非線性優(yōu)化的航空電源交流畸變系數(shù)算法研究

(1.上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院 民用飛機(jī)模擬飛行國家重點(diǎn)試驗(yàn)室,上海 201210； 2.西安理工大學(xué)，陜西 西安 710048)

航空用單相或三相交流電源是重要的機(jī)載電源，其額定輸出頻率為400 Hz，輸出相電壓為115 V。交流畸變會降低電源供電質(zhì)量，影響用電設(shè)備性能指標(biāo)。因此，國軍標(biāo)(GJB 181B—2012、GJB 5189—2003)[1-2]和航天行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)(QJ 3233—2005)[3]等均提出，需要對航空交流電源的交流電壓畸變系數(shù)進(jìn)行檢測。

國軍標(biāo)GJB 5189—2003[2]對交流電壓畸變系數(shù)檢測方法進(jìn)行了說明，其核心在于計(jì)算求出采樣數(shù)據(jù)和交流電壓基波信號的誤差平方和。但是，國軍標(biāo)GJB 5189—2003[2]并未明確說明交流電壓基波分量的檢測計(jì)算方法。怎樣從交流電壓采樣信號中獲取基波分量，成為交流畸變系數(shù)檢測的主要難點(diǎn)。

交流電壓基波分量包含了幅值、頻率和相位3個(gè)參數(shù)。航空用三相交流電源的電壓幅值約為162 V(115 Vrms)；頻率固定為400 Hz，但實(shí)際頻率通常存在小幅變化；相位則由采樣起始時(shí)間決定?；ǚ至康臋z測在電力系統(tǒng)中具有重要價(jià)值，在電力計(jì)量、配電自動(dòng)化遠(yuǎn)方終端、繼電保護(hù)和故障錄波等電力自動(dòng)化裝置中廣泛應(yīng)用。電力系統(tǒng)中，通常先通過硬件濾波消除或抑制高次諧波，獲得交流基波分量，之后采用硬件或軟件方法檢測幅值、頻率和相位。硬件濾波通常采用無源或有源低通濾波器，例如，楊菊[4]提出了一種基于自適應(yīng)陷波器、瞬時(shí)對稱分量算法和滯環(huán)電流控制方式的飛機(jī)交流電源有源濾波器，通過硬件補(bǔ)償諧波方式獲得交流信號基波分量。針對基波分量檢測幅值頻率和相位，常用的方式包括硬件法和軟件方法。硬件方法通過過零比較器、方波形成電路和計(jì)數(shù)器等，利用周期或頻率測量法實(shí)現(xiàn)測頻[4-5]，或通過鎖相倍頻電路在線跟蹤系統(tǒng)頻率[6-7]；軟件方法則通過傅里葉變換法[8-11]或數(shù)字濾波器[12-13]測量頻率，或在頻率已知條件下測量幅值和相位[14]。

由于本系統(tǒng)旨在檢測電壓信號交流畸變，因此無法使用對原始信號硬件濾波后求解基波分量的方案。采用鎖相環(huán)或傅里葉變換方法等，通常只能對幅值頻率相位中的一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行檢測，其他參數(shù)則需要固定。實(shí)際航空電源檢測中，幅值、頻率和相位均受到交流畸變影響，需要同時(shí)加以檢測。為此，研究并提出一種基于非線性優(yōu)化的基波分量擬合計(jì)算方法，用于從交流電壓采樣信號中準(zhǔn)確提取基波分量，從而實(shí)現(xiàn)交流畸變系數(shù)的準(zhǔn)確檢測。

首先將交流基波分量的計(jì)算，轉(zhuǎn)換為一個(gè)同時(shí)包含頻率、相位和幅值的非線性優(yōu)化問題。該問題旨在通過非線性擬合方法，從原始采樣數(shù)據(jù)中擬合出交流基波分量。之后，基于多維單純形下降法(Nelder-Mead method)[15-16]，構(gòu)造數(shù)值優(yōu)化求解算法，同步優(yōu)化頻率、相位和幅值，使交流基波分量與采樣數(shù)據(jù)的誤差平方和最小，從而擬合出接近真值的交流基波分量。在此基礎(chǔ)上計(jì)算交流畸變系數(shù)。通過數(shù)值試驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的有效性。最后，將該算法應(yīng)用于某最新研制的大功率航空電源檢測系統(tǒng)中，獲得了良好的檢測效果。

所設(shè)計(jì)算法無需對采樣信號事先進(jìn)行濾波提取基波，也無需假設(shè)頻率已知等預(yù)設(shè)條件，因而能夠在不增加硬件復(fù)雜程度的基礎(chǔ)上，更為準(zhǔn)確地獲取基波分量，進(jìn)而更為精確地計(jì)算出交流畸變系數(shù)。該方法改進(jìn)了交流基波分量和交流畸變系數(shù)檢測方法，具有理論和實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值。

1 交流畸變系數(shù)檢測原理

根據(jù)國軍標(biāo)GJB 5189—2003[2]要求，交流畸變系數(shù)是交流畸變與電壓基波分量方均根之比，具體檢測方法如下。

首先按照一定采樣頻率(100 kHz以上)對待測交流電源輸出電壓進(jìn)行連續(xù)采樣(采樣值記為ui)，采樣時(shí)間不小于1 s。之后，按照式(1)計(jì)算交流畸變值：

(1)

式中：UJJ為交流畸變電壓，單位為V；Tw為小于并最接近1 s期間整數(shù)個(gè)電壓周波所對應(yīng)的時(shí)間，單位為s；Δt為采樣周期，單位為s；uJJi為采樣時(shí)刻交流畸變電壓瞬時(shí)值，單位為V，計(jì)算方式如下：

uJJi=ui-u1i

(2)

式中：ui為被測交流電源在采樣時(shí)刻的輸出電壓瞬時(shí)值，單位為V；u1i為被測交流電源在采樣時(shí)刻的輸出電壓基波分量瞬時(shí)值，單位為V。

由交流畸變電壓計(jì)算交流畸變系數(shù)：

(3)

式中：KJJ為交流畸變系數(shù)；U1為基波分量方均根值(即有效值)，單位為V。

盡管國標(biāo)GJB 5189—2003[2]說明了交流畸變系數(shù)檢測的方法，但并沒有具體說明式(1)和式(2)中交流基波分量的計(jì)算方法。怎樣從交流電壓采樣信號中獲取基波分量，成為交流畸變系數(shù)檢測的主要難點(diǎn)。

2 交流基波分量擬合問題

交流畸變檢測系統(tǒng)中，通常采用高速ADC對被測交流信號進(jìn)行高速采樣，其采樣率通常在交流信號固有頻率10倍以上。假設(shè)按照固定采樣率，在一定時(shí)間內(nèi)對待測交流信號進(jìn)行采樣，采樣電壓信號記作ui，共獲得n個(gè)采樣值，采樣周期為Δt。定義第i個(gè)采樣時(shí)刻，交流基波分量信號真實(shí)值為

u1i(A,f,θ)=Asin(2πfiΔt+θ)

(4)

式中：A為交流基波分量信號幅值;f為交流基波分量頻率;θ為交流基波分量信號相位。

交流采樣信號與交流基波信號之間存在誤差，該誤差一方面由采樣時(shí)的噪音產(chǎn)生，另一方面由交流畸變產(chǎn)生。定義誤差函數(shù)如式(5)所示:

(5)

正常情況下，畸變電壓僅占電源輸出電壓的一小部分，基波分量應(yīng)當(dāng)接近于原始采樣波形。因此，如果能夠找出一組使得E最小化的參數(shù)(f,A,θ)，該組參數(shù)所對應(yīng)的正弦波應(yīng)當(dāng)最接近于真實(shí)基波分量?；谶@一思想，可以將從采樣數(shù)據(jù)中提取交流基波分量的問題轉(zhuǎn)換為式(6)所示的非線性連續(xù)優(yōu)化問題：

(6)

3 求解交流基波分量及交流畸變系數(shù)

式(6)所示問題可以采取多種非線性連續(xù)優(yōu)化算法加以求解?；谔荻刃畔⒌膬?yōu)化方法較為常用，如梯度下降法、擬牛頓法[15]等。這類方法通常優(yōu)化效率較高，但是需要在計(jì)算中對誤差函數(shù)求梯度場，計(jì)算相對煩瑣。由于畸變系數(shù)檢測對計(jì)算效率沒有要求，因此采取運(yùn)算速度相對較慢，但計(jì)算精度和魯棒性較高的多維單純形下降法[15-16]求解。

多維單純形下降法是一種不依賴于梯度信息的非線性優(yōu)化算法，其基本思路是在N維空間中，構(gòu)造一個(gè)非退化的初始單純形，然后通過一系列的幾何操作，如反射、擴(kuò)展、收縮等，逐步往極值點(diǎn)移動(dòng)該單純形，從而最終找到極值點(diǎn)。以下簡要說明基于多維單純形下降法求解式(6)所示問題的過程。

首先需要計(jì)算基波分量幅值、頻率和相位的初始值(f0,A0,θ0)，以便從初始值出發(fā)，構(gòu)造初始單純形。盡管從理論來說，從任意一個(gè)初始解出發(fā)，都應(yīng)當(dāng)能夠收斂到最優(yōu)解，但如果初始解接近于最優(yōu)解，則能夠大幅降低迭代計(jì)算時(shí)間。

初始解的頻率采用被測電源的額定輸出頻率，或者按照式(7)計(jì)算：

(7)

式中：m為采樣數(shù)據(jù)中的過零點(diǎn)數(shù)量。

初始解的幅值為

(8)

初始解的相位則由采樣點(diǎn)中第1個(gè)正向過零點(diǎn)計(jì)算：

θ0=2πf0i0Δt

(9)

式中：i0為采樣信號中第1個(gè)正向過零點(diǎn)的序號。

獲得基波分量初始解后，構(gòu)造初始單純形。由于式(6)中包含3個(gè)待優(yōu)化變量，因此初始單純形包含4個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)多面體。每個(gè)端點(diǎn)均為一個(gè)解，分別為x1=(f0,A0,θ0)，x2=(1.1f0,A0,θ0)，x3=(f0,1.1A0,θ0),x4=(f0,A0,θ0+0.1π)。由初始單純形出發(fā)，依據(jù)下面的算法計(jì)算交流基波分量。

算法:基于單純形計(jì)算交流基波分量。

① 將x1、x2、x3、x4代入式(5)，計(jì)算相應(yīng)的誤差值E(x1)、E(x2)、E(x3)、E(x4)。對解重新排序，使得E(x1)≤E(x2)≤E(x3)≤E(x4)。

② 計(jì)算最差解x4以外其余各點(diǎn)的中心點(diǎn)：

(10)

計(jì)算x4相對于的對稱點(diǎn)：

(11)

式中：t為實(shí)數(shù)。

③ 令t=1，基于式(11)計(jì)算對稱點(diǎn),以及誤差，考慮以下情況：

④ 令x2、x3、x4朝向x1收縮，即：

(12)

如圖1(e)所示，進(jìn)入步驟⑤。

⑤ 如果|E(x4)-E(x1)|<(其中為計(jì)算精度閾值)，則停止迭代計(jì)算，將x1中的頻率f、幅值A(chǔ)和相位θ作為式(6)優(yōu)化問題的解，記做(f*,A*,θ*)；否則，重復(fù)步驟①。

基于上面的算法完成對交流基波分量的計(jì)算后，將計(jì)算所得(f*,A*,θ*)代入式(4)，即可獲得每個(gè)采樣時(shí)刻交流基波分量電壓值u1i。將交流基波分量代入式(1)～式(3)，即可計(jì)算出交流畸變和畸變系數(shù)。

4 算法測試

采用數(shù)值仿真對論文所設(shè)計(jì)交流基波分量計(jì)算算法加以測試。生成一條交流電壓曲線，頻率f=400 Hz，電壓Vrms=115 V，初始相位θ在測試中采取不同值。采樣頻率為fs=200 kHz，連續(xù)采樣1 s。在每個(gè)采樣點(diǎn)上，隨機(jī)疊加一定的白噪音，噪音幅值范圍為[-e,e]，在測試中選擇不同幅值。使用論文所設(shè)計(jì)算法從包含噪音的電壓曲線中計(jì)算出基波分量，進(jìn)而計(jì)算出交流畸變系數(shù)，并與準(zhǔn)確的交流畸變系數(shù)加以對比，按照式(13)計(jì)算誤差:

式中：KJJ為計(jì)算所得交流畸變系數(shù);為實(shí)際交流畸變系數(shù)。

由于每次疊加噪音均為隨機(jī)產(chǎn)生，為了準(zhǔn)確評價(jià)算法準(zhǔn)確性，在不同噪音范圍和初始相位條件下對算法進(jìn)行20次重復(fù)檢測，并將平均計(jì)算誤差和最大計(jì)算誤差顯示在表1中(在所有測試中，最小計(jì)算誤差均小于0.01%，因此不在表1中予以顯示)。可以看出，采用本方法計(jì)算所得交流畸變系數(shù)與實(shí)際值高度一致，滿足交流畸變檢測要求。

5 算法應(yīng)用

筆者為某單位設(shè)計(jì)制造了一套航空電源檢測系統(tǒng)，用于對航空交流、直流電源進(jìn)行檢測與校準(zhǔn)，如圖2所示。

該系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示，外部工頻電源經(jīng)調(diào)壓變壓器變壓后，向被測機(jī)載電源供電(為檢測被測電源的電源特性，輸入電壓需要在一定范圍內(nèi)由調(diào)壓變壓器改變，實(shí)際電壓值由電壓表V1檢測)。被測機(jī)載電源輸出至電子負(fù)載，由電子負(fù)載提供必要的交流負(fù)載。被測電源的輸出電壓、電流通過功率分析儀進(jìn)行高速采樣。本系統(tǒng)采用致遠(yuǎn)電子PA-6000H型功率分析儀，用于對交流電源輸出電壓、電流進(jìn)行高速采樣，采樣速率為200 kHz，采樣分辨率為16位。功率分析儀內(nèi)置計(jì)算模塊可滿足常規(guī)檢測項(xiàng)目需求，可進(jìn)行電源穩(wěn)態(tài)電壓、電流、頻率等的檢測，但缺乏交流畸變系數(shù)檢測功能。因此，功率分析儀通過以太網(wǎng)將采樣數(shù)據(jù)上傳至上位計(jì)算機(jī)，由計(jì)算機(jī)基于論文所設(shè)計(jì)算法，對電壓波形數(shù)據(jù)計(jì)算交流畸變系數(shù)。

圖4顯示了功率分析儀對某電源進(jìn)行采樣獲得的原始電壓波形(連續(xù)采樣1 s，圖中僅顯示起始兩個(gè)周期內(nèi)的電壓波形，紅色曲線)。通過第3節(jié)的算法，從采樣數(shù)據(jù)中獲得交流基波分量，同時(shí)顯示在圖4中(綠色曲線)。交流電源額定輸出頻率400 Hz，額定有效值115 V。試驗(yàn)中，電源輸出實(shí)測有效值為114.68 V。由采樣信號提取出交流基波分量頻率為400.001 Hz，有效值為114.61 V。由圖4可以看出，計(jì)算所得交流基波分量與原始電壓波形高度接近，同時(shí)準(zhǔn)確反映了實(shí)測電壓波形中的畸變部分。將基波分量代入式(1)～式(4)，計(jì)算得到交流畸變系數(shù)為0.037，該被測電源滿足國軍標(biāo)GJB181B—2012[1]對于交流畸變系數(shù)的要求。

6 結(jié)束語

交流畸變系數(shù)是航空電源性能指標(biāo)中的重要項(xiàng)目之一，筆者對該系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行了研究，提出了一種基于非線性優(yōu)化方法，從原始采樣波形中提取基波分量，進(jìn)而計(jì)算交流畸變和畸變系數(shù)的方法。該方法已在某大功率電源檢測系統(tǒng)中得到應(yīng)用，取得良好的檢測效果。