{[(y∧z)→x]?(yn→z)}∨

{[(y∧z)→x]?(z→y)}≤

{[(yn∧z)→x]?(yn→z)}∨

{[(y∧z)→x]?(z→y)}=

{[(yn∧z)→x]?[yn→(yn∧z)]}∨

{[(y∧z)→x]?[z→(y∧z)]}≤

(yn→x)∨(z→x),

因此

(yn→x)∨(z→x)∈F,

2)? 3) 設(shè)u=(y∧z)→x,由引理1.1的5)可知，

蘊(yùn)含

利用引理1.1的5)和10) 有不等式

因此,

蘊(yùn)含

利用引理1.1的5)和10) 有不等式

因此

3)?1) 令x=y∧z,則結(jié)論成立.

定理 3.3F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價：

1)F是n重PMTL濾子;

2)x→zn∈F蘊(yùn)含

(x→y)∨(y→z)∈F,

蘊(yùn)含

3)

(x→zn)→[(x→y)∨(y→z)]∈F,

證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,且

那么由引理1.1的9)、11)和12),可以得到如下2個不等式鏈：

[(zn→y)∨(y→z)]?(x→zn)=

[(zn→y)?(x→zn)]∨

[(y→z)?(x→zn)]≤

[(zn→y)?(x→zn)]∨(y→z)≤

(x→y)∨(y→z),

因此

(x→y)∨(y→z)∈F,

2)?3) 設(shè)u=x→zn,由引理1.1的(8)可知，

u→u=(u?x)→zn∈F

蘊(yùn)含

[(u?x)→y]∨(y→z)∈F,

利用引理1.1的8)、4)和10)有不等式

[(u?x)→y]∨(y→z)=

[u→(x→y)]∨(y→z)≤

[u→(x→y)]∨[u→(y→z)]≤

u→[(x→y)∨(y→z)].

因此

(x→zn)→[(x→y)∨(y→z)]∈F;

蘊(yùn)含

利用引理1.1的(8)(4) 和(10) 有不等式

因此,

3)?1)令x=zn,則結(jié)論成立.

定理 3.4F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價:

1)F是n重PMTL濾子;

證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,則由引理1.1的3)、1)、12)、7)和8)可得以下不等式:

(xn→y)∨(y→x)≤

從而

2)?3) 如果

那么由定理3.4的2)和引理1.2顯然可得

3)?1) 令

z=(xn→y)∨(y→x),

則

從而

由定理3.4的3)得

又由引理1.1的10)和7)得

[(xn→y)∨(y→x)]≤(xn→y)∨(y→x),

故

(xn→y)∨(y→x)∈F.

同理,令

可得

從而F是n重PMTL濾子.

4 n重PMTL代數(shù)及其特征定理

定義 4.1非交換剩余格L如果對任何

x,y∈L,

則稱L為n重PMTL代數(shù).

根據(jù)定理2.1的擴(kuò)張性質(zhì),可以得到n重PMTL代數(shù)的如下特征定理.

定理 4.1設(shè)F是非交換剩余格L的濾子,則下列條件等價：

1) {1}是n重PMTL濾子;

2) 每個濾子是n重PMTL濾子;

3)L是n重PMTL代數(shù).

證明1)?2) 由定理2.1顯然成立.

2)?3) 因?yàn)槊總€濾子都是n重PMTL濾子,特別地,{1}是n重PMTL濾子.因此,對任何

x,y∈L,

有

(xn→y)∨(y→x)∈{1},

且

即

從而L是n重PMTL代數(shù).

3)?1) 顯然成立.

定理 4.2設(shè)L是非交換剩余格,則以下各條件等價:

1)L是n重PMTL代數(shù);

2)x≤(yn∨z)蘊(yùn)含

4) (y∧z)≤x蘊(yùn)含

6)x≤zn蘊(yùn)含

證明由定理3.1～3.4和定理4.1的1)和3) 知,顯然成立.

推論 4.1設(shè)L是非交換剩余格,則以下各條件等價:

1)L是偽MTL代數(shù);

2)x≤(y∨z)蘊(yùn)含

4) (y∧z)≤x蘊(yùn)含

6)x≤z蘊(yùn)含

5 n重素濾子及n重PMTL代數(shù)的另一種刻畫

素濾子是研究邏輯代數(shù)的一類重要濾子，學(xué)者們在不同的邏輯代數(shù)中提出并研究了素濾子的概念和性質(zhì)，得到了一系列結(jié)果[25-32]. 在這些研究的基礎(chǔ)上，Gasse等[33]提出,對于任何交換剩余格L,若素濾子和并素濾子一致,則L為MTL代數(shù).隨后,Kondo等[34]給出了確切的證明;文獻(xiàn)[35]將結(jié)果推廣到非交換剩余半格上,通過素濾子之集來刻畫偽MTL代數(shù).基于此,考慮提出n重素濾子的概念,并用n重素濾子的類來刻畫n重PMTL代數(shù).

定義 5.1設(shè)F是非交換剩余格L的濾子,如果x∨y∈F,那么x∈F或y∈F,則稱F是L的并素濾子.

定義 5.2設(shè)F是非交換剩余格L的濾子.對

?x,y∈L,

若

xn→y∈F,

或

y→x∈F,

則稱F為L的n重→素濾子; 若

或

定義 5.3設(shè)L為非交換剩余格.對

?x,y∈L,

若

(xn→y)∨(y→x)=1,

則稱L為n重→ MTL 代數(shù); 若

定理 5.1設(shè)L為非交換剩余格,則

1)L為n重→MTL代數(shù),則

PF∨(L)?NPF→(L);

3)L為n重PMTL代數(shù),則

PF∨(L)?NPF(L).

證明1)L為n重→MTL代數(shù),設(shè)

F∈PF∨(L),x,y∈L.

因?yàn)?/p>

(xn→y)∨(y→x)=1∈F,

則

xn→y∈F,

或

y→x∈F,

故

F∈PF→(L),

從而

PF∨(L)?NPF→(L).

2) 證明過程與1)類似.

3)L為n重PMTL代數(shù),則由1)和2)可得

下面例子表明L為n重PMTL代數(shù),但

NPF(L)PF∨(L).

例 5.1如例2.2所示的非交換剩余格L,因?yàn)閧1}是n重PMTL濾子,則由定理4.1可知L為n重PMTL代數(shù).容易驗(yàn)證{1}是n重素濾子,但不是并素濾子,因?yàn)?/p>

c∨d=1∈{1},

但

c?{1},d?{1}.

定理 5.2設(shè)L為非交換剩余格,則

1)L為n重→MTL代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

PF∨(L)?NPF→(L);

3)L為n重PMTL代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

PF∨(L)?NPF(L).

證明1) 定理5.1已證明了必要性.

充分性 假設(shè)

PF∨(L)?NPF→(L)

且L不是n重→ MTL 代數(shù).因此,存在

a,b∈L,

使得

(an→b)∨(b→a)≠1.

令

G1=∩{G∈(L)|G≠{1}}.

首先,設(shè)G1={1},則由文獻(xiàn)[35]中的定理5.5可知,存在一個并素濾子P,使得

(an→b)∨(b→a)?P,

又因?yàn)镻也是n重→素濾子,則

(an→b)∈P

或

(b→a)∈P,

即

(an→b)∨(b→a)∈P,

與上式矛盾，故假設(shè)不成立.其次,設(shè)

G1≠{1},

則{1}是并素濾子也是n重→素濾子,則

(an→b)∈{1}

或

(b→a)∈{1},

即

(an→b)∨(b→a)=1.

與假設(shè)矛盾.綜上,L是n重→MTL代數(shù).

2) 證明過程與(1)類似.

3) 定理5.1已證明了必要性.

充分性 因?yàn)?/p>

則由1)和2)易得L為n重PMTL代數(shù).

6 總結(jié)

本文在非交換剩余格上引入了n重PMTL濾子的概念,通過研究其特征和性質(zhì),獲得了這類濾子的一系列等價條件,提出了n重PMTL代數(shù)的概念,得到了n重PMTL代數(shù)的若干特征定理,同時提出n重素濾子的定義,給出了n重PMTL代數(shù)的另一種刻畫.相關(guān)結(jié)果豐富了非交換剩余格上的濾子理論.