品味轉(zhuǎn)化思想，撥開思維迷霧

徐清

【摘 要】學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，不可能“一蹴而就、立竿見影”，而是一個“水滴石穿”的過程。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的思想方法。學(xué)生面對一個陌生的或復(fù)雜的問題時，常常感到迷茫而束手無策，此時教師若運用將未知轉(zhuǎn)化為已知、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、一般轉(zhuǎn)化為特殊、抽象轉(zhuǎn)化為具體等轉(zhuǎn)化思想來啟迪，則學(xué)生會撥開思維的迷霧，讓答案水落石出。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學(xué)思維

在教學(xué)中，經(jīng)常會遇到這樣的學(xué)生，獨立簡單的知識點他掌握了，可是變一下情境或者稍微復(fù)雜一點就不會了;有時候聽教師或同學(xué)講時好像會了，可自己一做題卻又不會了。這到底是什么原因引起的呢？是學(xué)生只會簡單地模仿，沒有內(nèi)化成自己的知識，還是理解不到位，缺乏舉一反三的能力呢？筆者認為，其核心原因還是沒有形成最基本的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法蘊含在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個階段，隨著數(shù)學(xué)知識的不斷習(xí)得而悄悄滋潤著學(xué)生的大腦，潛移默化地促進學(xué)生的認知過程。在解決數(shù)學(xué)問題時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想是一種化歸思想，一般是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，進而衍生出新的方法。

一、教學(xué)過程中引發(fā)的思考

在教學(xué)空間與圖形總復(fù)習(xí)時，有些學(xué)生經(jīng)常會被“求陰影部分圖形的面積”這種類型的題目難到。如圖1，分別以三角形的三個頂點為圓心，作半徑為2分米的圓，求陰影部分的面積。

部分學(xué)生會這樣思考：把三個扇形的面積分別求出來，然后加起來，但是發(fā)現(xiàn)三角形的三個內(nèi)角角度不知道，無法求出三個扇形的大小，于是苦思冥想找不出解決問題的突破口;而部分學(xué)生卻覺得很簡單，根本不需要求出每個扇形的面積，因為每個圓的大小是一樣的，也就是半徑是相同的，所以這三個扇形可以拼在一起，又因為三角形內(nèi)角和是180°，所以三個扇形拼在一起后是一個半圓，只需要求出半徑是2分米的半圓面積就可以了。

不同學(xué)生對這道題的思考方式不同，很明顯可以發(fā)現(xiàn)，后一部分學(xué)生能解決這道題目的關(guān)鍵在于他們運用了轉(zhuǎn)化的方法，他們的數(shù)學(xué)思維中有轉(zhuǎn)化的思想，這正是前一部分學(xué)生所缺少的思想方法。

二、轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：將基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗作為數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)。小學(xué)常用的基本思想有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、集合思想、模型思想、統(tǒng)計思想等，其中轉(zhuǎn)化思想既是其他數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，又是各種數(shù)學(xué)思想的靈魂，貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的始終。但是因為轉(zhuǎn)化思想分布在各個年級不同的教學(xué)內(nèi)容里，所以教師在教學(xué)時有時會忽略，有時為了趕進度，重視了數(shù)學(xué)方法，而忽略了數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致有些學(xué)生對于教師講過的經(jīng)常見到的題目能很快解答，而對于一些新穎的題目就無從下手。這就需要教師在教學(xué)時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生能真正理解并有效運用。

三、轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）轉(zhuǎn)化是探究新知的基本策略

小學(xué)數(shù)學(xué)很多知識都是以舊知識為基礎(chǔ)的，在舊知識的基礎(chǔ)上不斷發(fā)展、變化和提升，進而形成新知識。而將未知的轉(zhuǎn)化為已知的，簡單地說就是將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，利用“舊知”解決“新知”，這樣更有利于學(xué)生的記憶，因為它能幫助學(xué)生了解知識的形成過程。

1.讓“算理”融入“算法”

在探索運算法則時，教師常常會重“算法”而輕“算理”，學(xué)生知其然而不知其所以然。而培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，可以促進學(xué)生對算法的理解。

例如，在學(xué)習(xí)“小數(shù)乘整數(shù)”時，出現(xiàn)例題，“一個風(fēng)箏3.5元，買3個風(fēng)箏需要多少錢？”當(dāng)學(xué)生列出算式“3.5×3”時，可以讓學(xué)生主動探索如何計算出結(jié)果。部分學(xué)生想到乘法的意義，把“3.5×3”表示成“3.5+3.5+3.5”，運用小數(shù)加法計算來解決;也有部分學(xué)生想到把3.5元換算成35角，轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計算，最后再將單位換算成“元”，同時通過這種方法還能引出小數(shù)乘法的計算方法，讓學(xué)生進一步從意義上來理解，而不是只知算法，不知算理。無論哪種方法，學(xué)生都是把新知識轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的知識，逐步感知到了轉(zhuǎn)化的思想方法。

2.讓“背公式”變成“促思維”

在探索圖形計算公式時，如果只是簡單地讓學(xué)生記憶公式，而忽略了這個公式是如何來的，那么當(dāng)這個公式一段時間不用時，學(xué)生常常會遺忘。這就需要教師在設(shè)計教學(xué)時，讓學(xué)生主動探索公式的推導(dǎo)過程，從而培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，促進學(xué)生思維的發(fā)展。

例如，在教學(xué)“圓的面積”時，如果簡單地讓學(xué)生記憶“圓的面積=πr2”，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只停留在了記憶的層面，思維得不到發(fā)展。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平行四邊形、三角形、梯形面積推導(dǎo)的經(jīng)驗，把圓的面積轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形面積進行推導(dǎo)。雖然圓是由曲線圍成的圖形，和前面直線圍成的圖形有一定的區(qū)別，但是通過剪拼我們還是能把它轉(zhuǎn)化成近似的已經(jīng)學(xué)過的圖形，通過分成8份、16份后拼一拼，讓學(xué)生慢慢感知“越來越接近平行四邊形”的感覺，同時滲透“化曲為直”和“數(shù)學(xué)的極限思想”，就能理解圓的面積求法了。這個教學(xué)例子也充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是其他數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)。

（二）轉(zhuǎn)化是解決問題的重要方法

1.化繁為簡，活轉(zhuǎn)化

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說過：“當(dāng)原問題看來不可解時，你不要忘記人類的高明之處，就在于迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某些適當(dāng)?shù)妮o助問題?！睆?fù)雜運算往往都是由幾個簡單的運算疊加而成的，利用轉(zhuǎn)化方法就可以實現(xiàn)復(fù)雜運算的分解。學(xué)生如果掌握了轉(zhuǎn)化思想，就能提高自身思維的敏捷性和靈活性，為今后的學(xué)習(xí)生活打下堅實的基礎(chǔ)。

在簡便運算的教學(xué)中，有些人覺得計算就是一種技能，沒有什么數(shù)學(xué)思想可言，其實不然，簡便運算既能讓學(xué)生掌握計算的技能、技巧，又能訓(xùn)練學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，使學(xué)生的計算能力有質(zhì)的飛越。例如，在計算“25×36”時，如果不思考就動筆，第一反應(yīng)就是列豎式計算，而且每個學(xué)生都有這樣的基礎(chǔ)，但是愛思考的學(xué)生會找到解題竅門，避免紛繁復(fù)雜的筆算。通過一題多解的方法，靈活運用簡便運算的方法進行轉(zhuǎn)化，只要把算式進行如下轉(zhuǎn)化，就能口算出計算的結(jié)果。

2.化數(shù)為形，巧轉(zhuǎn)化

借助于圖形的性質(zhì)將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，可以給人以“直觀感”。

例如，在解決“一個正方形花壇，如果把花壇的邊長增加6分米，面積就增加156平方分米，求原來花壇的面積”這道實際問題時，如果用代數(shù)的思想，就是要“設(shè)原來正方形的邊長為x”，列出方程（x+6）2-x2=156。這個方程在小學(xué)階段的學(xué)生還不太會解，所以我們就想到把題目轉(zhuǎn)化為圖形來解決，見圖3：發(fā)現(xiàn)邊長增加6分米，面積增加的是2塊淺色部分和1塊深色部分的總和，我們可以先求出深色這一塊的面積是6×6=36（平方分米），那么面積增加的156平方分米減去深色部分就是兩塊淺色部分，而這兩塊淺色部分的面積是一樣的，因為長和寬相同，所以（156-36）÷2=60（平方分米）就是一塊淺色部分的面積，因為淺色部分的寬就是6，所以長就是60÷6=10（分米），也就是原來正方形的邊長，然后用10×10=100（平方分米）就是原來正方形的面積了。從此題可以看出：我們把一道較復(fù)雜的實際問題巧妙地轉(zhuǎn)化為圖形之后，更加直觀，也能幫助學(xué)生更容易地理解這個問題，問題的解決也就簡單多了。

3.化抽象為具體，善轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)的特點之一就是它具有很強的抽象性，把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較具體易操作或較直觀的問題，那么不但問題容易解決，而且經(jīng)過不斷的“抽象—具體—抽象”的訓(xùn)練，學(xué)生的抽象思維能力也會逐步提高。

如“男女生的比為5： 4，則男生比女生多（? ?）%，女生比男生少（? ?）%”，平時我們在解決這類百分數(shù)問題的時候，需要有具體的數(shù)量，可是這里沒有，很多學(xué)生就困惑了，而這道題的突破口就是把5∶4看成具體的數(shù)量，只要符合5∶4的要求都可以，比如看成男生5人，女生4人，或者看成男生10人，女生8人。小學(xué)階段很多知識都是不完全證明，其中舉例是一種非常常用的方法，把抽象的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的人數(shù)來解答，學(xué)生就自然而然能夠解決了。

四、對轉(zhuǎn)化思想的幾點思考

以上實例說明轉(zhuǎn)化思想貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。教師要讓轉(zhuǎn)化策略在教學(xué)過程中呈現(xiàn)，要做到以下幾點：

（1）讓學(xué)生養(yǎng)成預(yù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，精心設(shè)計預(yù)習(xí)作業(yè)單，引導(dǎo)學(xué)生主動探索如何用已經(jīng)學(xué)過的方法來解決新的問題。

（2）設(shè)計探索環(huán)節(jié)，學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)自己存在困難時，才會主動去探索方法，從而逐步滲透轉(zhuǎn)化思想。只有彰顯數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，才能讓學(xué)生在知識的獲取過程中去經(jīng)歷，通過獨立思考和小組互助不斷地去體驗。

（3）在設(shè)計練習(xí)時要注重設(shè)計關(guān)于思想方法的遷移轉(zhuǎn)化類的題型。

現(xiàn)代認知派心理學(xué)家布魯納認為，掌握學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)、基本原理和概念，是通向適當(dāng)“訓(xùn)練遷移”的大道。其實轉(zhuǎn)化正是一種遷移的能力，轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)可以讓學(xué)生在日常生活中更具有遷移的能力。

認知同化學(xué)習(xí)理論中提出：“運用是把已知命題直接轉(zhuǎn)換到類似的新情境中去，有點類似于我們通常所講的‘練習(xí)’。問題解決是指學(xué)生無法把已知命題直接轉(zhuǎn)換到新情境中去，學(xué)生必須通過一些策略，使一系列轉(zhuǎn)換前后有序。學(xué)生已有的知識可能是與問題解決辦法有關(guān)的，但需經(jīng)過多次轉(zhuǎn)換，而非直接運用或練習(xí)所能解決的。”這充分說明了轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義，也就是很多學(xué)生遇到“新題”就困惑的原因。

知識點的轉(zhuǎn)化可以溝通知識之間的聯(lián)系，能有效促進學(xué)生相關(guān)知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，對于如何更好地滲透轉(zhuǎn)化思想，使其串聯(lián)起小學(xué)教學(xué)的全過程，還需要不斷的思考和實踐，這也需要更多的教育教學(xué)理論的支持，從而更加深入地研究問題，加深研究問題的深度和廣度。

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注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高效教學(xué)的校本實踐研究”（編號：B-a/2015/02/045）的研究成果。