基于Matlab 的馬科維茨投資組合理論的實證研究

夏 雪

一、前言

馬科維茨投資組合模型，是投資學(xué)中一種重要的科學(xué)理論模型。它通過對所有資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)進行分析，在保證風(fēng)險水平不變的同時獲取最高的收益，為投資人提出了具有科學(xué)依據(jù)的量化資產(chǎn)配置的方案。本文以馬科維茨模型為理論基石，借助Matlab 的Portfolio 金融工具箱，選取匯添富上證綜合指數(shù)基金中具有市場代表性價值的4 支股票展開案例分析，采用2017 年1 月1 日—2021 年8 月1 日的日頻收盤價數(shù)據(jù)，構(gòu)建均值—方差模型和投資組合有效邊界模型，計算出夏普比率最大的股票投資組合，實證檢驗馬科維茨模型在股票投資中的作用。

二、相關(guān)理論分析

（一）馬科維茨模型的基本原理

1952 年，Markowith 首次提出利用均值—方差模型量化計算投資者的資產(chǎn)組合問題。該模型利用概率論的基本思想，假定所有資產(chǎn)的收益呈正態(tài)分布，用資產(chǎn)收益的歷史均值衡量投資回報率，用資產(chǎn)收益的歷史方差衡量投資風(fēng)險[1]。這樣資產(chǎn)選擇問題就被轉(zhuǎn)化為能定量測算的二次投資規(guī)劃問題。這就是馬科維茨投資組合理論的基本原理。

股票收益的協(xié)方差代表股票收益情況的相關(guān)程度。協(xié)方差為0 時，說明幾支股票的收益不相關(guān)。協(xié)方差為正時，說明幾支股票收益呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，協(xié)方差越大，正相關(guān)性越強，一賠俱賠，不利于分散投資風(fēng)險；協(xié)方差為負時，說明幾支股票收益呈負相關(guān)關(guān)系，有利于分散投資風(fēng)險。

我們希望在投資組合中看到有賠有贏的情況，盡量避免一賠俱賠。因此選擇股票時應(yīng)盡量選擇相關(guān)度低的股票[4]。

（二）馬科維茨模型的假設(shè)條件

（1）證券市場是有效的，即證券價格能即時準確地反應(yīng)市場信息，所有交易者獲得的投資信息沒有差異性；

（2）市場上沒有交易成本和稅收，每個投資者都可以自由進出市場不受限制；

（3）投資者是理性的。所有投資人都是風(fēng)險回避者；

（4）投資人只根據(jù)投資組合的收益率和風(fēng)險做判斷，投資者了解不同資產(chǎn)的收益情況；

（5）所有資產(chǎn)的收益率都是不確定的，不同資產(chǎn)的收益之間具有相關(guān)性。

（三）馬科維茨模型的建立

基于上述假設(shè)條件，馬科維茨建立了計算有效投資組合的均值—方差模型。

模型如下：

限制條件：

其中，rp為股票組合的收益，ri、rj分別是第i、j 支股票的收益率，xi、xj為股票i、j 的投資權(quán)重，σ2（rp）為組合的投資方差（表示該投資組合的投資風(fēng)險），Cov（ri，rj）是兩支股票之間的協(xié)方差。

上式的理論意義是，當(dāng)設(shè)定好投資組合的預(yù)期收益率后，可以使用上式算出風(fēng)險最小化的投資組合。不同的期望收益率對應(yīng)不同的投資組合和不同的最小方差，這就形成了預(yù)期收益率最大和風(fēng)險最小的投資組合。

（四）夏普比率

夏普比率是Sharp 在馬科維茨模型的理論基礎(chǔ)上發(fā)展出來的，是衡量投資組合有效性的重要指標。它衡量的是投資者每多承擔(dān)一單位的風(fēng)險，可以獲得的超額投資收益率[2]。夏普比率的計算公式如下：

E（Rp）代表投資組合的預(yù)期收益率，Rf代表無風(fēng)險資產(chǎn)的投資收益率，兩者之差代表的是風(fēng)險投資的超額收益率。σ 是投資組合的標準差，代表投資組合的風(fēng)險。

夏普比率值越大，表明投資組合單位風(fēng)險上的超額收益越高，更具有投資價值[3]。本文實證部分將使用夏普比率衡量資產(chǎn)投資組合的有效性，用Matlab 找出有效前沿曲線上的最大夏普比率點，作出資產(chǎn)配置線。

三、實證分析

（一）實證假設(shè)

根據(jù)中國股票市場的實際情況以及理論分析的方便，本文實證研究作出以下假設(shè)：

（1）馬科維茨模型的預(yù)設(shè)條件：

資本市場完全有效，投資者的交易成本為0，并可以自由選擇交易的資金份額；投資者完全依據(jù)投資組合的期望收益和標準差作投資決策；投資者是報酬不厭足的，同樣的風(fēng)險下，會選擇期望收益率更高的投資組合；投資者屬于風(fēng)險規(guī)避類型。

（2）賣空約束：依據(jù)中國股票市場的交易機制，假設(shè)不允許賣空。

（3）不考慮轉(zhuǎn)股對報酬率的影響。

（二）樣本選取

本文選取的是匯添富上證綜合指數(shù)基金中具有代表性的4 支股票。貴州茅臺（600519），農(nóng)業(yè)銀行（601288），中國石油（601857），海天味業(yè)（603288）。

本文中用到的資產(chǎn)價格數(shù)據(jù)來源于國泰君安數(shù)據(jù)庫，選取2017 年1 月1 日至2021 年8 月1 日總計1114 個交易日的股票日收盤價。期間中國證券市場既有持續(xù)上升，也有持續(xù)低迷。因此選擇在這一樣本區(qū)間內(nèi)開展實證研究，有很大的典型意義[5]。

（三）基于Matlab 的實證分析

本文將收集的4 支股票的日收盤價作為資產(chǎn)價格，首先利用price2ret 函數(shù)將資產(chǎn)價格轉(zhuǎn)化為資產(chǎn)的投資收益率，得到4 支股票的資產(chǎn)列表。

1.股票期望收益率與協(xié)方差矩陣的獲取。利用Matlab的金融工具箱創(chuàng)建portfolio 對象，利用portfolio 中的工具，得到4 支股票的期望收益率和協(xié)方差矩陣。

4 支股票的相關(guān)系數(shù)矩陣如表1 所示。從表1 中可以看出，每兩支股票間的相關(guān)系數(shù)均小于1，且比較接近0。可以說明4 支股票的相關(guān)性很弱，出現(xiàn)一賠懼賠的幾率較小。因此同時投資這四種股票，可以幫助投資者有效分散風(fēng)險。

表1 相關(guān)系數(shù)矩陣

2.有效前沿曲線的構(gòu)建。將4 支股票的期望收益率和方差設(shè)定到投資組合優(yōu)化問題中，并限制所有資產(chǎn)的比例和為1，對4 支股票進行投資組合優(yōu)化[6]。

橫軸代表股票的風(fēng)險（收益率的標準差），縱軸代表股票的收益（收益率），可視化各項資產(chǎn)的期望收益率和風(fēng)險，即可作出有效前沿曲線，如下圖3 所示，藍色曲線是風(fēng)險資產(chǎn)的有效前沿曲線，曲線上每個點都代表一個有效的投資組合。

3.包含無風(fēng)險資產(chǎn)的有效邊界曲線的構(gòu)建。在現(xiàn)實的投資問題中，為保證一定的收益，投資者往往也會投資無風(fēng)險資產(chǎn)。本文將無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率設(shè)置為0.015，通過連接無風(fēng)險利率資產(chǎn)點和有效邊界曲線上的點，可得到不同的資產(chǎn)配曲線，最優(yōu)的資產(chǎn)配線是無風(fēng)險資產(chǎn)點在有效邊界曲線上的切線，切點為最大夏普比率點。

如圖1 所示，Cash 表示無風(fēng)險資產(chǎn)點；Sharp Ratio表示最大夏普比率點；CAL 是最優(yōu)的資本配置線，表示投資組合和收益率風(fēng)險的線性關(guān)系，它和有效邊界曲線的切點即為最大夏普比率點。

圖1 無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)組合的資本配置線

4.根據(jù)目標收益率和風(fēng)險構(gòu)建。投資組合作出無風(fēng)險資產(chǎn)和有風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合的有效邊界曲線，如圖2所示。并計算出有效邊界曲線的收益率區(qū)間和風(fēng)險區(qū)間。

圖2 無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)投資組合的有效邊界曲線

最終得到投資組合的收益率區(qū)間為[0.1113，0.5290]，風(fēng)險區(qū)間為[0.2685，0.6176]。設(shè)定目標收益率 TargetRet=0.25 時，需要承擔(dān)的風(fēng)險值為0.2985，得到4 支股票的分配比例為貴州茅臺（0.3233），農(nóng)業(yè)銀行（0.2678），中國石油（0.1564），海天味業(yè)（0.2526）。

設(shè)定目標收益率 TargetRet=0.40 時，需要承擔(dān)的風(fēng)險值為0.3818，得到4 支股票的分配比例為貴州茅臺（0.4692），農(nóng)業(yè)銀行（0.1796），中國石油（0.0000），海天味業(yè)（0.3512）。

四、實證結(jié)論

（一）結(jié)果分析

MATLAB 的金融工具箱（Financial Toolbox）提供的Portfolio 工具支持馬科維茨投資組合理論的均值-方差分析方法和投資組合有效邊界模型，根據(jù)各個證券的歷史收益數(shù)據(jù)，Matlab 使用很少的代碼量就可以計算出有效的投資組合集合，大大簡化了我們的計算流程。

在上述實證研究中，如果投資者對上述4 支股票進行最優(yōu)化組合，要想將預(yù)期收益率從0.25 提高到0.40，投資者需要承擔(dān)的風(fēng)險會從0.2985 提高到0.3818，此時的最優(yōu)投資組合僅對其中3 支股票做了最優(yōu)化組合，中國石油被分配的投資比例為0。因為該股票的投資收益率是4 支股票中最低的，且遠遠低于農(nóng)業(yè)銀行的投資收益率，但投資風(fēng)險又高于農(nóng)業(yè)銀行。

這種結(jié)論也證實了馬科維茨的資產(chǎn)組合理念：把資金分配到不同類別的資產(chǎn)上，就能夠在實現(xiàn)預(yù)期收益率的同時有效分散資產(chǎn)風(fēng)險，從而幫助投資人實現(xiàn)財富效用最大化。而較小的股票組合在提升投資人預(yù)期收益率的同時，也提高了投資風(fēng)險。而且，馬科維茨組合采取的優(yōu)化方式，排除了那些低收益、高風(fēng)險的股票，有效組合的證券數(shù)目較少，有利于幫投資人把主要精力放在投資比例較大的股票上，減少投資的盲目性。

（二）馬科維茨模型存在的問題

首先是市場有效性問題。馬科維茨模型的假設(shè)之一是市場是有效的，即證券價格能夠充分即時準確地反映市場上各家公司的信息。投資者不需要成本就可以無差異地獲取這些市場信息，并根據(jù)市場信息做出投資決策。隨著大數(shù)據(jù)時代企業(yè)信息披露的增加，我國證券市場的有效性在逐步增強，但仍未達到弱有效[7]。

其次是風(fēng)險測度問題，馬科維茨模型的前提是證券的歷史收益率服從正態(tài)分布，但是越來越多的實證研究都對這一假設(shè)提出了質(zhì)疑。

最后是交易費用問題，馬科維茨模型沒有考慮證券組合投資過程中的交易費用。但在實際情況中存在交易費用，并且會影響投資者隨時調(diào)整投資組合。忽視交易費用的投資組合可能產(chǎn)生非有效的證券組合投資[8]。

引用

[1]Markowitz H.M.Portfolio Selection [J].Journal of Finance.1952(7).

[2]Sharpe,William F.A Simplified Model for Portfolio Analysis [J].Management Science,1963,9(2):277-293.

[3]Sharpe W.Capital Asset Price: A theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk [J].Journal of Finance,1964,19(3):425-442.

[4]張賀清.均值和方差變動的馬科維茨投資組合模型研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2015.

[5]曾穎苗,張珺,張晴.馬科維茨模型在股市最優(yōu)投資組合選擇中的實證研究[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(社會科學(xué)版),2009,3104:88-91.

[6]楊曉春.馬科維茨有效邊界理論的實證分析[J].陜西理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,04:85-89.

[7]吳昆晟.馬科維茨模型在 A 股市場中的應(yīng)用分析[J].新經(jīng)濟,2015,26:50.

[8]王小敏.馬科維茨理論的實際運用[J].時代金融,2013,18:251.