指向“四個理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計研究

彭蕭 李兆敏

[摘 ?要] “四個理解”是教改中“以不變應(yīng)萬變”的法寶. 理解數(shù)學(xué)是開展教學(xué)的前提，落腳于對章節(jié)知識邏輯網(wǎng)和上下位知識的理解，確立教學(xué)目標(biāo);理解學(xué)生是促進學(xué)生全面發(fā)展的保障，關(guān)注學(xué)生知識儲備與思維障礙找到最近發(fā)展區(qū)，自然衍生出教學(xué)重難點;理解教學(xué)是開展教學(xué)活動，創(chuàng)設(shè)有意義的情境與活動，設(shè)立針對性的問題串，促進教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的統(tǒng)一;理解技術(shù)是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的“點睛之筆”. 在冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計中，四個理解相互聯(lián)系，共同作用有效落實立德樹人的根本任務(wù).

[關(guān)鍵詞] 四個理解;冪函數(shù);教學(xué)設(shè)計

章建躍先生指出：在課堂教學(xué)改革中有效落實“四個理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)，決定了育德、育智所能達(dá)到的水平和效果. 面對教師在“理解數(shù)學(xué)”上不到位，“玩不轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)的教育問題[1]，章先生提出“四個理解”是教學(xué)改革中“以不變應(yīng)萬變”的法寶[2]. 教師要把學(xué)生當(dāng)做一個活生生的人，而要想讓數(shù)學(xué)教學(xué)教出數(shù)學(xué)味道，教學(xué)設(shè)計值得每一位教師深思. 為解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的這些問題，基于“四個理解”并結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）的教學(xué)指導(dǎo)，對《普通高中人教A版數(shù)學(xué)必修（第一冊）》第三章第三節(jié)冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計進行研究，以期供一線教師參考借鑒.

理解數(shù)學(xué)，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

理解數(shù)學(xué)是開展教學(xué)的前提，是確定教學(xué)目標(biāo)的方向舵. 理解數(shù)學(xué)在冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計中的落腳點是對章節(jié)結(jié)構(gòu)邏輯知識網(wǎng)的把握和對內(nèi)容上、下位知識的清晰認(rèn)識，《課標(biāo)》在其“基本理念”中強調(diào)“突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法”，這表明，理解數(shù)學(xué)知識應(yīng)建構(gòu)起邏輯關(guān)系網(wǎng)，整體把握主線教學(xué)，將冪函數(shù)這一節(jié)的教學(xué)放在“函數(shù)”這一主線下去探究章節(jié)結(jié)構(gòu)中知識的內(nèi)在聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，架構(gòu)起整個函數(shù)章節(jié)的數(shù)學(xué)知識體系，以便建立研究函數(shù)的一般思路：定義—圖像與性質(zhì)—應(yīng)用，為后面研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)提供研究系統(tǒng)參考，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的自然延拓. 該結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)的邏輯性、思維性，以及融入的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)才是貫穿課堂始終的“數(shù)學(xué)靈魂”.

理解冪函數(shù)的上、下位知識，明確知識的來龍去脈[3]，就是要在教學(xué)設(shè)計中將冪函數(shù)內(nèi)容與已知的知識發(fā)生實質(zhì)性的聯(lián)系，實現(xiàn)對知識的同化. 學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在高中已掌握函數(shù)性質(zhì)和概念，理解函數(shù)在高中是通過“對應(yīng)說”把握其變化規(guī)律，而從具體情境中抽象出的以前學(xué)過的函數(shù)模型及函數(shù)中不變的性質(zhì)便是冪函數(shù)概念形成的上位知識;根據(jù)抽象出的函數(shù)模型需要進一步歸納概括以實現(xiàn)對冪函數(shù)概念的同化，并將函數(shù)性質(zhì)引申到研究冪函數(shù)中冪指數(shù)α對其性質(zhì)的影響，這是一個借助圖像去高度概括和抽象的過程，因此可稱為冪函數(shù)的下位知識.

基于此，教師可將從具體函數(shù)中抽象出函數(shù)概念、確定一般函數(shù)的研究思路，借助圖像探究五個冪函數(shù)和任意冪函數(shù)的性質(zhì)，進一步滲透“數(shù)形結(jié)合思想、由特殊到一般的思想”作為教學(xué)目標(biāo).

理解學(xué)生，清晰教學(xué)重難點

理解學(xué)生是促進學(xué)生全面發(fā)展的保障. 以學(xué)生為主體的教學(xué)，是要把學(xué)生看作一個有思想有活力的個體，關(guān)注學(xué)生的知識儲備是否充足，不足之處怎樣搭建“知與不知”的橋梁;思維是否有障礙，如何尋找介于“已知區(qū)”和“未知區(qū)”之間的“最近發(fā)展區(qū)”. 在探索過程中，衍生出教學(xué)設(shè)計的重難點. 《課標(biāo)》在“課程理念”中強調(diào)數(shù)學(xué)課程是為了實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，如果沒有一定的數(shù)學(xué)知識儲備，那么應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理問題也變成空談，教學(xué)設(shè)計要清楚學(xué)生的已有知識系統(tǒng)，通過新課學(xué)習(xí)豐富知識儲備，為“四能”的獲得和擴充終身學(xué)習(xí)的知識庫做準(zhǔn)備. 進而確定教學(xué)重點是從五個具體冪函數(shù)歸納認(rèn)識冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，在研究過程中做到對知識系統(tǒng)擴充，形成高中第一個初等函數(shù)研究的典范.

教育學(xué)家維果茨基提出“最近發(fā)展區(qū)”這一理念，內(nèi)涵中將介于已知區(qū)和未知區(qū)之間的區(qū)域歸結(jié)為“最近發(fā)展區(qū)”[4]，人的認(rèn)知水平常在這三個層次之間不斷轉(zhuǎn)化，螺旋式上升. 理解學(xué)生就要尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并搭建跨越知與不知的橋梁，在這里將這個橋梁的搭建過程理解為學(xué)生的思維障礙，突破這個障礙就是本節(jié)課要確定的教學(xué)難點. 根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的四個階段：輸入階段、相互作用階段、操作階段和輸出階段，畫出冪函數(shù)認(rèn)知發(fā)展水平的模式（如圖1），力求突破學(xué)生畫y=x3，y=x圖像的思維障礙，做到理解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，衍生出冪函數(shù)的教學(xué)難點是畫出五個冪函數(shù)的圖像，并能借助圖像研究出一般冪函數(shù)y=xα中冪指數(shù)α對圖像及性質(zhì)的影響.

理解教學(xué)，精設(shè)教學(xué)過程

理解教學(xué)是開展教學(xué)活動，師生共同提高的過程. 教學(xué)過程的精心設(shè)計，將思想、方法融入有趣且有意義的教學(xué)情境和教學(xué)活動中，實現(xiàn)教學(xué)方式的多樣化，有利于促進教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的自然統(tǒng)一.

1. 情境創(chuàng)設(shè)引入教學(xué)，實現(xiàn)概念形成

數(shù)學(xué)知識的高度概括性，使得數(shù)學(xué)直接感知、理解和內(nèi)化存在一定難度，往往“學(xué)的人不知數(shù)學(xué)如何去意會”，而“教的人不知數(shù)學(xué)如何去言傳”，這就需要創(chuàng)設(shè)情境去消除“意會”和“言傳”之間的障礙[5]. 由此，在教學(xué)中，為學(xué)生提供具有現(xiàn)實意義和思考價值的問題情境[6]，能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，啟發(fā)學(xué)生思維，帶給學(xué)生心靈感染和內(nèi)心情感的體驗，這也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)實效的重要途徑. 在《課標(biāo)》課程理念中也提出創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境能啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

將問題情境創(chuàng)設(shè)思想應(yīng)用于冪函數(shù)教學(xué)引入中，對于冪函數(shù)概念形成的教學(xué)在以往創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境上，進行創(chuàng)新，基于新型冠狀病毒肆虐全球，全世界人民攜手抗擊疫情的社會大情境下，找到情境創(chuàng)設(shè)突破口，創(chuàng)設(shè)能引起學(xué)生關(guān)注與思考的教學(xué)情境，使創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境更能引起學(xué)生的情感共鳴，找到教育的“觸點”，實現(xiàn)對教學(xué)的理解. 其新舊教學(xué)情境對照如表1：

表1 ?冪函數(shù)問題情境表

2. 問題串驅(qū)動教學(xué)，實現(xiàn)性質(zhì)探究

在驅(qū)動教學(xué)進程中，“問題串”已成為教學(xué)的共識，但不同學(xué)者對“問題串”的使用理解不同. 龍艷文學(xué)者基于問題串設(shè)計的必要性、合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性對概念教學(xué)的問題進行改進，深入教學(xué)中概念的理解[7]. 王先進學(xué)者將問題串看作思維訓(xùn)練的良好載體，指引著思維的發(fā)展[8]. 學(xué)者們對問題串的研究主要從問題串的形式、問題串的作用進行教學(xué)設(shè)計，但問題串的設(shè)計離不開對教學(xué)的理解，在學(xué)者的理解之上，從學(xué)生冪函數(shù)的理解障礙出發(fā)，教師對冪函數(shù)教學(xué)問題串進行改進，設(shè)計引領(lǐng)思維發(fā)展的冪函數(shù)性質(zhì)探究的問題串.

教學(xué)片段設(shè)計1

問題1：研究函數(shù)的性質(zhì)，一般借助什么？

問題2：按照畫圖像的步驟，在畫α=1，2，-1，3，這五個冪函數(shù)的圖像時，哪些圖像的大致走向不太好畫出？思考畫不出來的原因.

問題3：依據(jù)函數(shù)y=x3的畫圖思路，請同學(xué)們研究函數(shù)y=x的圖像如何畫，并完善在同一平面直角坐標(biāo)系中這五個冪函數(shù)的大致圖像.

設(shè)計說明：三個問題層層遞進，是讓學(xué)生思考在畫函數(shù)y=x3，y=x時，如何合理取點，突破畫圖障礙，這個過程讓學(xué)生經(jīng)歷“思想障礙—思索原因—思有所獲—消除障礙”的過程，真正從理解學(xué)生的思維障礙出發(fā)，做到理解教學(xué)，因材施教，讓學(xué)生知道“哪里不會”到懂得“突破不會”再到“應(yīng)用所會”，為突破教學(xué)重難點做鋪墊，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“何由以知其所以然”的重要性.

教學(xué)片段設(shè)計2

問題4：所有圖像都過第幾象限？所有圖像都過哪個公共點？

問題5：第二象限中有的函數(shù)有圖像，有的沒有圖像，請同學(xué)們觀察，這五個冪函數(shù)中哪些函數(shù)在第二象限有圖像，解析式有什么特征？

問題6：同樣，有的函數(shù)在第三象限有圖像，這些函數(shù)有什么共同特征？

問題7：第一象限內(nèi)函數(shù)圖像的單調(diào)性是怎樣的？你能作出函數(shù)y=x-2，y=x的大致圖像嗎？

設(shè)計說明：問題4、5、6的設(shè)置完成了對五個冪函數(shù)借助圖像研究性質(zhì)的過程，為問題7展開對函數(shù)在第一象限的研究做鋪墊，通過問題串讓學(xué)生的關(guān)注點聚焦于α的奇偶性影響冪函數(shù)的奇偶性，α符號的正負(fù)影響冪函數(shù)的單調(diào)性，從對五個特殊的冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)研究推廣到對一般冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)研究，以此突破教學(xué)重難點，實現(xiàn)思維的跨越與知識的延伸.

問題串的設(shè)置解決了學(xué)生“要研究什么”“需要關(guān)注什么”到“總結(jié)推廣研究得到了什么”的研究過程. 至此本節(jié)課真正讓學(xué)生在困惑中尋找方向，在問題驅(qū)動中解決困惑，學(xué)會知識，由此得到的知識為研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)找到思路的固著點，是數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)的有力保障.

理解技術(shù)，升華教學(xué)內(nèi)容

理解技術(shù)是指將信息化時代的元素融入教學(xué)中，體現(xiàn)信息技術(shù)在教學(xué)中起的“畫龍點睛”的作用. 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較為抽象，信息技術(shù)可作為應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的一種認(rèn)知工具和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一部分，一個關(guān)鍵特征是應(yīng)用數(shù)字、圖形和符號，為抽象的數(shù)學(xué)理論構(gòu)建一個直觀、動態(tài)的模型[9]. 在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，教師借助數(shù)學(xué)軟件開展教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的素養(yǎng)得到有效發(fā)展. 通俗地講就是學(xué)生直觀感受到數(shù)學(xué)知識“不能動”時，借助軟件輔助思考，讓這些知識“活起來”. 當(dāng)教學(xué)中遇到憑借教師講解依舊無法突破的知識時，我們應(yīng)敏銳地把握住，并采用上述技術(shù)來講授，使其成為活躍思維、發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的點睛之筆.

比如應(yīng)用Geogebra（以下簡稱GGB）軟件輔助冪函數(shù)教學(xué). 在探究α對冪函數(shù)在第一象限的單調(diào)性的影響時，此時可以借助GGB創(chuàng)建滾動條（如圖2）：當(dāng)拖動滾動條時，學(xué)生能直觀感受到當(dāng)α>0時冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，并且隨著拖動α數(shù)值越來越大時，冪函數(shù)在（1，+∞）上越來越靠近y軸，在（0，1）上越來越靠近x軸. 通過這樣一個動態(tài)的演示讓學(xué)生的思維動起來，既突破了教學(xué)難點，也發(fā)展了數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在學(xué)生動手畫冪函數(shù)的圖像時，對于畫函數(shù)y=x3的圖像，有的喜歡去取整數(shù)點，在?。?，0），（1，1），（2，8），（3，27）后，學(xué)生對其在（0，1）上的大致圖像把握不準(zhǔn)，這時在教師的引導(dǎo)下縮小取點間距，不妨再取點，. 在學(xué)生繼續(xù)思考作圖后，教師借助GGB準(zhǔn)確畫出函數(shù)y=x3的圖像，于是形成完整的五個冪函數(shù)的圖像（如圖3）. 通過信息技術(shù)解決學(xué)生的困惑，再到對函數(shù)圖像的整體把握，這樣的信息技術(shù)應(yīng)用能有效促進教學(xué)，提高教學(xué)效率.

結(jié)語

“四個理解”在冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)中看似各司其職，卻彼此聯(lián)系、相互作用，共同承擔(dān)課堂教學(xué)的完整性、連續(xù)性、復(fù)雜性. 理解數(shù)學(xué)是開展教學(xué)的前提，教師只有理解知識邏輯網(wǎng)和上下位知識，才能實現(xiàn)冪函數(shù)的教學(xué)目標(biāo);理解學(xué)生是促進學(xué)生全面發(fā)展的保障，教師既要關(guān)注學(xué)生的知識儲備，也要關(guān)注學(xué)生的思維障礙，切身感受學(xué)生的發(fā)展需要，由此才能貼近學(xué)生，明確教學(xué)重難點;理解教學(xué)是師生在教學(xué)活動中共同提高的保證，有意義的活動與情境、有針對性的問題串都能促進教學(xué)有效開展，達(dá)到師生“教”與“學(xué)”的統(tǒng)一;理解技術(shù)是關(guān)注知識自然延拓與發(fā)展核心素養(yǎng)的“點睛之筆”. 做足“四個理解”的教學(xué)設(shè)計，對順利開展數(shù)學(xué)“育人”教學(xué)和培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”有著不可替代的作用. 教學(xué)是動態(tài)過程，這就需要教師基于“四個理解”的教學(xué)設(shè)計，在實踐的反思、改進、創(chuàng)新上多下功夫，落實立德樹人的根本任務(wù)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)所育之人能擔(dān)起民族復(fù)興的大任，成為全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)1）——《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（19）：6-11.

[2] 章建躍. 理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[J]. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（01）：61-63.

[3] 章建躍.立德樹人與數(shù)學(xué)課程改革——暨“第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動”總結(jié)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2019（08）：7-12.

[4] 趙國義. 教學(xué)設(shè)計必須考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”[J]. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（05）：27-28+45.

[5] 張志勇. 高中數(shù)學(xué)可視化情境的設(shè)計原則及實施路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（03）：15-19+24.

[6] 任旭，夏小剛. 問題情境的創(chuàng)設(shè)：基于思維發(fā)展的理解[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（04）：15-18.

[7] 龍艷文. 基于概念生成中三個層面追問的問題串設(shè)計[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017，56（03）：11-13+17.

[8] 王先進. 談問題串的設(shè)計方法[J]. 數(shù)學(xué)通報，2012，51（07）：17-19+23.

[9] “中小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究”課題組，章建躍. 數(shù)學(xué)·信息技術(shù)·數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 課程·教材·教法，2012，32（12）：62-66+94.