體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的一題多解教學(xué)

張世凡 冉雪琴 張曉斌

[摘 ?要] 解題教學(xué)，既是推進(jìn)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)鞏固的有效手段，又是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑，更是滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 教師在解題教學(xué)中提倡和追求“一題多解”的教學(xué)來(lái)拓寬學(xué)生思維的廣度與深度，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活度與創(chuàng)新度. 但是在面對(duì)“一題多解”教學(xué)時(shí)，重“量”輕“質(zhì)”的教學(xué)現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生，學(xué)生驚嘆于教師的高明，茫然于各種解法的特殊技巧，最后導(dǎo)致一頭霧水，不知所措.分析其緣由，教師在例題、習(xí)題教學(xué)環(huán)節(jié)中只重視了一題多解的角度廣、途徑多、技巧強(qiáng)，忽視了通過(guò)多種不同解法的對(duì)比、剖析、探究，進(jìn)而挖掘、提煉、概括其共性思想方法的數(shù)學(xué)本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 一題多解;多法歸一;數(shù)學(xué)思想

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，要求知識(shí)綜合化、板塊化、網(wǎng)絡(luò)化. 因此教師常常從不同的角度、不同的層面采用多種方法解決問(wèn)題，這些教學(xué)方法在短時(shí)間內(nèi)能有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和解題技巧，有利于學(xué)生提高解決綜合問(wèn)題的能力，但隨著時(shí)間推移，中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)能給學(xué)生留下多少內(nèi)容？與大一學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)，僅過(guò)半年的時(shí)間，他們已經(jīng)不能完整地表達(dá)高中數(shù)學(xué)中的部分定理、公理、公式的含義，在解答高考中的基本題型時(shí)出現(xiàn)了困難.為什么會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)果呢？因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，“解題教學(xué)”有時(shí)竟演變成空洞的“解題訓(xùn)練”，“訓(xùn)練”只能提高形式推理能力，而不能建立基于理解的獨(dú)立思考能力. R·柯朗H·羅賓在《什么是數(shù)學(xué)》一書(shū)中是這樣詮釋數(shù)學(xué)的：數(shù)學(xué)，作為人類(lèi)思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求[1]. 學(xué)生在學(xué)習(xí)中遺忘掉的東西是所學(xué)的具體知識(shí)和內(nèi)容，而剩下來(lái)的是所需的能力和素養(yǎng)，這就是我們教師應(yīng)追求的教育價(jià)值.

數(shù)學(xué)是思維的體操，如何通過(guò)解題教學(xué)、解題活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù). 高三例題、習(xí)題教學(xué)中的一題多解有利于學(xué)生理解各章節(jié)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系、知識(shí)和思想方法間的相互轉(zhuǎn)化，所以教師在例題、習(xí)題教學(xué)過(guò)程中要善于挖掘例題、習(xí)題的一題多解，讓學(xué)生的思維應(yīng)變能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng). 但單墫先生又指出“不管什么題目，一味地追求多種解法，勉強(qiáng)湊數(shù)，矯揉造作，那就不好了.解法仍以簡(jiǎn)單、自然為上，即使有多種解法，也應(yīng)分清優(yōu)劣，擇善而從，這也是有無(wú)見(jiàn)識(shí)或見(jiàn)識(shí)高低的差別”. 反思我們部分教師在一些例題、習(xí)題的“一題多解”教學(xué)中的解答，讓學(xué)生難以想到、解題技巧高超古怪，這種重“量”輕“質(zhì)”的“一題多解”，被單墫先生一語(yǔ)中的. 由于有些例題、習(xí)題的“一題多解”不是建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，教學(xué)中教師沒(méi)有從根本的思想方法入手，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷方法、知識(shí)的探求和主動(dòng)思考過(guò)程，這種“一題多解”不利于促進(jìn)學(xué)生解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高，久而久之，甚至?xí)共糠謱W(xué)生喪失繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣和信心. 我們?nèi)绾螐摹耙活}多解”的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，提升他們的學(xué)科素養(yǎng)？下面筆者以高三解三角形中求三角形面積、周長(zhǎng)的最值專(zhuān)題復(fù)習(xí)的教學(xué)為例來(lái)說(shuō)明.

【教師提示語(yǔ)：當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，從余弦定理角度考慮解題會(huì)較麻煩，因此這里選擇正弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值】

教研探討

上述求三角形面積“一題多解”的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師的教學(xué)重心落在方法的羅列，缺少解題教學(xué)中思想方法的滲透、數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘、通性通法的提煉、解后的總結(jié)反思. “一題多解”中的“一題”之所以能“多解”，往往就在于多種解法之間有內(nèi)在聯(lián)系，這些內(nèi)在聯(lián)系又有規(guī)可循. 教師應(yīng)該對(duì)多種解法進(jìn)行深入研究，對(duì)比分析多種解法中運(yùn)用到的必備知識(shí)及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，同時(shí)分析其中涉及的基本方法、蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想和語(yǔ)言表達(dá)等.

（一）滲透數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

一般來(lái)說(shuō)，教材的一系列基本知識(shí)是由幾個(gè)基本定義的演變、公理的推算得到的，數(shù)學(xué)要表達(dá)的問(wèn)題幾乎都包含在基本概念、公式、公理、定理中，所以數(shù)學(xué)解題教學(xué)就是教會(huì)學(xué)生從基本概念、公式、公理、定理的數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，再轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)思想方法上的應(yīng)用.

案例第一問(wèn)，三角形面積公式是本問(wèn)題的核心，抓住面積公式這一本質(zhì)屬性（結(jié)合本題可用的三角形面積公式為S△ABC=bcsinA=bc，S△ABC=BCh），余下的任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1.如果利用S△ABC=bcsinA=bc這一面積公式，求面積最值的運(yùn)算就變成二元最值問(wèn)題，從化歸與轉(zhuǎn)化思想來(lái)看，中學(xué)階段處理二元最值的主要思想是消元轉(zhuǎn)化為低元問(wèn)題求解，消元的手段有均值不等式直接消元求最值、化二元為一元利用函數(shù)思想求最值. 方法1由余弦定理得bc=b2+c2-4，結(jié)合重要不等式b2+c2≥2bc求最值;方法4由正弦定理得bc=sinBsinC，結(jié)合B+C=利用二元化一元求最值的思路便自然形成.

2. 利用S△ABC=BCh的面積公式求解時(shí)，因?yàn)閍=2，S△ABC=BCh=h，所以面積范圍轉(zhuǎn)化為BC邊上高（頂點(diǎn)限定于圓上）的取值范圍. 已知三角形一邊和一邊的對(duì)角，利用數(shù)形結(jié)合思想，將其放置于圓上，變?yōu)橥∷鶎?duì)圓周角不變，圓內(nèi)接三角形的面積最大值就轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到底邊的最大距離，結(jié)合圖形，方法3一目了然.

3. 在變式中，已知條件不變，問(wèn)題改為“若△ABC為銳角三角形，求其面積的最值范圍”. 利用數(shù)形結(jié)合思想求解本題顯得尤其高明（相比教師的講法），帶領(lǐng)學(xué)生回顧圓的直徑所對(duì)圓周角為直角，結(jié)合圖形2發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)A只能在劣弧間運(yùn)動(dòng)，于是△ABC面積的取值范圍就容易解決了.

在高三例題、習(xí)題的“一題多解”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，多角度、多層次地做到對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的橫向與縱向聯(lián)系，并從基本技能、基本思想方面優(yōu)化問(wèn)題解決的過(guò)程，由此培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的能力和主動(dòng)調(diào)整的能力，實(shí)現(xiàn)會(huì)一題、明一類(lèi)、通一片的解題效果，破解僵化的應(yīng)試教育下題海戰(zhàn)的束縛，讓他們達(dá)到一種對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)化于心（能聽(tīng)懂、能明白），外現(xiàn)于形（會(huì)分析、會(huì)表達(dá)）的境界，提高他們獨(dú)立獲取知識(shí)的能力和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.

（二）挖掘一題多解、多法歸一，強(qiáng)化問(wèn)題本質(zhì)

細(xì)細(xì)研究絕大多數(shù)例題、習(xí)題的“一題多解”，雖然幾種解法在算式、程序、技巧、運(yùn)算過(guò)程等方面不完全一樣，但是幾種解法所涉及的數(shù)學(xué)本質(zhì)、基礎(chǔ)知識(shí)并無(wú)差別. 教學(xué)中，教師拋開(kāi)不同的解題形式，將關(guān)注點(diǎn)落在挖掘其內(nèi)在聯(lián)系及背后的數(shù)學(xué)思想與方法上，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，用“不變”的數(shù)學(xué)思想與方法去解決解題形式不斷“變化”的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 方法1，首先由面積公式得S△ABC=bcsinA=bc，再由余弦定理得bc=b2+c2-4，最后使用均值不等式求最值;方法4，由正弦定理結(jié)合B+C=得到bc=sinBsinC=sinBsin-B，轉(zhuǎn)化為關(guān)于f（B）的三角函數(shù)求最值. 我們發(fā)現(xiàn)這兩種解法的共通點(diǎn)：一是從運(yùn)算角度來(lái)看，基本數(shù)學(xué)思想是用化歸與轉(zhuǎn)化的思想處理二元最值問(wèn)題，運(yùn)算處理細(xì)節(jié)由知識(shí)點(diǎn)的構(gòu)成不同而有所差異，又比如方法2，利用了等比中項(xiàng)的知識(shí)來(lái)處理二元化一元，方法5利用三角恒等變換積化和差公式將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值;二是從知識(shí)角度來(lái)看，正弦、余弦定理是研究斜三角形的基本工具，在解斜三角形問(wèn)題時(shí)，教師首先要求學(xué)生作出圖形，標(biāo)出相應(yīng)量，結(jié)合相應(yīng)的量選擇正弦、余弦公式，再根據(jù)條件發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系.變式題加強(qiáng)條件“銳角三角形”，這與原來(lái)無(wú)此條件的區(qū)別是什么？聯(lián)系如何？如何處理？一系列的為什么讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上回答問(wèn)題，教師可以讓學(xué)生以例題的三種思維方式來(lái)檢驗(yàn)他們的理解情況.

通過(guò)“多解”后“歸一”，多種解法并不是解決問(wèn)題的目的，其目的是挖掘出不同解法的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，提煉出具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)思想與方法，從而實(shí)現(xiàn)通過(guò)“多解”達(dá)到“歸一”. 深刻領(lǐng)悟方法實(shí)質(zhì)，深刻理解問(wèn)題本質(zhì)，讓學(xué)生站在系統(tǒng)的高度看問(wèn)題，避免解題套路化，避免過(guò)度刷題，這樣就可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，由此獲得對(duì)數(shù)學(xué)的通透理解，最終培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（三）注重基礎(chǔ)性、通性通法，回歸思維本質(zhì)

一道數(shù)學(xué)試題可能考查多種能力、多種思想方法，因此試題的解答方法、思維方式不是唯一的，而是多種多樣的. 技巧性很強(qiáng)的解法是“術(shù)”而不是“道”，也不是數(shù)學(xué)的通性通法，大多數(shù)學(xué)生難以想到，掌握起來(lái)有一定難度，甚至可能會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想與方法的混淆乃至思維混亂.因此在例題、習(xí)題教學(xué)中應(yīng)充分考慮到學(xué)生能力的個(gè)體差異，沒(méi)必要去要求所有學(xué)生掌握這些解法，不必“為多解而多解、為技巧而技巧”，要體現(xiàn)“死方法是技巧、活方法是思想”這一觀點(diǎn).國(guó)家考試中心在2019年高考數(shù)學(xué)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷試題分析報(bào)告中明確指出：試題在全面考查數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，特別注重對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的考查，淡化特殊技巧. 這說(shuō)明在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要回歸通性通法，強(qiáng)調(diào)基本方法的普適性、基本思想的統(tǒng)攝性. 回到最常規(guī)的基本思維和常用的基本方法上，只有這樣才有利于學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的把握，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決教學(xué)的目標(biāo).

方法2中，設(shè)bc=t2，且b=，c=mt，（m>0，t>0）的處理技巧一般在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中用到;方法5利用了教材中不做要求的積化和差公式：cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC，cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC. 這兩種方法從知識(shí)層面講超出部分學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知，從運(yùn)算角度講技巧性太強(qiáng)，不利于學(xué)生的掌握，從心理角度分析，學(xué)生除了驚嘆教師的知識(shí)淵博，方法高明之外無(wú)一收獲，甚至?xí)箤W(xué)生產(chǎn)生自卑感等消極的心態(tài). 面對(duì)“一題多解”，教師要判斷解法的優(yōu)劣，力求找出一種最優(yōu)解——“一題一解”.

又如方法2將b=，c=mt代入bc=b2+c2-4得到t2+4=+m2t2=-mt+2t2≥2t2，學(xué)生一定還會(huì)想m、t哪個(gè)作為變量呢？像這種煩瑣、復(fù)雜、不自然的解答，一些基礎(chǔ)不好、思維不活的學(xué)生覺(jué)得這是生硬拼湊或巧妙組裝;“神來(lái)之筆”技巧性過(guò)強(qiáng)的解答讓人感覺(jué)很突兀，如同波利亞所指出的“魔術(shù)師帽子里突然變出一只兔子”不可理喻，學(xué)生難以理解這樣的解題思路.

解數(shù)學(xué)題的最高境界是玩數(shù)學(xué)題，玩中取樂(lè)，玩中激趣，玩中增智，玩中提能[2]. 面對(duì)“一題多解”，先追求“一題多解”的發(fā)散思維，體驗(yàn)條條大路通羅馬的樂(lè)趣;再分析概括，不盲目羅列多種解法;最后總結(jié)歸納，追求“多法歸一”，體會(huì)事物之間皆聯(lián)系，探尋本質(zhì)，把握住表面不同卻質(zhì)相同的內(nèi)核. 教師只有努力提高自己的核心素養(yǎng)，站在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的角度來(lái)培養(yǎng)學(xué)生，才能在解題教學(xué)的道路上收放自如，深入淺出地處理問(wèn)題，才能不被重量輕質(zhì)“一題多解”的浮云遮望眼.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?R·柯郎H·羅賓. 什么是數(shù)學(xué)[M]. 左平，張飴慈，譯. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.

[2] ?孟祥禮. 我的第一本數(shù)學(xué)解題書(shū)（一題多解教你學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題）[M]. 青島：中國(guó)海洋大學(xué)出版社，2014.