基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離方法研究

焦敬品，崔效印，李海平，蔡 偉

(1.北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部，北京 100124；2.吉林航空維修有限責(zé)任公司，吉林 吉林 132102)

蘭姆波因具有傳播距離遠(yuǎn)、覆蓋范圍廣等優(yōu)勢(shì)，已被廣泛應(yīng)用于板類結(jié)構(gòu)的無損檢測(cè)與健康監(jiān)測(cè)[1-2]。多模態(tài)為蘭姆波的一個(gè)基本特性，該特性對(duì)蘭姆波的檢測(cè)效果有很大的影響。一方面，蘭姆波的多模態(tài)為板結(jié)構(gòu)中不同類型損傷的檢測(cè)提供了多種可選的模態(tài)類型；另一方面，蘭姆波的多模態(tài)特性增加了檢測(cè)信號(hào)的分析和識(shí)別難度，也給蘭姆波檢測(cè)技術(shù)的工程應(yīng)用帶來了很大挑戰(zhàn)。針對(duì)蘭姆波多模態(tài)特性問題，在蘭姆波檢測(cè)中，一方面需要進(jìn)行傳感器結(jié)構(gòu)和檢測(cè)參數(shù)的設(shè)計(jì)，使檢測(cè)中以單一模態(tài)蘭姆波為主[3-4]；另一方面，也需要對(duì)檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行分析處理，利用從中提取出的單一模態(tài)蘭姆波對(duì)結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)進(jìn)行評(píng)價(jià)[5-6]。

針對(duì)蘭姆波檢測(cè)信號(hào)中多模態(tài)波包的分析和識(shí)別問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種蘭姆波信號(hào)分析與處理方法，主要包括：時(shí)頻分析(如維格納分布、短時(shí)傅里葉變換、自回歸滑動(dòng)平均模型和小波變換等)、時(shí)間-空間變換、時(shí)變匹配濾波等[7-8]。例如，Prosser等[9]利用偽維格納分布對(duì)鋁板蘭姆波檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行了分析，識(shí)別出500 kHz以內(nèi)的零階蘭姆波模態(tài)(A0和S0)。基于時(shí)間-空間變換理論，Wilcox等[10-11]利用蘭姆波的頻散特性，實(shí)現(xiàn)了低階蘭姆波模態(tài)的頻散補(bǔ)償。楊素方[12]提出了一種基于頻散匹配濾波技術(shù)的模態(tài)分離方法，通過滑動(dòng)窗從頻散匹配濾波的響應(yīng)中提取各模態(tài)信號(hào)，并將分離出的S0和A0模態(tài)信號(hào)用于超聲陣列成像。

稀疏表示由于具有受樣本數(shù)量和特征量選取的影響較小且對(duì)高維樣本具有好的適應(yīng)性的特點(diǎn)[13]，近年來也被引入到蘭姆波信號(hào)的降噪和模態(tài)分離中。例如，李翔[14]用Chirp信號(hào)構(gòu)造字典，利用信號(hào)在頻域斜率的區(qū)別，重建了不同低階蘭姆波模態(tài)。根據(jù)S0、A0模態(tài)蘭姆波的先驗(yàn)頻散信息，Marchi[15]將信號(hào)的時(shí)頻域作為稀疏域，通過扭曲頻率變換對(duì)兩種模態(tài)蘭姆波的字典原子進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了不同低階蘭姆波模態(tài)的分離。于勇凌等[16]將不同激發(fā)頻率和傳播距離下的實(shí)驗(yàn)和仿真數(shù)據(jù)作為字典原子，使用基于遺傳算法的匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)S0和A0信號(hào)的分離。已有研究表明，稀疏表示方法可用于多模態(tài)蘭姆波的分離，但目前在字典構(gòu)造方法及稀疏分解方法等方面有待于開展更深入的研究。

針對(duì)上述問題，筆者對(duì)蘭姆波稀疏表示中復(fù)合字典的構(gòu)造方法和稀疏求解方法進(jìn)行研究，提出一種基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離方法，并將其應(yīng)用于金屬板結(jié)構(gòu)蘭姆波模態(tài)分離中。

2 基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離方法

利用稀疏表示的方法進(jìn)行蘭姆波模態(tài)分離時(shí)，主要包括字典構(gòu)建和稀疏分解2個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。圖1為基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離方法的流程圖。根據(jù)S0和A0模態(tài)蘭姆波在時(shí)域波形上的差異，獲取單模態(tài)的S0和A0信號(hào)以構(gòu)建S0和A0模態(tài)的單模態(tài)字典，并構(gòu)造復(fù)合字典。將待測(cè)信號(hào)在復(fù)合字典上進(jìn)行稀疏分解，采用帶相干性準(zhǔn)則的最小角回歸算法求解稀疏系數(shù)，從而在多模態(tài)信號(hào)中提取S0、A0單模態(tài)信號(hào)。下面分別對(duì)字典構(gòu)建和稀疏學(xué)習(xí)這兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)介紹。

圖1 基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離流程圖

2.1 字典構(gòu)建

字典是為了對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解而選取的一組基，字典中每個(gè)列向量稱為一個(gè)原子。字典一般分為正交字典和過完備字典，在稀疏表示中，一般采用過完備字典或稱為冗余字典，即字典中原子個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于信號(hào)的維數(shù)。這種字典由于原子個(gè)數(shù)較多，其比正交字典有更好的表示效果。

在板結(jié)構(gòu)蘭姆波檢測(cè)系統(tǒng)中，分別采集不同傳播距離下的蘭姆波檢測(cè)信號(hào)，信號(hào)長度為L，信號(hào)數(shù)量為N。一般情況下，采樣頻率為幾十MHz，信號(hào)長度L較大，影響計(jì)算速度。因此，需對(duì)檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮。圖2為數(shù)據(jù)壓縮過程的示意圖。圖2中壓縮系數(shù)為k=L/M，即將數(shù)據(jù)量由L×N壓縮至M×N。壓縮后的數(shù)據(jù)中應(yīng)包含S0模態(tài)和A0模態(tài)的波包，如圖2中虛框所示。

圖2 數(shù)據(jù)壓縮示意圖

根據(jù)波包的到達(dá)時(shí)間，用加窗的方式分別提取信號(hào)中的S0模態(tài)和A0模態(tài)，并做歸一化處理，得到圖3和圖4所示的S0模態(tài)和A0模態(tài)原始字典。如圖3和圖4所示，S0和A0模態(tài)波包在時(shí)域波形上存在不同程度的頻散。

從圖3和圖4原始字典的紅色框中可以看出，缺少能夠使整個(gè)采樣點(diǎn)M范圍內(nèi)均有非零值的原子。為此，對(duì)已有原子的非零值(波包)進(jìn)行時(shí)移，將兩原始字典的大小分別擴(kuò)充至M×NS0和M×NA0。其中，NS0和NA0分別表示S0和A0字典的原子個(gè)數(shù)。擴(kuò)充后的字典分別稱之為S0單模態(tài)字典和A0單模態(tài)字典，將兩字典復(fù)合，得到蘭姆波復(fù)合字典Dcom=[D(S0)D(A0)]。

圖3 S0模態(tài)原始字典

圖4 A0模態(tài)原始字典

2.2 稀疏分解

所謂稀疏分解，就是為信號(hào)找一個(gè)過完備字典，使原信號(hào)在這個(gè)字典的表示下，大部分系數(shù)為零(或趨近于零)，而只有少數(shù)元素非零。設(shè)信號(hào)y={yt,0≤t≤L-1}是長度為N的離散時(shí)間信號(hào)，它可看作為L維線性空間的一個(gè)波形。字典D為一系列波形組成的集合，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為D={di,0≤i≤N-1}。其中，原子di是長度為L的離散波形，且具有單位能量；N為字典中原子個(gè)數(shù)。通常情況下，字典是完備的或過完備的，分別對(duì)應(yīng)N=L或N>L。在特殊情況下，原子庫可以是欠完備的，即N

y=Dc+e

(1)

式中:c∈RN×L為稀疏分解系數(shù)(也叫稀疏編碼系數(shù)或激活系數(shù))，其各個(gè)元素表示對(duì)應(yīng)字典原子的權(quán)重；e∈RL×1為稀疏分解誤差。

式(1)所示的稀疏分解模型，可以用圖5來形象表示?？梢钥闯觯∈璺纸庀禂?shù)c的非零值是稀疏的。

圖5 復(fù)合字典稀疏分解示意圖

由于字典D具有冗余性，故在求解式(1)時(shí)系數(shù)c不是唯一確定的。一般通過近似的方法尋找最稀疏的c，從而將稀疏系數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題：

(2)

由于求解l0范數(shù)下約束優(yōu)化問題的數(shù)值計(jì)算具有不穩(wěn)定性，可將l0范數(shù)問題等價(jià)為l1范數(shù)問題的求解：

(3)

使用基于相干性準(zhǔn)則的最小角回歸算法對(duì)式(3)進(jìn)行求解。LARC算法通過改進(jìn)迭代終止條件，有效解決了貪婪算法中稀疏系數(shù)過大而導(dǎo)致的算法不穩(wěn)定問題[8]。圖6為LARC算法流程[8,13]。

圖6 LARC算法流程

(4)

第一次迭代時(shí)的殘差為y。根據(jù)式(5)在字典中尋找與當(dāng)前殘差最相關(guān)的原子。

(5)

式中:i為原子在字典中的序號(hào)。

將選出原子對(duì)應(yīng)的序號(hào)從非活動(dòng)集I移動(dòng)到活動(dòng)集A中。根據(jù)活動(dòng)集A，式(5)的最小二乘解為

(6)

計(jì)算當(dāng)前方向β和步長a：

(7)

(8)

根據(jù)步長，更新稀疏編碼系數(shù)和匹配向量：

(9)

(10)

根據(jù)該算法的迭代終止條件，計(jì)算殘差與當(dāng)前原子相關(guān)性：

(11)

式中:‖·‖2為2范數(shù)

若u大于等于閾值u0，則繼續(xù)進(jìn)入下一次迭代；若u小于閾值u0，則迭代結(jié)束，得到稀疏表示系數(shù)。

將蘭姆波檢測(cè)信號(hào)y在復(fù)合字典Dcom中進(jìn)行稀疏分解，得到其稀疏系數(shù)ccom。

y=Dcomccom

(12)

式中：y的大小為M×1，復(fù)合字典的大小為M×(NS0+NA0)。因此，稀疏分解系數(shù)c的大小為(NS0+NA0)×1。稀疏分解系數(shù)ccom包括兩部分：前NS個(gè)系數(shù)ccom(S0)與S0模態(tài)相關(guān)；后NA個(gè)系數(shù)ccom(A0)與A0模態(tài)相關(guān)。將兩系數(shù)分別與其對(duì)應(yīng)單模態(tài)字典相乘，可得到分離后的S0單模態(tài)信號(hào)SS0=D(S0)ccom(S0)和分離后的A0單模態(tài)信號(hào)SA0=D(A0)ccom(A0)。

3 模態(tài)分離方法在仿真信號(hào)中應(yīng)用

將基于稀疏表示的模態(tài)分離算法應(yīng)用于蘭姆波仿真信號(hào)分析，驗(yàn)證其對(duì)蘭姆波模態(tài)分離的有效性。

3.1 仿真模型及字典構(gòu)造

為獲得單模態(tài)蘭姆波樣本信號(hào)，在PZFlex仿真軟件中建立蘭姆波傳播仿真模型，如圖7所示。模型中鋁板尺寸為1000 mm×1 mm，其上粘貼有直徑10 mm、厚度1 mm的PZT-5H壓電晶片，用于蘭姆波的激勵(lì),壓電晶片中心距板左端面200 mm，激勵(lì)信號(hào)為中心頻率220 kHz的漢寧窗調(diào)制的單音頻信號(hào)。在鋁板表面上設(shè)置接收結(jié)點(diǎn)集，接收結(jié)點(diǎn)集位于距左端300～800 mm范圍內(nèi)，相鄰接收結(jié)點(diǎn)間距為0.2 mm，共有2051個(gè)接收結(jié)點(diǎn)。采樣時(shí)長為0.4 ms，采樣頻率為40 MHz。結(jié)點(diǎn)集接收到數(shù)據(jù)的維度為L×N(L=16000，N=2051)，利用這些數(shù)據(jù)構(gòu)造復(fù)合字典。

圖7 字典獲取所用仿真模型

在壓縮率k=10的情況下，對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，并通過加窗獲得單一模態(tài)的S0和A0原始字典。為保證字典的過完備性，對(duì)已有原子中的波包進(jìn)行時(shí)移以實(shí)現(xiàn)字典的擴(kuò)維。擴(kuò)維后S0模態(tài)字典和A0模態(tài)字典分別為M×NS0和M×NA0。其中M=1600，NS0=7503，NA0=5002。將兩模態(tài)字典相復(fù)合，得到復(fù)合字典Dcom。

3.2 仿真信號(hào)的模態(tài)分離結(jié)果

基于數(shù)值仿真獲得的復(fù)合字典，利用前述的稀疏表示方法對(duì)典型蘭姆波仿真信號(hào)進(jìn)行了分析處理。圖8 給出了對(duì)典型直達(dá)波仿真信號(hào)處理的結(jié)果。其中，接收結(jié)點(diǎn)距離激勵(lì)傳感器中心的距離為340 mm。圖8(a)為原始信號(hào)及模態(tài)分離后信號(hào)的波形，圖8(b)～圖8(d)分別給出了分離前后信號(hào)的時(shí)頻分析結(jié)果。根據(jù)激勵(lì)源與接收結(jié)點(diǎn)的距離及兩種模態(tài)的傳播速度(vS0=5546 m/s、vA0=2350 m/s)計(jì)算出的傳播時(shí)間與兩個(gè)波包的到達(dá)時(shí)間吻合較好，確定兩種模態(tài)波包分離的正確性。同時(shí)，時(shí)頻分布中每個(gè)波包的高亮區(qū)與對(duì)應(yīng)模態(tài)的頻散曲線也吻合得很好。

圖8 僅包含直達(dá)波的簡單仿真信號(hào)模態(tài)分離結(jié)果

在圖7所示模型的基礎(chǔ)上，將板右側(cè)邊界設(shè)置為自由邊界，如圖9所示。將接收結(jié)點(diǎn)設(shè)置在距離激勵(lì)源中心d1=340 mm處。利用所提出的模態(tài)分離方法對(duì)該模型得到的仿真信號(hào)進(jìn)行分析處理，結(jié)果如圖10所示。

圖10(a)為分離前和分離后的時(shí)域波形。在時(shí)域上，原始信號(hào)中A0模態(tài)直達(dá)波的尾部與S0模態(tài)邊界回波的頭部有部分重疊。圖9為信號(hào)中各個(gè)波包的傳播路徑示意圖，表1也給出了每個(gè)波包相應(yīng)的傳播距離，其中奇數(shù)、偶數(shù)序號(hào)分別對(duì)應(yīng)接收到的S0、A0模態(tài)波包。

圖9 仿真模型及蘭姆波傳播路徑示意圖

根據(jù)表1中各波包的傳播距離和蘭姆波的群速度，對(duì)照蘭姆波的頻散曲線可以確定各模態(tài)的類型。其中，波包(6)為S0發(fā)生模態(tài)轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的A0波，圖中未能給出其頻散曲線。由圖10(b)～圖10(d)所示的時(shí)頻分析結(jié)果可以看出，接收信號(hào)不僅包括直達(dá)波，而且包括邊界回波以及發(fā)生模態(tài)轉(zhuǎn)換的波。在信號(hào)分離前后的時(shí)頻圖中，每個(gè)波包的高亮區(qū)與兩種模態(tài)的頻散曲線吻合較好。特別需要指出的是，該方法可以將在時(shí)域波形上有明顯重疊的兩種模態(tài)波包分離開來(如波包(2)和波包(3))。由于復(fù)合字典中遠(yuǎn)距離處原子是通過對(duì)近距離下波包進(jìn)行時(shí)移獲得的，忽略了蘭姆波傳播中頻散的影響，這就造成了遠(yuǎn)距離處頻散嚴(yán)重的S0模態(tài)(波包(5))的分離產(chǎn)生較大的誤差，部分波包被誤認(rèn)為A0模態(tài)(如圖10(d)所示)。

圖10 復(fù)雜仿真信號(hào)模態(tài)分離結(jié)果

表1 蘭姆波傳播時(shí)間計(jì)算表

4 模態(tài)分離方法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將基于稀疏表示的模態(tài)分離方法應(yīng)用到蘭姆波實(shí)驗(yàn)檢測(cè)信號(hào)的分析處理中，驗(yàn)證所提出的方法對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)中單模態(tài)蘭姆波的分離效果。

4.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)及字典構(gòu)建

板結(jié)構(gòu)蘭姆波檢測(cè)系統(tǒng)如圖11所示。該系統(tǒng)主要包括任意函數(shù)發(fā)生器、功率放大器、示波器、待測(cè)鋁板試件、激勵(lì)及接收傳感器。待檢測(cè)板結(jié)構(gòu)為1000 mm×1000 mm×1 mm的鋁板，激勵(lì)和接收傳感器為PZT壓電片，其直徑為10 mm、厚度為1 mm。激勵(lì)信號(hào)采用中心頻率220 kHz漢寧窗調(diào)制的5周期單音頻信號(hào)，激勵(lì)電壓峰值為50 V。兩傳感器的初始間距為100 mm，以10 mm步長，逐漸增加兩傳感器間距，以50 MHz采樣率采集15組不同距離下蘭姆波檢測(cè)信號(hào)。

圖11 蘭姆波檢測(cè)系統(tǒng)

在壓縮系數(shù)k=10的情況下，對(duì)采集到的15組時(shí)域信號(hào)進(jìn)行壓縮和濾波。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)兩模態(tài)的波速、激勵(lì)和接收傳感器的間距，確定接收信號(hào)中S0和A0直達(dá)波的位置，通過加窗的方式選擇出單模態(tài)的S0、A0波包，并分別對(duì)單模態(tài)信號(hào)做歸一化處理，結(jié)果如圖12和圖13所示。可以看出，由于兩個(gè)模態(tài)的頻散特性的不同，使得S0和A0模態(tài)的波包形狀有一定差異。將這些信號(hào)作為原始字典，并通過延時(shí)平移對(duì)字典進(jìn)行擴(kuò)維，得到維度為M×N(M=750，N=9051)的S0和A0單模態(tài)字典。將兩單模態(tài)字典復(fù)合，得到復(fù)合字典Dcom=[D(S0)D(A0)]。

圖12 S0模態(tài)原始字典

圖13 A0模態(tài)原始字典

4.2 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的模態(tài)分離結(jié)果

基于實(shí)驗(yàn)信號(hào)獲得的復(fù)合字典，利用前述的稀疏表示方法對(duì)典型蘭姆波實(shí)驗(yàn)檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行分析處理，圖14為典型檢測(cè)信號(hào)的分析結(jié)果。該信號(hào)波形相對(duì)簡單，僅包含直達(dá)波。與仿真信號(hào)的分析過程相似，可以確定第一個(gè)波包為S0模態(tài)，第二個(gè)波包為A0模態(tài)。結(jié)合信號(hào)的時(shí)頻分析結(jié)果可以看出，所提出的稀疏表示方法可以實(shí)現(xiàn)檢測(cè)信號(hào)中S0模態(tài)和A0模態(tài)的分離，分離后的S0信號(hào)單模態(tài)特性較好，而分離后的A0信號(hào)仍殘留著部分S0模態(tài)信號(hào)的波包，分離效果相對(duì)較差。分析認(rèn)為，在檢測(cè)實(shí)驗(yàn)中，與S0模態(tài)相比，A0模態(tài)波包的幅值相對(duì)太小，使分離出的A0波包幅值小于S0模態(tài)殘留噪聲，從而導(dǎo)致A0模態(tài)蘭姆波的分離效果較差。

圖14 僅包含直達(dá)波的檢測(cè)信號(hào)分離結(jié)果

基于以上研究基礎(chǔ)，將模態(tài)分離方法應(yīng)用于更復(fù)雜信號(hào)的模態(tài)分離。圖15為典型波形及分析結(jié)果。該波形是在激勵(lì)傳感器和接收傳感器分別距板邊緣44 mm和19.5 mm情況下的接收信號(hào)?？梢钥闯?，3個(gè)波包分別為S0模態(tài)直達(dá)波、A0模態(tài)直達(dá)波和S0模態(tài)邊界回波。同樣，該方法可以很好分離出單一的S0模態(tài)信號(hào)，但分離的A0模態(tài)信號(hào)中仍包含有部分的S0模態(tài)分量，原因如上所述，不再贅述。

圖15 復(fù)雜蘭姆波檢測(cè)信號(hào)及模態(tài)分離結(jié)果

在對(duì)一系列蘭姆波檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分離基礎(chǔ)上，將該方法應(yīng)用于蘭姆波陣列中，典型結(jié)果如圖16所示。其中，圖16(a)為一組典型波形及分離出的S0模態(tài)波形，圖16(b)為基于分離出的S0模態(tài)進(jìn)行反轉(zhuǎn)差成像[17]的結(jié)果。可以看出，利用分離出的單模態(tài)蘭姆波可以很好地實(shí)現(xiàn)缺陷成像，且成像的信噪比較高。

圖16 模態(tài)分離方法在傳感器陣列成像中的應(yīng)用

5 結(jié)論

針對(duì)導(dǎo)波檢測(cè)信號(hào)中多模態(tài)分量的分析識(shí)別問題，主要進(jìn)行了基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離方法研究。得出以下結(jié)論：

① 提出了一種基于稀疏表示的蘭姆波模態(tài)分離的方法。該方法基于S0和A0模態(tài)蘭姆波在時(shí)域上的波形差異構(gòu)建單模態(tài)字典，采用帶相干性準(zhǔn)則的最小角回歸算法求解稀疏系數(shù)。

② 將稀疏表示的方法應(yīng)用于多模態(tài)蘭姆波信號(hào)分析。結(jié)果表明，所提出的方法可以較好地從多模態(tài)檢測(cè)信號(hào)中提取出單一S0模態(tài)信息，但A0模態(tài)的蘭姆波分離效果較差。