古箏弦-碼結構的三維動力學分析與試驗驗證

鄧小偉， 余征躍， 姚衛(wèi)平， 周 力

(1. 上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240； 2. 上海民族樂器一廠，上海 201101)

古箏是中國獨特的、重要的民族樂器之一。它的音色優(yōu)美、音域寬廣、演奏技巧豐富，具有相當強的表現(xiàn)力，因此深受廣大人民群眾的喜愛。同時它也承載了傳播中國民族文化的重任[1]。隨著當今科技的迅猛發(fā)展，西方樂器在制作規(guī)范、聲音品質控制以及穩(wěn)定性等方面都非常成熟，而我國民族樂器古箏由于相關理論研究的缺乏，目前整體相對落后，主要表現(xiàn)在：結構設計缺少科學指導，結構不穩(wěn)定；制作方式和手段相對傳統(tǒng)、落后，制琴質量無法保證[2-4]。因此對于民族樂器古箏的理論研究顯得尤為重要[5-8]。

古箏的弦-碼結構是其演奏發(fā)聲過程中的主要振動及傳導系統(tǒng)，同時也是影響古箏發(fā)聲特性的最主要部分[9]。為此對古箏弦-碼結構振動特性的研究是了解古箏發(fā)聲原理并為其結構聲學設計提供理論依據(jù)的關鍵性工作?？偨Y相關樂器的弦振動研究，楊健[10]回顧了琴弦研究的發(fā)展，討論了達朗貝爾的弦振動方程，用理想撥弦模型分析了撥弦振動的軌跡、觸弦點對音色和音量的影響等；李云芳[11]利用弦振動的基本方程推導分析了使用平面錘、凸面錘和細棒敲擊揚琴弦時的振動方程，通過分析n次諧波衰減的快慢，得出不可使用細棒；Mandal等[12]對考慮柔性音板下的弦-板協(xié)調振動特性進行研究，給出了板厚、位置、質量等對弦-板振動特性的影響，并給出了最佳參數(shù)選擇；Taguti[13]利用弦振動方程建立sawari的弦振動模型，分析了弦端在振動中觸弦點變化致使發(fā)出獨特音色的理論依據(jù)。這些研究都體現(xiàn)了弦振動特性對樂器聲音表現(xiàn)的重要作用，但目前針對古箏這類以弦-碼結構作為振動傳導系統(tǒng)的樂器，對其相關振動特性的研究相對缺乏。文獻[14]將古箏的弦-碼結構簡化為平面問題，初步建立了古箏弦振動通過琴碼傳遞到面板的動力學模型，并進行數(shù)值計算和試驗驗證，很好的解決了古箏聲振特性研究中弦-碼結構的理論模型建立問題。然而將其簡化為平面問題，就無法體現(xiàn)古箏琴碼雙碼腳設計對古箏聲振特性的影響及古箏演奏過程中不同撥弦方式對古箏發(fā)聲的影響[15-16]。為此在考慮古箏琴碼雙碼腳的情況下建立古箏弦-碼結構的三維動力學模型，并分析不同撥弦角度時各碼腳法向作用力的變化規(guī)律及對古箏發(fā)聲的影響顯得十分必要。

綜上所述，本文首先研究了古箏琴弦的振動，并建立弦振動的動力學模型；在此基礎上建立古箏弦-碼結構的三維動力學模型，并根據(jù)不同的演奏撥弦方式，利用MATLAB軟件數(shù)值計算了不同撥弦角度下琴碼各碼腳的法向作用力，并進行試驗驗證；最后根據(jù)數(shù)值計算以及試驗測量結果分析了各碼腳作用力的變化規(guī)律以及對古箏發(fā)聲的影響。

1 古箏弦振動的簡化模型

古箏的琴弦是兩端固定，中間利用琴碼頂在古箏面板上的，演奏者通常以撥弦的方式讓琴弦獲得初始狀態(tài)后自由振動。雖然琴碼在弦振動的過程中會有位移，但通常相對弦的振動幅度屬于微小位移，琴碼可視為固定，可將其弦振動簡化為有界弦的振動[17-18]。

設琴弦的有效弦長為L，以弦的左端固定點為原點，琴碼端為終點，建立空間直角坐標系，弦長方向為x軸，垂直于弦長且平行于面板的方向為y軸，垂直于弦長且垂直于y軸的方向為z軸，弦的橫向振動方向為u軸，彈撥點在x=x0處，簡化模型如圖1所示。

圖1 古箏弦振動簡化模型

古箏演奏中所用到的彈奏指法變化很多，其中最常用到的包括托、勾、抹、打等指法，這些演奏指法都是在彈撥琴弦的過程中給與弦初始狀態(tài)后讓其自由振動，但指法的不同也會致使弦的振動方向不同。以托、勾等指法為例，一般給與弦初始位移且施力方向為水平或向上，為此這里假設撥弦的方向為u軸方向，忽略撥弦“義甲”的寬度，則整個弦的初始位移在x軸方向成線性變化。設彈撥處弦的初始位移為u0，之后弦開始自由振動，則撥弦的振動可歸結為定解問題[19]

(1)

式中：a2=T/ρ，T為弦張力；ρ為弦的線密度。

利用分離變量法，以傅里葉級數(shù)表達其定解為

(2)

其中

(3)

(4)

將式(3)、式(4)代入定解式(2)得

(5)

式(5)為撥弦的振動方程，其中n為正整數(shù)，n=1的部分為基波，其他每一個n代表一個諧波成分。

2 古箏弦-碼結構的動力學建模分析

古箏演奏中弦-碼的聲學機理是利用義甲的彈撥使琴弦獲得初始狀態(tài)后自由振動，再通過琴碼將琴弦的振動以力的形式傳遞到古箏面板。其傳遞過程主要是弦振動時琴弦的形態(tài)改變，使弦張力以及琴弦與碼的夾角產(chǎn)生變化，使得通過琴碼向下傳遞到面板的力不斷改變，使古箏結構做強迫振動，從而發(fā)聲[20-21]。

假設琴弦的有效振動弦長為L，琴碼的作用高度為h，琴弦振動時弦張力為時變函數(shù)TL(t)，而琴弦給琴碼向下的合力為時變函數(shù)F(t)，給琴碼的側向作用力為時變函數(shù)Fy(t)，弦振動的方向u軸垂直與弦長方向x軸，即在yz平面內，琴碼兩個碼腳給面板的傳遞作用力分別為時變函數(shù)f1(t)、f2(t)，琴碼在傳遞作用時的位移忽略不計，只考慮力的作用，琴碼右邊的按弦部分作用也忽略，可得到琴碼傳遞的簡化模型如圖2所示。

圖2 古箏琴碼傳遞簡化模型

從圖2可知，進行受力分析琴弦張力為

(6)

式中：A=πd2/4，d為裸弦直徑； Δl為弦振動時的形變量；E為弦芯鋼絲的彈性模量；T為靜態(tài)的弦張力。

根據(jù)撥弦時的弦振動方程式(5)分析弦的形變可知

(7)

其中

(8)

又由于u0相對于L為極小量，故

根據(jù)數(shù)學極限公式可得

(9)

將式(9)代入式(7)有

(10)

這里將弦的形變量表示為各階弦振動形變的疊加項Δls(t)與相互間的耦合項Δlc(t)之和。

(11)

(12)

分析琴弦與琴碼的位置關系和受力情況，得到其左半弦(振動部分)簡化模型，如圖3所示。圖3中琴碼的作用高度(即琴碼端擱弦點相對岳山端擱弦點的垂直高度)為h，而琴碼的實際高度為H，琴碼的兩碼腳間距為b，弦長方向與面板的夾角為α，弦振動過程中TL(t)與x軸的夾角為時變函數(shù)β(t)，弦振動方向u軸與y軸的夾角為γ。

圖3 古箏琴碼傳遞簡化模型

根據(jù)圖3對弦-碼結構的受力分析，可知，TL(t)可分解為x軸和u軸的分量，分別為

Tx(t)=TL(t)cosβ

(13)

Tu(t)=TL(t)sinβ

(14)

由式(13)和式(14)所示的TL(t)分力，可知琴碼受到的作用力為

Fy(t)=Tu(t)cosγ

(15)

F(t)=Tx(t)sinα-Fz(t)cosα=Tx(t)sinα-Tu(t)sinγcosα

(16)

將琴碼單獨做受力分析，其正視圖如圖4所示。

根據(jù)圖4的受力分析可知

圖4 琴碼受力分析圖

f1(t)+f2(t)=F(t)

(17)

f1(t)·b/2=f2(t)·b/2+Fy(t)·H

(18)

將式(17)和式(18)聯(lián)立方程組求解可得

f1(t)=[F(t)+2Fy(t)H/b]/2

(19)

f2(t)=[F(t)-2Fy(t)H/b]/2

(20)

將式(13)～式(16)代入式(19)、式(20)可得

(21)

(22)

根據(jù)式(6)、式(8)、式(10)、式(11)、式(12)有

3 碼腳作用力的數(shù)值分析與試驗驗證

根據(jù)理論推導的古箏兩碼腳作用力公式，通過MATLAB軟件數(shù)值計算對其不同撥弦方式下碼腳作用力的變化規(guī)律進行分析[22-23]，并通過試驗測量進行對比驗證。以古箏的21號弦為例，經(jīng)過對上海民族樂器一廠生產(chǎn)的敦煌-698T傳統(tǒng)古箏的測量，得到其琴弦的有效弦長L=950 mm，有效內徑d=0.61 mm，線密度ρ=20.57 g/m，彈性模量E=220 GPa，阻尼系數(shù)ξ=0.35，利用Tensometric-Combi-490張力測量儀測得琴弦張力T=480 N，彈撥位置取常用演奏位置x0=1/7L處，最大初始位移u0=3 mm，而琴碼的作用高度h=45 mm，琴碼的實際高度為H=60 mm，琴碼的兩碼腳間距為b=50 mm，弦振動方向u軸與y軸的夾角γ根據(jù)不同的撥弦方式，其分別取0°、45°、90°和135°。計算中取前10階即n=10，計算時長t=1 s，時間間隔為Δt=0.000 04 s。

古箏琴碼對面板作用力的測量。利用KD3001力傳感器粘貼在處理過的琴碼的左右碼腳上，并保證其整體高度與原琴碼一致，將傳感器連AVANT-MI-2004調理放大器，信號通過9234采集卡連接至計算機，并利用LabVIEW進行試驗測量，測試框圖如圖5所示。其中KD3001力傳感器成圓環(huán)形，外徑為φ16 mm內徑為φ5 mm，且底面為平面，其測量范圍在1～5 kN，自身固有頻率在70 kHz，使用頻率在20 kHz。

圖5 琴碼傳遞力測試框圖

試驗時，將弦的發(fā)音調至規(guī)定值，即21號弦所對應音名D的頻率73.4 Hz，然后在弦1/7處沿y向(0°角方向)利用粘貼有應變片的模擬義甲進行撥弦，撥弦過程中實時監(jiān)測應變片數(shù)值以確保撥弦初始位移的精確性和可重復性，同時記錄弦振動時琴碼左右碼腳力變化的數(shù)據(jù)。將測量結果按照左、右碼腳畫出各碼腳向下傳遞力試驗結果曲線，并與MATLAB軟件數(shù)值計算0°角的結果進行對比驗證，同時根據(jù)時域曲線通過MATLAB軟件對其進行快速傅里葉變換得到理論值和試驗值的頻譜曲線，如圖6所示。各撥弦角度MATLAB軟件數(shù)值計算結果左右碼腳的作用力時域曲線如圖7所示。

圖6 0°角撥弦琴碼向下傳遞力的理論值與試驗值曲線對比

圖7 各角度撥弦下左、右琴碼向下傳遞力的時域曲線

圖6描述的是0.1 s內琴碼左右碼腳作用力理論值與實測值曲線的對比，從圖6可知，理論與實測曲線形狀相似，其中時域曲線上左碼腳理論值范圍為0～15 N，而實測值為0～17 N，右碼腳理論值范圍為8.0～22.5 N，實測值為6.0～22.5 N，理論值與實測值基本相近，其主要的峰值出現(xiàn)的時間差也相近。頻域曲線上左右碼腳理論與實測結果的幅值變化趨勢相似，其中理論值基本接近試驗值，第2階理論值小于試驗值，相對誤差較大，第7階的理論值與實測值都接近為0。前4階的具體數(shù)值對比和相對誤差，如表1所示。

表1 琴碼向下傳遞力理論值與試驗值對比

總體來說琴碼向下傳遞力的理論數(shù)值計算結果與實測值具有較好的一致性，考慮理論簡化以及數(shù)值計算和試驗測量的誤差，可見理論計算的結果基本可信，弦-碼結構三維動力學模型可行。其中頻響結果中第2階相對誤差較大。原因與鄧小偉的研究相同，忽略了面板與琴弦、琴碼的耦合作用，因為在古箏結構振動試驗中，古箏主結構的2階固有頻率為138.13 Hz[24]，與21號弦的2階諧波頻率146.8 Hz接近，可見其耦合作用較大，為此進一步工作中將著重解決其耦合效應。圖7描述的是各撥弦角度琴碼左右碼腳作用力的時域曲線，結果顯示：水平撥弦時(0°角)，左碼腳動態(tài)力的最小值接近于0，說明該碼腳幾乎脫離琴體表面，可見水平撥弦易造成跳碼，與實際古箏演奏情況符合；豎直撥弦時(90°角)，左右碼腳的作用力同相位，且合力最大； 45°角撥弦與135°角撥弦琴碼作用力正好左右反對稱，且兩種撥弦方式左右碼腳的作用力相位相反。

4 結 論

通過簡化古箏琴碼為剛性雙碼腳，弦振動為有界弦振動，建立了弦-碼結構的三維動力學模型，利用MATLAB軟件數(shù)值計算分析了不同撥弦角度時各碼腳法向作用力的變化規(guī)律，并進行了試驗測量驗證。對比發(fā)現(xiàn)左右碼腳作用力的理論數(shù)值計算結果與實測值具有較好的一致性，考慮理論簡化以及數(shù)值計算和試驗測量的誤差，可見理論計算的結果可信，弦-碼結構三維動力學模型可行；水平撥弦時，左碼腳動態(tài)力接近于0，可見水平撥弦易造成跳碼；豎直撥弦時，左右碼腳的作用力同相位，且合力最大； 45°角撥弦與135°角撥弦琴碼作用力反對稱，且兩種撥弦方式左右碼腳的作用力相位相反。