一類半線性偽拋物方程的初邊值問題

高雪妍, 鄭雅勻, 楊 晗

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 611756)

0 引言

研究半線性偽拋物方程的初邊值問題

φ(u),Ω×(0,T),

(1)

u(x,t)=0, ?Ω×(0,T),

(2)

u(x,t)=u0(x),Ω,

(3)

其中

這里Ω?n是一個(gè)邊界充分光滑的有界區(qū)域,p≥2.上述方程組可用來描述非線性、色散、長波的單向傳播[1-2]和種群的聚集[3]等多種現(xiàn)象,也可用于分析有緣半導(dǎo)體中的非平穩(wěn)過程[4-5].Δut-ut對應(yīng)自由電子密度率,ut對應(yīng)自由電荷電流的線性耗散,φ(u)描述自由電子電流的來源.

現(xiàn)回顧與問題(1)～(3)有關(guān)的文獻(xiàn)的一些經(jīng)典結(jié)論.當(dāng)(1)式中Δut項(xiàng)缺失時(shí),Tsutsumi[6]研究了退化拋物型方程

的初邊值問題.用Galerkin方法、單調(diào)算子理論和緊致性定理研究了方程的整體弱解的存在性與爆破方面的結(jié)論.當(dāng)(1)式Δut項(xiàng)變成u時(shí),Liu等[7]考慮了半線性熱方程

ut-Δu+u=|u|p-1u

(4)

的柯西問題.在初值屬于穩(wěn)定性集時(shí),研究了方程(4)弱解的整體存在性和指數(shù)衰減估計(jì),在初值屬于不穩(wěn)定性集時(shí),研究了弱解在有限時(shí)刻爆破.Xu等[8]等研究了半線性偽拋物方程

ut-Δu-Δut=u1+α

(5)

的初邊值問題.在初始值滿足適當(dāng)?shù)臈l件下,通過引入穩(wěn)定性集與不穩(wěn)定性集得到弱解的整體存在性、漸近性和不存在性,并通過比較原理得到具有初始能量為正時(shí)解在有限時(shí)刻爆破.Chen等[9]研究了具有對數(shù)非線性項(xiàng)的半線性偽拋物方程

ut-Δu-Δut=ulog|u|,

通過使用對數(shù)Sobolev不等式和一族勢井,得到方程整體弱解存在性、解的漸近性質(zhì)和在正無窮處的指數(shù)增長性.另一方面,還討論了解的真空隔離.

本文研究(5)式的退化情形，即(1)式,考慮初值在何種條件下弱解的整體存在及在何種條件下解爆破,并且研究解存在真空隔離現(xiàn)象.

1 準(zhǔn)備工作

為了后面的應(yīng)用,先給出幾個(gè)引理,引理1.1和1.2的證明詳見文獻(xiàn)[6].

令

I(u)=a(u)-b(u),

(6)

其中

下面是與勢井理論相關(guān)的基本結(jié)論.

(7)

引入集合

W={u|u∈W1,p0(Ω),0≤J(λu)

λ∈[0,1]}.

事實(shí)上,可證得對任意t,u0(x)∈W時(shí),u(x)∈W(見定理3.1).因此,稱該集合為穩(wěn)定性集.

引理 1.2

W=W*∪{0},

其中

W*={u|u∈W1,p0(Ω),a(u)-b(u)>0,

J(u)

令

N={u∈W1,p0(Ω)|I(u)=0,‖u‖p1,p(Ω)≠0},

W={u∈W1,p0(Ω)|I(u)>0,

J(u)

V={u∈W1,p0(Ω)|I(u)<0,J(u)

下面引入一勢井族.對δ>0,定義

Iδ(u)=δa(u)-b(u),

Nδ={u∈W1,p0(Ω)|Iδ(u)>0,

J(u)

Wδ={u∈W1,p0(Ω)|Iδ(u)>0,

J(u)

Vδ={u∈W1,p0(Ω)|Iδ(u)<0,J(u)

下面給出勢井族的相關(guān)結(jié)論.

1) 若0<‖u‖1,p(Ω)0.特別地,若0<‖u‖1,p(Ω)0.

2) 若Iδ(u)<0,則‖u‖1,p(Ω)>r(δ).特別地,若I(u)<0,則‖u‖1,p(Ω)>r(1).

3) 若Iδ(u)=0,則‖u‖1,p(Ω)≥r(δ)或‖u‖1,p(Ω)=0,特別地,若I(u)=0,則‖u‖1,p(Ω)≥r(1),或‖u‖1,p(Ω)=0.

證明1)的證明.由0<‖u‖1,p(Ω)

Iδ(u)=δ‖u‖p1,p(Ω)-‖u‖2+α2+α(Ω)≥

δ‖u‖p1,p(Ω)-C1+α*‖u‖2+α1,p(Ω)≥

‖u‖p1,p(Ω)(δ-C1+α*‖u‖2+α-p1,p(Ω))>0,

由Iδ(u)的定義,1)得證.

2)的證明.由Iδ(u)<0,有

0>δ‖u‖p1,p(Ω)-‖u‖2+α2+α(Ω)≥

δ‖u‖p1,p(Ω)-C1+α*‖u‖2+α1,p(Ω)≥

‖u‖p1,p(Ω)(δ-C1+α*‖u‖2+α-p1,p(Ω)),

得‖u‖1,p(Ω)>r(δ).

3)的證明.若Iδ(u)=0,且‖u‖1,p(Ω)≠0,則有

δ‖u‖p1,p(Ω)-‖u‖2+α2+α(Ω)≥

δ‖u‖p1,p(Ω)-C1+α*‖u‖2+α1,p(Ω)=

‖u‖p1,p(Ω)(δ-C1+α*‖u‖2+α-p1,p(Ω))=0,

得‖u‖1,p(Ω)≥r(δ).

4)的證明.由引理1.3的3)和

下面給出d(δ)的相關(guān)結(jié)論.

引理 1.42+α>p,p>2,d(δ)滿足下列性質(zhì):

證明1)u∈N,則由引理1.3的3)可得‖u‖1,p(Ω)≥r(δ),從而由

c(δ)rp(δ)≥c(δ)r2(δ),

得到d(δ)≥c(δ)r2(δ).

使得Iδ(λu)=0.從而λu∈Nδ,且

J(v)

事實(shí)上,由引理1.4的2)得

Iδ(λ(δ)u)=0,λ(δ″)=1.

令g(λ)=J(λu),得

(1-δ)λp-1‖u‖p1,p(Ω),

J(v)-J(u)=g(1)-g(λ(δ′))≥

(1-δ″)λp-1(δ′)rp(δ″)(λ(δ″)-λ(δ′))=

ε(δ′,δ″)>0.

J(u)-J(v)≥

(δ″-1)λp-1(δ″)rp(δ″)(λ(δ′)-λ(δ″))=

ε(δ′,δ″)>0.

現(xiàn)定義

由引理1.4,d0≥0.

下面研究Iδ(u)的不變號(hào)性.

2 p>2+α?xí)r的整體存在性和唯一性

弱解的整體存在性需要分情況來討論.本節(jié)先討論p>2+α?xí)r的情形,下節(jié)再討論p<2+α?xí)r的情形.

u∈L∞([0,T];W1,p0(Ω)),

(8)

ut∈L2([0,T];L2(Ω)).

(9)

若n

若在Ω內(nèi)幾乎處處有u0(x)≥0,則對任一固定的t≥0,u(x,t)≥0在Ω內(nèi)幾乎處處成立,并且此時(shí)u(x,t)是問題(1)～(3)的解.

證明令

m=1,2,…,n

(10)

滿足

(φ(um(t)),ωj), 1≤j≤m,

(11)

(12)

在W1,p0(Ω)內(nèi),其中

(13)

由Sobolev嵌入定理及Young不等式得

由此可得

由這兩個(gè)估計(jì)及Aubin緊性引理知,存在函數(shù)u及{um}的子序列{uμ},使得

uμ(T)→u(T)于W1,p0(Ω)弱收斂,

uμ→u于L2+α([0,T];L2+α(Ω))弱收斂,

Auμ→Au于L([0,T];W-1,p(p-1)(Ω))弱*收斂.(14)

這就說明u是問題(1)～(3)的解.

下面證明問題(1)～(3)的弱解是唯一的.事實(shí)上,設(shè)u1與u2是問題(1)～(3)的兩個(gè)解.記ω=u1-u2,則ω滿足

其中

在方程(11)兩端對ω作內(nèi)積,并利用A的單調(diào)性與Sobolev嵌入定理,可得

下面證明解的保號(hào)性,即當(dāng)u0≥0時(shí),u≥0.記

V([0,T];W1,p0(Ω))={v(t)∈L2([0,T];

W1,p0(Ω)),v′(t)∈L2(Ω)},

用任意C1類函數(shù)f(t)乘(11)式并在[0,t]上積分,得

取m=μ(即以{um}中的收斂子列代替{um}),固定j,并令μ→∞取極限得

這說明

?ψ∈V([0,T];W1,p0(Ω)).

(16)

特別地,取ψ(s)=v(s)-u(s),其中v(s)=sup{u(s),0},則有

由v(s)的定義和(16)式可得

(Av-Au,v-u)≥0.

故

(17)

從而,若u0(x)≥0在Ω內(nèi)幾乎處處成立,則(17)式右邊恒為0,左端幾乎處處為0,v(t)又是u(t)的正部.可得:當(dāng)t≥0時(shí),有u(x,t)≥0在Ω內(nèi)幾乎處處成立.

3 p<2+α?xí)r的整體存在性

u∈L∞([0,T];W1,p0(Ω)),

ut∈L2([0,T];L2(Ω)),

及

‖u(t)‖L2(Ω)≤‖u(s)‖L2(Ω)，

t≥s≥0.

(18)

若幾乎處處在Ω內(nèi)有u0(x)≥0,則對任意固定的t>0,u(x,t)≥0幾乎處處在Ω內(nèi)成立.從而u(x,t)≥0是問題(1)～(3)的解.

證明再一次使用Galerkin方法.{ωi}及um的意義見定理2.1的證明.設(shè)

{u0m}?W,

(19)

在W1,p0(Ω)內(nèi),由常微分方程的存在性定理知,存在tm>0，使得在[0,tm]內(nèi)(11)式有解um(t),并且(13)式成立,即

J(um)≤J(u0m),t∈[0,tm].

(20)

證明

um(t)∈W, ?t≥0.

(21)

假設(shè)(21)式不成立,以t*表示使um(t*)?W的最小的時(shí)間.由連續(xù)性知um(t*)∈?W,故由引理1.4得

J(um(t*))=d,

(22)

或

a(um(t*))-b(um(t*))=0.

(23)

若(22)式成立,這與(20)式及u0m∈W相矛盾.若(23)式成立,則

也得到同樣的矛盾,說明(21)式成立.

從(20)式及引理1.2得

J(u0m(t))≤C.

由此得

‖um‖L∞([0,T];W1,p0(Ω))≤C,

利用Aubin緊性定理及單調(diào)算子理論可知,存在函數(shù)u及{um}的子序列{uμ}使(14)式成立,故u是(1)～(3)的解.

a(u(t))-b(u(t))≥0.

(24)

另一方面,在(16)式中取ψ(s)=u(s),不難得到

(25)

由(24)及(25)式立得(16)式.

本定理的其他結(jié)論與定理2.1的一些證明過程類似可得.

4 解的真空隔離

先建立問題(1)～(3)的解的不變集合.

Iδ(u0)=(δ-1)‖u‖p1,p(Ω)+I(u0)>0,

將(1)式乘以ut,并在Ω×[0,t)上分別積分,

(26)

Iδ(u(t0))=0, ‖u(t0)‖1,p(Ω)≠0,

或J(u0)=d(δ).

由命題4.1,J(u0)

2)J(u0)=d(δ),I(u0)<0時(shí),令u=u(x,t)是(1)～(3)的弱解,T是u的最大存在時(shí)間.

如果不成立,則存在t0∈(0,T),使得當(dāng)0≤t

u(x,t)∈Vδ,u(x,t0)∈V.

因此,存在

由(26)式,J(u(t0))=d(δ)不成立.

若0

‖u‖1,p(Ω)≥r(δ), 0

由d(δ)的定義,得J(u(t0))≥d(δ),這也與(26)式矛盾.

1) 當(dāng)I(u0)>0時(shí),對任意δ1<δ<δ2,有u∈Wδ;

2) 當(dāng)I(u0)<0時(shí),對任意δ1<δ<δ2,有u∈Vδ.

證明1) 因?yàn)镮(u0)>0，且Iδ(u)的符號(hào)在δ1<δ<δ2上不變,則有

Iδ(u0)>0,δ∈(δ1,δ2).

另一方面,由引理1.4和能量公式

J(u0)=d(δ1)=

d(δ2)

(27)

已知J(u0)

2) 由引理1.5和I(u0)<0,得

Iδ(u0)<0,δ∈(δ1,δ2).

另一方面,能量公式(27)和

0

表明J(u0)

u∈Vδ,δ1<δ<δ2.

余下的證明與命題4.1的2)中的證明類似.

推論 4.2若將推論4.1中的假設(shè)J(u0)=σ換成0

結(jié)果是,若0

推論4.1和推論4.2的結(jié)果表明,0

Uσ={u∈W1,p0(Ω)|‖u‖p1,p(Ω)≠0,

Iδ(u0)=0,δ1<δ<δ2},

使得問題(1)～(3)在Uσ內(nèi)只有零解.

隨著σ的減小,真空區(qū)Uσ變得越來越大,即若σ1<σ2,Uσ2

注 4.2如下圖,在整個(gè)區(qū)域W內(nèi)方程有解,在Uσ區(qū)域內(nèi)只有零解,把這個(gè)現(xiàn)象稱為真空隔離現(xiàn)象.

為了處理其他情況,有下面的命題.

1)I(u0)>0時(shí),對所有0≤t0;

2)I(u0)<0時(shí),對所有0≤t

其中T是u(x,t)的最大存在時(shí)間.

證明

1) 若結(jié)論不成立,則存在t1∈(0,T),使得對所有0

I(u(t1))=0，I(u(t))>0.

然后結(jié)合

I(u)=-(u′,u)-(?u′,?u)≠0,

對所有0

(28)

對所有00，表明‖u(t1)‖1,p(Ω)≥r(1)≠0.則由d的定義,有J(u(t1))≥d,這與(28)式矛盾.

2) 若結(jié)論不成立,則存在t1∈(0,T),使得對所有0

I(u(t1))=0，I(u(t))>0.

類似1)的證明,對所有0

J(u)=J(u0)-

(29)

同樣，由引理1.3和0≤t

5 爆破現(xiàn)象

現(xiàn)在來討論問題(1)～(3)的解的爆破.首先給出解在+∞處爆破的定義.

定義 5.1(在+∞處的爆破) 設(shè)u(x,t)是問題(1)～(3)的弱解,若解的最大存在時(shí)間T=+∞，且

則u(x,t)在+∞處爆破.

證明因?yàn)槭褂贸Ｓ玫耐顾阕臃椒ê头醋C法未得到方程組的弱解在有限處有關(guān)爆破的相關(guān)結(jié)論,所以本章暫研究問題(1)～(3)的解在+∞處產(chǎn)生爆破的問題.

令

則當(dāng)t>0時(shí),有

G″(t)=-2I(u(t))>0.

事實(shí)上,由J(u)、I(u)定義得

J(u)=

(30)

因?yàn)镮(u)<0,所以由Sobolev嵌入定理得

(31)

利用(28)、(30)和(31)式得

G″(t)=-2pJ(u)+

(32)

因此，對所有t≥0,有

(33)

表明u(x,t)在+∞處爆破.因?yàn)?/p>

利用(32)和(33)式,得

G(t)G″(t)-(G′(t))2=[-2p(J(u0)-

上面的不等式可以由H?lder不等式推出，且

因此,對任意0<α2<1,有

G(t)G″(t)-α2(G′(t))2≥

由(33)式知，存在t1>0,使得

G(t)G″(t)-α2(G′(t))2>0,t≥t1,

則可得

(G(t)1-α2)′=(1-α2)G(t)-α2G′(t),

(G(t)1-α2)″=(1-α2)G(t)-α2-1×

[-α2(G′(t))2+G(t)G″(t)]≥0.

令tα2≥t1，且滿足G(tα2)>0,則

且

其中

由G″(t)>0,有

對任意0<α2<1,從而對所有t≥tα2,有