厚度分布形式對(duì)變厚度薄板振動(dòng)特性影響規(guī)律研究

徐峰祥， 董 壯， 蘇建軍

(1. 武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070；2. 武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，武漢 430070；3.湖北齊星汽車車身股份有限公司，湖北 隨州 441300)

對(duì)于變厚度薄板的振動(dòng)特性，只有在極少數(shù)情況下才能求得固有頻率的解析解，更多的是采用近似方法進(jìn)行數(shù)值求解，如有限元法[1]、有限差分法[2]、微分求積法[3]等。變厚度薄板按照厚度變化方式可分為線性變厚度和非線性變厚度，目前對(duì)于其振動(dòng)特性的研究，大多集中于理論近似求解，如Malekzadeh等[4]利用微分求積法，對(duì)經(jīng)典邊界下的單向線性和非線性變厚度薄板進(jìn)行了理論求解。蘇淑蘭等[5]對(duì)Levy型薄板振動(dòng)問題提出以二次樣條函數(shù)為基礎(chǔ)發(fā)展而來(lái)的近似求解方法。Shufrin等[6]通過(guò)擴(kuò)展的Kantorovich方法與精確的單元方法相結(jié)合，為處于不同邊界條件下的變厚度薄板的固有頻率提供了精確的數(shù)值計(jì)算。薛開等[7-8]基于Li等[9-11]的傅里葉級(jí)數(shù)法思想，提出改進(jìn)方案。Sakiyama等[12]基于矩形板的格林函數(shù)法，提出了一種可分析任意厚度可變的薄矩形板自由振動(dòng)的近似方法。從上述文獻(xiàn)可以看出，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者研究變厚度薄板，大多集中于利用各類求解方法，計(jì)算其振動(dòng)特性，并沒有過(guò)多的考慮變厚度薄板與對(duì)應(yīng)的等質(zhì)量等厚度薄板之間的振動(dòng)特性的差異和厚度分布對(duì)薄板振動(dòng)特性的影響。

本文利用連續(xù)變厚度薄板的振動(dòng)理論，結(jié)合模態(tài)分析軟件對(duì)不同類型的變厚度薄板進(jìn)行建模仿真驗(yàn)證，在與不同文獻(xiàn)的理論解對(duì)比驗(yàn)證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性后，進(jìn)一步對(duì)變厚度薄板進(jìn)行厚度劃分并賦予厚度變化方程，分別為單向線性、單向非線性、雙向線性和雙向非線性變厚度薄板四大類，并研究其各自相對(duì)于對(duì)應(yīng)的等質(zhì)量等厚度薄板振動(dòng)特性的差異。以此為基礎(chǔ)，建立一種新型的厚度分布形式，即雙向階梯變厚度薄板。然后通過(guò)仿真分析和數(shù)值對(duì)比，驗(yàn)證了這種新型變厚度薄板的振動(dòng)特性比以上4種變厚度薄板更為優(yōu)秀，最后將研究范圍由經(jīng)典邊界條件擴(kuò)充至彈性邊界條件，旨在擴(kuò)大其實(shí)際應(yīng)用的范圍和價(jià)值。

1 變厚度薄板理論基礎(chǔ)

1.1 理論模型及邊界條件

關(guān)于薄板振動(dòng)的經(jīng)典邊界條件有自由、簡(jiǎn)支和固支3種情況。如圖1所示，為變厚度薄板的結(jié)構(gòu)示意圖，橫坐標(biāo)長(zhǎng)為a，縱坐標(biāo)寬為b。

圖1 薄板的理論模型

薄板經(jīng)典邊界的實(shí)現(xiàn)，是通過(guò)控制其邊界的橫向位移彈簧、扭轉(zhuǎn)約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度值K1，K2，K3。取薄板的一條邊x=a為例，以下為這3種情況具體的方程表達(dá)式為：

(1)自由邊界條件，彎矩、扭矩和剪力均為零，本文用F表示。

Mx|x=a=0,Mxy|x=a=0,Vy|x=a=0

(1)

其在模型中的3個(gè)彈簧剛度值對(duì)應(yīng)設(shè)置為

K1=K2=K3=0

(2)

(2)簡(jiǎn)支邊界條件，撓度和彎矩均為零，本文用S表示。

(3)

其在模型中的3個(gè)彈簧剛度值對(duì)應(yīng)設(shè)置為

K1=K2=∞,K3=0

(4)

(3)固支邊界條件，撓度和轉(zhuǎn)角均為零，本文用C表示。

(5)

其在模型中的3個(gè)彈簧剛度值對(duì)應(yīng)設(shè)置為

K1=K2=K3=∞

(6)

1.2 薄板振動(dòng)特性的求解

由基爾霍夫假設(shè)和薄板振動(dòng)理論得連續(xù)變厚度薄板的自由振動(dòng)的位移控制方程為

(7)

采用改進(jìn)后的Fourier級(jí)數(shù)方法，把對(duì)應(yīng)的位移函數(shù)用Fourier余弦級(jí)數(shù)和輔助Fourier級(jí)數(shù)的表示，其具體的表示形式為

(8)

式中：Amn為改進(jìn)后的Fourier系數(shù);ψm(x)和ψn(y)分別為變厚度矩形薄板在X軸方向上和Y軸方向上的振型函數(shù)。

對(duì)于上述所提的連續(xù)變厚度薄板結(jié)構(gòu)，其最大的應(yīng)變能可以書寫為

V=Vplate+Vspring

(9)

式中：Vplate為變厚度薄板的應(yīng)變能；Vspring為其邊界上3種限制彈簧的應(yīng)變能。變厚度薄板的最大動(dòng)能為

(10)

然后結(jié)合Rayleigh-Ritz法有

(?/?Amn)(V-T)=0

(11)

將式(9)、式(10)代入式(11)，得到一個(gè)線性代數(shù)方程組，可以寫成矩陣形式為

(K-ω2Q)A=0

(12)

式中：K為剛度矩陣；Q為質(zhì)量矩陣，其僅與變厚度薄板的材料屬性、邊界條件及幾何參數(shù)相關(guān)，而且，這些信息確定了并且可以求解變厚度薄板的振動(dòng)特性，包括振型與固有頻率兩個(gè)方面。A為Fourier系數(shù)向量，其表示形式為

(13)

2 連續(xù)變厚度薄板振動(dòng)特性研究

為研究不同類型變厚度薄板的振動(dòng)特性，同時(shí)減小其他因素對(duì)仿真結(jié)果的影響，本文所有類型變厚度薄板的建模及仿真過(guò)程均在ABAQUS軟件中實(shí)現(xiàn)，且建模方法和分析步驟完全一致。同時(shí)，為驗(yàn)證建模仿真的準(zhǔn)確性，本文對(duì)已知文獻(xiàn)的變厚度薄板進(jìn)行建模仿真分析，將仿真結(jié)果與其理論解進(jìn)行對(duì)比。以此為基礎(chǔ)，對(duì)不同類型的變厚度薄板進(jìn)行振動(dòng)特性分析。

2.1 建模仿真驗(yàn)證

按照變厚度薄板的厚度變化趨勢(shì)，在ABAQUS軟件中詳細(xì)建立模型，建模類型可分為雙向線性變厚度薄板和雙向非線性變厚度薄板兩類。因?yàn)楫?dāng)雙向線性/非線性變厚度薄板的某一方向的變化率為0時(shí)，其轉(zhuǎn)變?yōu)閱蜗蚓€性/非線性變厚度薄板，如圖2、圖3所示。所以，在本文中，僅對(duì)雙向線性變厚度薄板和雙向非線性變厚度薄板進(jìn)行建模驗(yàn)證。

圖2 線性變厚度薄板示意圖

圖3 非線性變厚度薄板示意圖

為保證結(jié)果的可比性，需控制薄板的材料屬性ρ、E、μ和a/b與參考文獻(xiàn)一致，同時(shí)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行無(wú)量綱化處理的公式也需一致。

如表1、表2所示，分別為雙向線性變厚度薄板和雙向非線性變厚度薄板的無(wú)量綱固有頻率Ω1、Ω2與其對(duì)應(yīng)參考文獻(xiàn)的理論解對(duì)比。兩種變厚度薄板的厚度變化公式分別如下

表2 無(wú)量綱固有頻率Ω2與理論解對(duì)比

(14)

(15)

式中：h0為初始厚度；α為x軸方向的變化率;β為y軸方向的變化率，厚度變化原點(diǎn)分別如圖2、圖3所示。

對(duì)比表1和2中的變厚度薄板頻率仿真值無(wú)量綱化后的結(jié)果和參考文獻(xiàn)中的理論解，可以發(fā)現(xiàn)，兩者的數(shù)據(jù)差異均保持在1%之內(nèi)，由此可見建模仿真的準(zhǔn)確性和可行性。

表1 無(wú)量綱固有頻率Ω1與理論解對(duì)比其中h0為初始厚度，D為彎曲剛度)

2.2 薄板厚度劃分

厚度分布對(duì)薄板的振動(dòng)特性具有較大影響，不同類型的變厚度薄板對(duì)應(yīng)不同的厚度分布形式，如表3所示。為保證數(shù)據(jù)的可比性，統(tǒng)一薄板的尺寸和材料屬性，即a=b=0.5 m，h0=0.001 m ，E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，μ=0.3。

其中，為使仿真結(jié)果精確和利于觀察結(jié)果，同時(shí)保證其符合薄板振動(dòng)理論，對(duì)以上變化參數(shù)分別取值為：?jiǎn)蜗蚓€性α=1，2，3，4，5；雙向線性α=β= 0.5,1.0，1.5，2.0，2.5；單向非線性=1，2，3，4，5，m=2，4，6，8，10；雙向非線性α=β=0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，m=n=2，4，6，8，10。

圖4為線性變厚度薄板示意圖，其中包含了兩種變厚度薄板，即單向線性和雙向線性，圖4左側(cè)為薄板的示意圖，右側(cè)為按照變化要求在ABAQUS軟件中建模仿真所得到的后處理中的厚度變化云圖。

如圖5所示，為單向非線性變厚度薄板圖，因?yàn)槠鋵?duì)稱性，所以將坐標(biāo)系原點(diǎn)選擇為薄板的中心點(diǎn)，單向非線性變厚度薄板包括了單向內(nèi)凹變厚度薄板和單向外凸變厚度薄板兩種類型。

圖5 單向非線性變厚度薄板圖

如圖6所示，為雙向非線性變厚度薄板圖，其建模的坐標(biāo)系原點(diǎn)也位于薄板中心，雙向非線性變厚度薄板包括了雙向內(nèi)凹變厚度薄板和雙向外凸變厚度薄板兩種。

圖6 雙向非線性變厚度薄板圖

以上各類型變厚度薄板均嚴(yán)格按照變厚度薄板的厚度變化方程和采用與2.1節(jié)中相同的建模步驟而成，保證其模型的準(zhǔn)確性，為后續(xù)的振動(dòng)特性分析作基礎(chǔ)。

2.3 振動(dòng)特性分析

以變厚度薄板的質(zhì)量為基準(zhǔn)，控制質(zhì)量m不變，建立同樣尺寸的等厚度薄板，同時(shí)保證其他參數(shù)一致，即

MVRB=MERB

(16)

(17)

式中：MVRB(variable-thickness rolled blanks)為變厚度薄板質(zhì)量;MERB(equal-thickness rolled blanks)為等厚度薄板質(zhì)量；hD為等效厚度。以仿真所得的變厚度薄板固有頻率與等質(zhì)量等厚度薄板的固有頻率的差值作為分子，等厚度等質(zhì)量薄板的固有頻率為分母，得出變厚度薄板固有頻率提升或下降的百分比A，即

(18)

按照表3的厚度變化方程，以單向線性變厚度薄板為例，其線性變化參數(shù)α=1,2,3,4,5，可分別建立5種單向線性變厚度薄板，依次分析其在自由，簡(jiǎn)支及固支邊界條件下的振動(dòng)特性，然后利用式(16)、式(17)求解出其對(duì)應(yīng)的等效厚度，在同一條件下對(duì)等厚度薄板進(jìn)行振動(dòng)特性分析，最終求解出固有頻率百分比A與變化參數(shù)之間的變化曲線，如圖7所示，為單向線性變厚度薄板固有頻率百分比A變化圖。同理，可得其他類型變厚度薄板的固有頻率百分比A變化圖，如圖8～圖12所示。其中，每幅圖中的(a)，(b)，(c)三圖分別對(duì)應(yīng)變化參數(shù)在自由邊界條件，簡(jiǎn)支邊界條件和固支邊界條件這3種經(jīng)典邊界條件下的固有頻率百分比變化圖，(d)圖為各類型薄板的第一階固有頻率百分比分別在3種經(jīng)典邊界條件下隨變化參數(shù)增大而發(fā)生改變的變化圖。

圖7 單向線性變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

圖8 雙向線性變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

圖9 單向內(nèi)凹變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

圖10 單向外凸變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

圖11 雙向內(nèi)凹變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

圖12 雙向外凸變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

在上述內(nèi)容中，分析了單向/雙向線性變厚度薄板及單向/雙向非線性變厚度薄板的振動(dòng)特性，針對(duì)第一階固有頻率，可以得出以下普遍規(guī)律：

(1)薄板的厚度不論是沿一個(gè)方向線性變化，還是沿兩個(gè)方向同時(shí)變化，其固有頻率在自由邊界條件下的增長(zhǎng)并不明顯，且只有1～2 Hz。對(duì)于另外兩種邊界條件，簡(jiǎn)支和固支，均處于降低的狀態(tài)。

(2)薄板的厚度進(jìn)行非線性變化時(shí)，可分為內(nèi)凹和外凸兩種，不論是單向非線性變厚度薄板，還是雙向非線性變厚度薄板，其對(duì)應(yīng)的內(nèi)凹厚度變化形式，在自由邊界條件下，其固有頻率增長(zhǎng)百分比均為負(fù)，而簡(jiǎn)支和固支邊界條件下均為正，而外凸正好相反。

3 新型變厚度薄板振動(dòng)特性研究

由于固支邊界條件在工程實(shí)際中是最為常見的，且前3階固有頻率為常見的要避免共振的低階固有頻率，在本文中，將根據(jù)以上線性及非線性變厚度薄板的仿真結(jié)果的變化規(guī)律，提出一種新型的厚度分布形式，能夠最大限度的提高固支邊界條件下的固有頻率，同時(shí)保證其他兩種邊界條件下的固有頻率不發(fā)生大幅度的降低。

3.1 建立新型厚度分布

由第2章的研究結(jié)果，可知單向線性變厚度薄板和雙向線性變厚度薄板基本無(wú)益于增長(zhǎng)固有頻率，故在此不考慮，綜合考慮其他4種變厚度薄板(單向內(nèi)凹，單向外凸，雙向內(nèi)凹，雙向外凸)在經(jīng)典邊界條件下的前3階固有頻率提升百分比A，可得如圖13所示的百分比條形圖。

圖13 不同變厚度薄板百分比A條形圖

如圖13所示，單向外凸及雙向外凸能顯著增加FFFF邊界條件下的固有頻率，而在SSSS和CCCC邊界條件下變化不明顯，且雙向外凸變厚度薄板變化百分比高于單向外凸變厚度薄板，由此可知，當(dāng)厚度集中于薄板中部時(shí)，能有效提升FFFF邊界條件下的固有頻率。單向內(nèi)凹及雙向內(nèi)凹在FFFF邊界條件下的固有頻率顯著降低，能較小幅度的提升SSSS及CCCC邊界條件下的第一階固有頻率，由此可知，當(dāng)厚度分散于薄板四周時(shí)，會(huì)降低FFFF邊界條件下的固有頻率。

基于此，現(xiàn)提出一種新型的厚度分布形式，即雙向階梯變厚度薄板，其既能滿足薄板中部厚度，也能使薄板4條邊上的厚度得到滿足，如圖14所示，左側(cè)為雙向階梯變厚度薄板示意圖，右側(cè)為其在ABAQUS軟件中建模仿真后得到的厚度分布云圖，其中，雙向階梯變厚度薄板受中間階梯寬度L和階梯厚度t兩個(gè)參數(shù)的影響。

圖14 新型厚度分布形式：雙向階梯變厚度薄板

3.2 新型變厚度薄板振動(dòng)特性分析

根據(jù)表3的新型厚度分布形式，取L=0.15 m為例，中間階梯厚度依次為1.2 mm，1.4 mm，1.6 mm，1.8 mm，2.0 mm，薄板其他地方厚度為1 mm，長(zhǎng)寬均為0.5 m，材料屬性與2.2節(jié)一致，按照2.1節(jié)的步驟可仿真得出雙向階梯變厚度薄板在經(jīng)典邊界條件下的固有頻率值，如圖15所示，為雙向階梯變厚度薄板固有頻率百分比變化圖。

圖15 雙向階梯變厚度薄板固有頻率百分比變化圖

其中，圖15(a)、圖15(b)、圖15(c)為其在經(jīng)典邊界條件下的前六階固有頻率百分比A隨中間階梯厚度改變的變化圖，圖15(d)為第一階固有頻率百分比在3種邊界條件下隨中間厚度改變的變化圖。由圖可得以下結(jié)論：

(1)雙向階梯變厚度薄板相對(duì)于其對(duì)應(yīng)的等質(zhì)量等厚度薄板，能夠有效提高其在自由和固支邊界條件下的前3階固有頻率，而對(duì)于簡(jiǎn)支邊界，其固有頻率下降得并不明顯。

(2)隨著階梯中間厚度L的增大，由下面四幅圖可以看出，固有頻率百分比A的總體趨勢(shì)是處于逐漸增大的趨勢(shì)，僅簡(jiǎn)支邊界條件下的第一階固有頻率會(huì)略微下降。由此可知，對(duì)于其他兩種邊界條件，即自由和固支邊界條件，中間厚度越大，其振動(dòng)特性的加強(qiáng)效果越明顯，但是很顯然，其厚度值不能過(guò)大，否則當(dāng)L超過(guò)一定的限度，將不符合薄板的振動(dòng)理論。

3.3 數(shù)值對(duì)比分析

取中間厚度為2 mm的階梯變厚度薄板，可作如圖16所示的雙向階梯變厚度薄板固有頻率提升百分比圖。如圖16所示，舉第一階固有頻率為例，雙向變厚度薄板在自由邊界條件下提升了32.45%，固支邊界條件下提升了11.66%，而簡(jiǎn)支邊界條件下僅降低3%，由此可見，此種厚度分布形式有利于薄板固有頻率的提升。

圖16 雙向階梯變厚度薄板固有頻率提升百分比圖

通過(guò)對(duì)比分析圖13和圖16，可知，僅有雙向階梯變厚度薄板能夠做到在3種經(jīng)典邊界下，僅簡(jiǎn)支邊界條件下第一階固有頻率略微降低，其他前3階固有頻率均取得提升，且固支邊界條件下達(dá)到11.66%，為所有變厚度薄板類型中最高值，再次驗(yàn)證雙向階梯變厚度薄板的新型厚度分布優(yōu)于之前的4種常規(guī)變厚度薄板。

3.4 彈性邊界條件下振動(dòng)分析

由3.3節(jié)分析可知，雙向階梯分布是以上所有薄板類型中最為理想的一種厚度分布薄板，由此，下面將以雙向階梯變厚度薄板和其對(duì)應(yīng)的等厚度等質(zhì)量薄板進(jìn)行彈性邊界條件下的研究。

在ABAQUS軟件的薄板仿真模型中，將彈簧的剛度值依次設(shè)置為10-3，10-2，10-1，…，1010，其中Kz=Kxb=Kyb=K，仿真求解出其前9階固有頻率，如表4所示，為彈性邊界條件下的薄板振動(dòng)特性。由表4可知，當(dāng)K趨近于0時(shí)，薄板的邊界條件趨近于自由邊界條件，其固有頻率與自由邊界條件下的固有頻率基本一致；當(dāng)K趨近于無(wú)限大時(shí)，薄板的邊界條件趨近于固支邊界條件，其各階固有頻率與固支邊界條件下的固有頻率基本一致，仿真結(jié)果與理論一致。

表4 彈性邊界條件下的薄板振動(dòng)特性

根據(jù)表4數(shù)據(jù)可作彈簧剛度K與固有頻率的關(guān)系圖，如圖17所示，圖17的淺色曲線為對(duì)應(yīng)的等質(zhì)量等厚度薄板在彈性邊界條件下的固有頻率變化曲線，深色曲線為雙向階梯變厚度薄板在彈性邊界條件下的固有頻率變化曲線。

圖17 彈性邊界條件下的振動(dòng)特性

由圖17可得，彈簧剛度值會(huì)對(duì)薄板的振動(dòng)特性造成影響，隨著彈簧剛度值由0到無(wú)窮大變化時(shí)，薄板各階固有頻率不斷增大，最后趨于穩(wěn)定，并等于固支邊界條件下的固有頻率值。薄板固有頻率存在著變化敏感區(qū)域，彈簧剛度值的變化區(qū)間為1～104。同時(shí)，對(duì)比分析深色和淺色曲線，可知，變厚度薄板與等厚度薄板的變化趨勢(shì)及固有頻率變化敏感區(qū)域趨于一致，僅最終的固有頻率值不一樣。

4 結(jié) 論

針對(duì)變厚度薄板振動(dòng)特性，以薄板振動(dòng)理論和建模仿真為基礎(chǔ)，對(duì)4種變厚度薄板的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并將其與等質(zhì)量等厚度薄板的振動(dòng)特性進(jìn)行對(duì)比。然后，基于4種變厚度薄板的振動(dòng)特性變化規(guī)律，提出新型的變厚度分布形式，即階梯變厚度薄板，并研究其振動(dòng)特性變化規(guī)律。最后，通過(guò)設(shè)置不同邊界彈簧剛度，研究變厚度薄板在任意彈性邊界條件下的振動(dòng)特性，更進(jìn)一步探討邊界條件對(duì)薄板振動(dòng)特性的影響。通過(guò)本文研究，可得以下結(jié)論：

(1)對(duì)4種變厚度薄板的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，研究其在不同經(jīng)典邊界條件下隨不同厚度變化參數(shù)的變化規(guī)律，并將其與對(duì)應(yīng)的等厚度等質(zhì)量薄板進(jìn)行對(duì)比分析，最終得出單向線性、雙向線性、單向非線性外凸和雙向非線性外凸變厚度薄板不利于固有頻率的提升，而單向內(nèi)凹和雙向內(nèi)凹非線性變厚度薄板有利于固有頻率的提升的結(jié)論。

(2)基于常規(guī)的線性及非線性變厚度薄板的振動(dòng)特性變化規(guī)律，提出新型的非連續(xù)階梯變厚度薄板，在相同條件下對(duì)其進(jìn)行了振動(dòng)特性的分析，最終驗(yàn)證了雙向階梯變厚度薄板振動(dòng)特性優(yōu)于之前4種類型的變厚度薄板。

(3)在經(jīng)典邊界條件的基礎(chǔ)上，以雙向階梯變厚度薄板為例，通過(guò)設(shè)置邊界彈簧模擬彈性邊界條件，研究了變厚度薄板及其對(duì)應(yīng)的等質(zhì)量等厚度薄板在任意邊界條件下的振動(dòng)特性。發(fā)現(xiàn)隨著彈簧剛度的增加，薄板固有頻率不斷增大，并存在一個(gè)剛度敏感區(qū)域，最終趨于穩(wěn)定，并發(fā)現(xiàn)變厚度薄板與等厚度薄板僅最終固有頻率不一樣，其他變化規(guī)律均一致。

需要指出的是本文研究?jī)?nèi)容僅是階段性的成果，具有一定的前瞻性，隨著一些先進(jìn)制造工藝的不斷成熟，比如激光拼焊、變截面工藝等，文中所提出的階梯變厚度薄板的制造問題會(huì)隨之解決，在實(shí)際工程上的應(yīng)用也將具有一定的可行性。