以形析質(zhì) 深化認(rèn)知

摘 要：數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性比較強(qiáng)的學(xué)科，初中數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展教學(xué)工作時(shí)，既要使學(xué)生理解、掌握基本理論知識(shí)，又要對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力做出充分培養(yǎng).在此期間，教師根據(jù)學(xué)生初中生幾何直覺(jué)觀察能力所處的真實(shí)水平，并進(jìn)行有意識(shí)的指導(dǎo)，將起到對(duì)學(xué)生知識(shí)構(gòu)建與能力發(fā)展的促進(jìn)作用.基于這一認(rèn)知，文章分析了幾何直覺(jué)觀察能力的內(nèi)涵，提出了初中生數(shù)學(xué)幾何直覺(jué)觀察能力構(gòu)建的指導(dǎo)原則，并給出建立于基本指導(dǎo)原則之上的具體操作策略.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);幾何直觀;教學(xué)方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）05-0002-03

收稿日期：2021-11-15

作者簡(jiǎn)介：朱來(lái)娟（1979.12-），女，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，提出了注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的要求，并希望教師能夠利用行之有效的舉措，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)能力方面有所建樹(shù).幾何直觀能力作為學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握的能力之一，自然也要得到教師的重視.一些理論研究和教學(xué)實(shí)踐證實(shí)：利用對(duì)學(xué)生的幾何直觀能力的培養(yǎng)，能夠讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣激發(fā)、學(xué)習(xí)積極性調(diào)動(dòng)、將抽象內(nèi)容和直觀形象相關(guān)聯(lián)等多個(gè)方面展現(xiàn)出較強(qiáng)優(yōu)勢(shì)，最終實(shí)現(xiàn)以形析質(zhì)、深化認(rèn)知目標(biāo).為此，建議初中數(shù)學(xué)教師做好這方面的探索工作，給學(xué)生提供基于正確原則的、可操作性更強(qiáng)的直觀能力養(yǎng)成機(jī)會(huì).

1 對(duì)于幾何直觀能力的認(rèn)知

夸美紐斯（Comenius）、裴斯塔洛奇（Pestalozzi）等人都非常重視直觀主義的應(yīng)用價(jià)值，而在我國(guó)教育領(lǐng)域，一般也會(huì)認(rèn)可直觀主義在能力建設(shè)方面的實(shí)用性，并認(rèn)為：直覺(jué)觀察可從感覺(jué)具體對(duì)象中，了解到與之相對(duì)應(yīng)的抽象化的、理想化的本質(zhì)內(nèi)容，是一種由表及里的認(rèn)知能力.或者也可以認(rèn)為：建立于數(shù)學(xué)學(xué)科之上的直觀，實(shí)際上是一種對(duì)概念或者證明的直接把握.總之，無(wú)論是國(guó)外還是國(guó)內(nèi)，無(wú)論是從學(xué)科整體還是具體到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于直觀的解釋?zhuān)疾慌懦龔臏\到深的認(rèn)知規(guī)律，只是因?yàn)檠芯恐黧w和研究對(duì)象存在區(qū)別，所以這種直覺(jué)的把握，在水平上存在高低不同而已.

具體到初中數(shù)學(xué)學(xué)科，普遍認(rèn)為本學(xué)科的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性特點(diǎn)應(yīng)當(dāng)值得重視，同時(shí)要對(duì)其演繹特點(diǎn)給予高度關(guān)注.但與此同時(shí)，我們也應(yīng)該留意到：數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展進(jìn)程，也表現(xiàn)出了人類(lèi)對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，這種過(guò)程既是動(dòng)態(tài)的，又是直觀和邏輯二者之間互為表里的.也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程與數(shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程，并不能排斥幾何直觀能力，甚至如果離開(kāi)直覺(jué)觀察能力，會(huì)使學(xué)習(xí)與應(yīng)用效果受到限制.

初中生幾何直觀能力培養(yǎng)所涉及到的圖形，含義是豐富的，內(nèi)容也非常廣泛，它不僅僅局限在傳統(tǒng)意義上的幾何圖形，也可以包括比較常見(jiàn)的平面圖形、立體圖形，還有其他諸如表格、框圖、數(shù)軸、坐標(biāo)系、直觀素材，等等，圖形代為處理的問(wèn)題，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能被數(shù)量關(guān)系所局限.初中數(shù)學(xué)教師利用圖形開(kāi)展描述問(wèn)題、分析問(wèn)題的指導(dǎo)工作，把復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生擁有更多的探索與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì).特別是教師有意識(shí)地進(jìn)行幾何直觀能力培養(yǎng)努力，更是會(huì)讓學(xué)生通過(guò)直觀且形象的形式，展開(kāi)對(duì)于數(shù)學(xué)概念、定義、公式、法則等的主動(dòng)理解與應(yīng)用.

2 初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的原則

強(qiáng)化學(xué)生幾何直觀能力，是初中數(shù)學(xué)教師的職責(zé)所在，教師在相關(guān)教學(xué)方法設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)基于幾個(gè)基本原則.

2.1 堅(jiān)持思維引導(dǎo)原則

為改善學(xué)生在幾何直觀能力方面的表現(xiàn)，需要教師始終在教學(xué)期間留意思維引導(dǎo)原則的導(dǎo)向性.初中生在思維方面比較活躍，這一特點(diǎn)對(duì)于教學(xué)有利也有弊，若教師不能正確干預(yù)和引導(dǎo)，學(xué)生便會(huì)因?yàn)樗季S分散而影響到學(xué)習(xí)效果.教師只有考慮及此，讓直觀能力培養(yǎng)期間的思維引導(dǎo)方向不偏、力度不減，才能促進(jìn)學(xué)生在認(rèn)知理解方面、方法應(yīng)用方面持續(xù)進(jìn)步.

2.2 突出創(chuàng)新應(yīng)用原則

培養(yǎng)初中生的幾何直觀能力，需要教師在教學(xué)時(shí)多進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新的嘗試，包括教學(xué)觀念創(chuàng)新、教學(xué)方法維新、教學(xué)資源革新等，都是值得重視的方面.例如在基本概念形象化展示時(shí)，教師借助多媒體技術(shù)手段的作用，便是比較典型的例子.這些創(chuàng)新性舉措，會(huì)有效破除傳統(tǒng)教學(xué)課堂的局限性，牢牢吸引學(xué)生注意力，使之自覺(jué)配合教師教學(xué)行為，增進(jìn)對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的把握效果.

2.3 關(guān)注豐富拓展原則

初中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力時(shí)，需要在教學(xué)時(shí)突出教學(xué)內(nèi)容的豐富與拓展可能性，使學(xué)生借此機(jī)會(huì)，達(dá)到對(duì)于教材內(nèi)容的充分理解和延伸探索理想效果.這一原則的應(yīng)用，需要教師同時(shí)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容是否有深度、教育思想與教育方法是否符合學(xué)生心理發(fā)展特點(diǎn)等問(wèn)題，而此原則同思維引導(dǎo)原則、創(chuàng)新應(yīng)用原則的相互協(xié)調(diào)，則會(huì)讓學(xué)生對(duì)于幾何直觀能力進(jìn)行更準(zhǔn)確的把握.

3 初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的思路

3.1 基本數(shù)學(xué)概念的形象感知

概念是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本，概念學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生而言又具有較大難度，其原因通常在于抽象內(nèi)容和學(xué)生形象思維特點(diǎn)之間不易化解的矛盾.此時(shí)，教師可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段，將數(shù)學(xué)概念用利于幾何直觀的形象展示出來(lái).

例如當(dāng)面對(duì)“垂直”這個(gè)概念時(shí)，教師可以給大家播放一段中國(guó)小將全紅嬋的跳水比賽視頻，然后向大家提出問(wèn)題：“當(dāng)運(yùn)動(dòng)員跳入水中的時(shí)候，水花非常小，她是怎樣做到這一點(diǎn)的？”很多學(xué)生都會(huì)給出答案：“她的身體保持了垂直，其他運(yùn)動(dòng)員沒(méi)有她做得好.”老師可以順勢(shì)引出垂直概念，以利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí).這個(gè)例子側(cè)重于說(shuō)明學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)直觀的優(yōu)勢(shì)，例子是傾向于真實(shí)形象的，而為了突出教學(xué)效果，教師還應(yīng)當(dāng)讓直觀更加貼近于幾何知識(shí)，也就是通過(guò)傳統(tǒng)的，或者現(xiàn)代的教育技術(shù)，將比較直觀的、與幾何知識(shí)相關(guān)的內(nèi)容直接呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生樂(lè)于參與其中，并由此建立對(duì)于概念的準(zhǔn)確印象.

3.2 數(shù)形結(jié)合方式的有效運(yùn)用

數(shù)與形是初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，兩個(gè)極為重要的、互相關(guān)聯(lián)的組成部分，若想更好地了解數(shù)學(xué)、弄通數(shù)學(xué)，需要幾何直觀能力的支持，而這項(xiàng)能力的取得，同樣可以從數(shù)形結(jié)合的角度入手.例如，下面的問(wèn)題：目前已知正實(shí)數(shù)X，求y=x2+4+（2-x）2+1最小值.從表面看來(lái)，本題較復(fù)雜，學(xué)生在只知道X為正實(shí)數(shù)條件下，不知道該怎樣著手解決.此時(shí)，教師可以從幾何直觀角度著眼，并讓學(xué)生的數(shù)形結(jié)合功能被激發(fā)出來(lái).

據(jù)此教師可逐步啟發(fā)學(xué)生明確：兩點(diǎn)間距離公式P（x1，y1），Q（x2，y2）

PQ=（x1-2）2+（y1-2）2

y=（x-0）2+（0-2）2+（x-2）2+（0-1）2

在此之后，明確P（x，0）至 A（0，2）二者之的距離;P（x，0）至 B（2，1）二者之間的距離，同時(shí)注意到y(tǒng)為P（x，0）到 A（0，2）與B（2，1）兩點(diǎn)距和，因此可用對(duì)稱(chēng)軸求得最短距離方式完成本題計(jì)算.在本題中，正是因?yàn)閹缀沃庇^時(shí)的形與數(shù)相結(jié)合，才讓問(wèn)題迎刃而解.3.3 構(gòu)圖想象能力的順勢(shì)激發(fā)

應(yīng)該說(shuō)，構(gòu)圖對(duì)于處理數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的推動(dòng)作用，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，不乏這方面的經(jīng)典案例，像歐拉利用構(gòu)圖方式，將哥尼斯堡七橋問(wèn)題順利化解掉，笛卡爾利用構(gòu)圖方式發(fā)展了解析幾何.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師從問(wèn)題特點(diǎn)出發(fā)，以幾何直觀能力為歸宿，使學(xué)生的構(gòu)圖想象能力被順勢(shì)激發(fā)，在此過(guò)程中，把原本內(nèi)隱的構(gòu)圖做顯性化調(diào)整，會(huì)給學(xué)生以極有啟發(fā)意義的提示.此外，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師既有引導(dǎo)學(xué)生讀圖、識(shí)圖的必要性，又有使之接受根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)圖指導(dǎo)的必要性，兩項(xiàng)工作有機(jī)融入于幾何直觀能力培養(yǎng)思路中，保證教學(xué)目標(biāo)的進(jìn)一步優(yōu)化.構(gòu)圖是一種極有意義的思維建構(gòu)形式.教師可帶領(lǐng)學(xué)生找準(zhǔn)構(gòu)圖要素、明確構(gòu)圖順序，在幾何直觀能力養(yǎng)成目標(biāo)指引下，靈活調(diào)整構(gòu)圖方式、發(fā)展構(gòu)圖能力.例如，當(dāng)接觸到勾股定理的內(nèi)容后，教師可以利用尺規(guī)作圖的形式，將問(wèn)題呈現(xiàn)在大家面前：請(qǐng)嘗試比較1+ 2與10的大小.此題表面看來(lái)是單純的代數(shù)問(wèn)題，然而因?yàn)?、10二者均為無(wú)理數(shù)，直接比較大小難度較大.看到此題時(shí)，有學(xué)生表示：因?yàn)閿?shù)軸上面的每個(gè)點(diǎn)都可以表示一個(gè)數(shù)，換言之，也就是每個(gè)數(shù)均能夠在數(shù)軸上加以表示.那么是不是可以利用勾股定理構(gòu)建直角三角形的做法，直接在數(shù)軸上呈現(xiàn)出無(wú)理數(shù)呢？有了想法后，學(xué)生便可以動(dòng)手畫(huà)圖，將圖形構(gòu)造出來(lái)，用于處理實(shí)際的問(wèn)題.在此過(guò)程中，學(xué)生的幾何直觀能力被有效激發(fā)，同時(shí)構(gòu)造圖形的過(guò)程本身也使得問(wèn)題被從復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單，從陌生轉(zhuǎn)化為熟悉.

3.4 直觀啟發(fā)的層次漸進(jìn)

教師在對(duì)初中生幾何直觀能力的培養(yǎng)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)以教材為中心，進(jìn)行漸次遞進(jìn)式的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的幾何直觀能力擁有有序發(fā)展的機(jī)會(huì).具體講，從學(xué)生學(xué)習(xí)層面分析，幾何直觀能力無(wú)法自發(fā)形成，即便有前述基本概念、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)圖想象等方面的指導(dǎo)，也不容易達(dá)成理想效果.這一問(wèn)題的解決，需要一個(gè)過(guò)程，也就是需要教師通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，讓學(xué)生分步驟、分層次地接受啟發(fā)，完成能力構(gòu)建的最終目標(biāo).例如，教師可讓學(xué)生首先直觀基本圖形，產(chǎn)生對(duì)于此類(lèi)基本圖形的幾何直觀印象，像看到a（b+c）會(huì)聯(lián)想到長(zhǎng)方形面積，看到|a-b|會(huì)聯(lián)想到兩點(diǎn)在數(shù)軸上的距離等.之后，可進(jìn)行從圖形表征得到解決問(wèn)題的深層信息的難度提升訓(xùn)練，并讓訓(xùn)練難度呈階梯式遞進(jìn).

直觀，以及建立在直觀基礎(chǔ)之上的學(xué)習(xí)行為、解決問(wèn)題活動(dòng)等，具有理性的、邏輯的思維、行為所難以取代的作用，這一點(diǎn)對(duì)于其他學(xué)科如此，對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)科同樣如此.應(yīng)該說(shuō)，幾何直觀是數(shù)學(xué)之中生動(dòng)的、持續(xù)增長(zhǎng)的、充滿(mǎn)迷人魅力的課題之一，其在內(nèi)容上、方法上的探索，將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)對(duì)于幾何圖形本身的探索價(jià)值.本文正是基于這一認(rèn)知，率先分析了幾何直觀能力的內(nèi)涵，提出了初中生數(shù)學(xué)幾何直觀能力構(gòu)建的指導(dǎo)原則，并給出建立于基本指導(dǎo)原則之上的具體操作策略.

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[責(zé)任編輯：李 璟]