面面積累，聚沙成塔

葉俊杰 謝丹素

[摘? 要] 三年級的“認(rèn)識面積”一課是學(xué)生學(xué)習(xí)長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形的面積相關(guān)知識的基礎(chǔ)。因此，學(xué)生如果能在一開始就理解好面積的概念，將有助于在之后形成幾何空間觀念。學(xué)生在學(xué)習(xí)面積之前已經(jīng)認(rèn)識了周長，那么教師就可以嘗試將認(rèn)識周長的學(xué)習(xí)方法遷移到面積的教學(xué)中去。那么應(yīng)該如何在“認(rèn)識面積”這節(jié)課幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)？筆者將從初探面積、深究面積、細(xì)品面積三個方面層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生更深刻地認(rèn)識“面積”這一數(shù)學(xué)概念。

[關(guān)鍵詞] 面積;周長;幾何;概念

對三年級的學(xué)生而言，“面積”可以說是一個既陌生又熟悉的概念——生活中處處可接觸但又未形成清晰的認(rèn)知。把學(xué)生模糊的面積概念變得清晰是“認(rèn)識面積”這節(jié)課的重點。學(xué)生們在學(xué)習(xí)周長的基礎(chǔ)上，進(jìn)而學(xué)習(xí)“面積”，這是學(xué)生們的空間觀念發(fā)生“由線及面”“由一維到二維”的質(zhì)的飛躍。同時也為以后學(xué)習(xí)體積奠定了知識基礎(chǔ)。在“認(rèn)識面積”教學(xué)過程中，教師要發(fā)展學(xué)生的空間幾何能力，提升學(xué)生的幾何直觀方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、初探面積——建立幾何表象

1. 引入周長，遷移方法

周長是學(xué)生在三年級上冊就學(xué)習(xí)過的知識。因為在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生總是把“周長”和“面積”混淆，所以筆者一開始就引入了“周長”概念，讓學(xué)生們回憶“周長是一條線”，為下面學(xué)習(xí)“面積是一大片”做鋪墊。面積和周長在整個數(shù)學(xué)知識體系中存在內(nèi)在的聯(lián)系，如何讓學(xué)生在知識體系中當(dāng)中找到方法的互通性也是十分重要的。如果能將學(xué)習(xí)周長的方法遷移到學(xué)習(xí)面積中去，那就能為以后學(xué)習(xí)體積打好基礎(chǔ)。為了能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“面積是由一小個一小個的單位面積拼合的”這種認(rèn)知，可以讓學(xué)生們先回顧線段的測量方式：長線短是由小線段一小段一小段連接起來的，由此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行面積測量的方法遷移。

例如：

（出示PPT：直線，有兩個端點——線段。）

生：線段。

師：沒錯，這是線段的兩個特征。

師：（出示1厘米長的線段）這條線段長1厘米。（出示6厘米長的線段）你能估一估另一條線段有多長？

生：4厘米。

師：我們用1厘米比一比（課件出示4厘米）。

師：好像4次不夠。

生：6厘米。

師：我們也可以看出6個1厘米累積來就是6厘米（課件動態(tài)展示，用一個個小1厘米連接起來）

師：（出示18厘米線段）這條線段是由18個1厘米累積起來，所以它的長度是（? ? ）。（課件出示動圖）

生：18厘米。

師：（出示24厘米線段）這條線段是由24個1厘米累積起來，所以它的長度是（? ? ）。（課件出示動圖）

生：24厘米。

2. 多媒體輔助，表象浮現(xiàn)

周長和面積這兩個概念相比較，面積顯得更加抽象。為了讓學(xué)生初步感知什么是面積，教師借助多媒體課件，利用多媒體課件動態(tài)展示出圖形中的面積到底是哪一部分?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改良學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去?！卑殉橄蟮氖挛镆跃唧w的形態(tài)展示出來，就需要利用現(xiàn)代化的多媒體課件，動態(tài)向?qū)W生們展示涂上顏色的部分就是面積。

例如：

師：剛才這兩條線段變成了這兩個圖形的四周（如圖1）。老師用刷子給它們刷上顏色，你們覺得刷哪個圖形會刷得更快？為什么？

生：長方形。因為長方形比正方形小。

師：我們一起用刷子刷刷看。（動畫演示刷的過程）

師：我們剛才刷的就是這兩個圖形的“面”（板書：面），同樣的速度，刷的時間少說明面小，刷的時間多說明面大。看來面是有大小的（板書：大?。?。我們把面的大小叫作面積。（板書：積）

3. 感官體驗，概念觸動

學(xué)生的思維是從具體思維向抽象思維進(jìn)行轉(zhuǎn)變的，在這個轉(zhuǎn)變過程中，具體思維是基礎(chǔ)，能夠讓學(xué)生聯(lián)想到具體的事物。所以在“面積”這一知識點的教學(xué)過程中，教師可以讓學(xué)生們摸一摸身邊物體的表面，感受其表面可以是平面的，也可以是曲面的。以觸感進(jìn)行體驗式教學(xué)，讓學(xué)生對“表面”與“面積”這兩個概念有更加深刻的印象。

此外，多媒體動態(tài)展示涂面積這個過程，也能讓學(xué)生明白“完全的表面”與“面積”的區(qū)別。

二、深究面積——增加概念厚度

1. 方法多樣，因材施教

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，特別是小學(xué)階段的教學(xué)，教師要盡可能做到因材施教。每個學(xué)生都是獨立的個體，他們的思考方式、知識基礎(chǔ)都不相同。因此，方法越多樣就越能克服學(xué)生的個體性差異問題。在比較兩個圖形的面積大小時，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)很多方法。第一種方法就是在兩個圖形相差很大的時候直接觀察。第二種方法就是將兩個圖形重疊起來，第三個方法就是用一個標(biāo)準(zhǔn)的面積單位去測量，進(jìn)行數(shù)值上的比較。無論學(xué)生說的是哪一種方法，教師都要予以肯定。只有這樣，學(xué)生才會在課堂上大膽表達(dá)自己的想法。

例如：

師：今天老師給大家?guī)砹巳齻€圖形（如圖2）。你們覺得幾號圖形的面積最?。?/p>

生：②號。

師：都同意嗎？

生：同意。

師：剩下的①號和③號哪個面積大？（有學(xué)生猜①號大，有學(xué)生猜②號大）

師：看來這一次就不能一眼直接看出來了，那該怎么辦？

生：將兩個圖形重疊在一起。

（課件播放兩個圖形重疊的過程。）

師：還多了一小部分，怎么辦？

生：剪下來再重疊。

師：這個方法不錯?？墒沁@樣一剪，這個圖形就破壞了，誰有好方法在不破壞圖形的基礎(chǔ)上也能知道這兩個圖形誰大？

生：選用一種圖形作單位來擺，看看哪個圖形用得多。

師：對，長線段是由小線段一小段一小段累積起來的，其實面積也是累積起來的，不過是由一小塊一小塊的小面積所累積的。

2. 動手操作，興趣盎然

小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，不應(yīng)僅僅是把知識傳授給學(xué)生去記憶，教師還要在這個過程中讓學(xué)生學(xué)會動手、動腦，這樣可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，刺激學(xué)生積極地思考問題。所以，教師在教學(xué)過程中，要注重學(xué)生的動手操作能力，發(fā)揮學(xué)生的主體地位。這樣學(xué)生才會更加積極、熱情地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，提高學(xué)習(xí)效率。

例如：

這是我們學(xué)過的常見的四種圖形（如圖3）。你會選擇哪個圖形作為標(biāo)準(zhǔn)來拼擺？操作要求：（1）與同桌合作選擇其中一種圖形進(jìn)行拼擺。（2）擺好后同桌互相說一說你是怎樣比較出大小的。

學(xué)生們在經(jīng)過實踐后發(fā)現(xiàn)，用小正方形拼擺可以擺出每個圖形面積的大小，用圓和三角形則會出現(xiàn)空隙，所以不能拼擺出每個圖形的大?。ㄈ鐖D4）。

3. 規(guī)范語言，茅塞頓開

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個重要的組成部分，它起著數(shù)學(xué)思維的表達(dá)作用。良好的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，有助于學(xué)生思維的發(fā)展。學(xué)生在用語言進(jìn)行表達(dá)時，往往不夠嚴(yán)謹(jǐn)，不能準(zhǔn)確反映當(dāng)時的思維狀態(tài)和內(nèi)容。因此教師要先給出范例，然后再逐步強化提升。例如在學(xué)生拼擺完畢并表述長方形和正方形的面積關(guān)系后，教師應(yīng)該視情況進(jìn)行總結(jié)或糾正，所用的措辭可以如下：“大正方形的面積就是9個小正方形面積之和，大長方形面積就是8個小正方形面積之和?！边@樣才能將學(xué)生的思維“捋順”，引導(dǎo)他們使用更具數(shù)學(xué)性的表達(dá)方式。

三、細(xì)品面積——提升數(shù)學(xué)思考

1. 變式練習(xí)，舉一反三

維果茨基說過：“跳一跳摘到桃子?！睂W(xué)生的發(fā)展存在最近發(fā)展區(qū)，也就是說在學(xué)生的能力范圍內(nèi)，教師如果將題目難度適度增加，則可以使學(xué)生的思維在有限的范圍內(nèi)得到提升。打個比方，有些題目，給全班學(xué)生做，全班都會，像這樣的題目是毫無助益的，也就是“不用跳就摘到桃子”，那就意味著學(xué)生的思維無法得到提升;有些題目給全班學(xué)生做，他們?nèi)绻诮處熖崾竞蠖疾粫蔷褪恰疤艘舱坏教易印?，超越了學(xué)生的能力，會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。所以題目難度要適宜，學(xué)生可以借助教師的幫助獲得成功，才是理想的狀態(tài)。

2. 以名釋義，尋本溯源

每個數(shù)學(xué)概念的稱呼都有其特定的含義。比如“周長”，可以理解為“一周之長”。那“面積”呢？從字面上看，我們就可以理解為“一小塊一小塊的小面積累積起來的”。所以在面積的教學(xué)過程的最后總結(jié)環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生們從其字面意思中再次去理解“面積”這個概念。

總的來說，“面積”是數(shù)學(xué)概念中在小學(xué)階段較早出現(xiàn)的重要抽象概念，涉及從具體到抽象的思維過渡。但各階段、各層級的知識的學(xué)習(xí)都是相通的，我們可以總結(jié)經(jīng)驗、活用方法去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理解。正如前面提到的“涂色”示意的方法，就正是將“面大與面小”的具體形象問題，轉(zhuǎn)換到能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的“面積大小”上去的。