經(jīng)歷問題解決過程是學(xué)生建構(gòu)算理的關(guān)鍵

張莉?孫曉紅

【摘 要】經(jīng)歷正確的學(xué)習(xí)過程是幫助學(xué)生構(gòu)建正確認(rèn)知的關(guān)鍵。目前的數(shù)學(xué)教學(xué)多數(shù)注重各種外在的學(xué)習(xí)形式，忽略培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)途徑，比如以方法代替道理，在計(jì)算教學(xué)中以所謂的“經(jīng)驗(yàn)”算法代替學(xué)生“算理—算法”的構(gòu)建。本文以“二十以內(nèi)進(jìn)位加法”為例，提出“如何讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)算理，并自主提煉算法程序”的較為科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

【關(guān)鍵詞】經(jīng)歷 問題解決 聯(lián)系 建構(gòu) 算理

目前，“20以內(nèi)進(jìn)位加法”的教學(xué)呈現(xiàn)兩種情況：一是講授計(jì)算方法。教師講解算十、拆數(shù)、湊十、求和的過程，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)湊十方法的掌握。二是將“湊十法”的過程具象化。教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生在操作過程中體會(huì)“湊十法”的基本過程，通過形象幫助學(xué)生建立“十”的表象，理解“滿十進(jìn)一”的概念。將“湊十法”的過程具象化的教學(xué)方法看似很生動(dòng)，但是學(xué)生依然要經(jīng)歷算十、拆數(shù)、湊十、求和的思考過程，學(xué)習(xí)過程中目標(biāo)不清晰、步驟多、過程不連續(xù)，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來極大的挑戰(zhàn)。

相關(guān)研究顯示，很多學(xué)生在“二十以內(nèi)進(jìn)位加法”的學(xué)習(xí)中無法理解“湊十法”的算理。據(jù)此，很多教師認(rèn)為，“湊十法學(xué)不會(huì)不強(qiáng)求、會(huì)算就行”，甚至是要求學(xué)生生硬記憶。而學(xué)生由于不理解湊十的目的和要解決的問題，只能通過背誦口訣、生硬記憶運(yùn)算規(guī)則等完成計(jì)算任務(wù)，無法從根本上理解算理。因此，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)算理，并自主提煉算法程序，成為改變這種教師難教、學(xué)生難學(xué)現(xiàn)狀的關(guān)鍵。

知識(shí)的獲得來源于對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和解決過程。落實(shí)到計(jì)算教學(xué)，則表現(xiàn)為讓學(xué)生在問題解決過程中聯(lián)系已有知識(shí)去建構(gòu)算理并提煉算法，進(jìn)而將新知識(shí)內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在“20以內(nèi)進(jìn)位加法”的教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將“建構(gòu)20以內(nèi)進(jìn)位加法的計(jì)算方法”作為任務(wù)，以“如何將‘進(jìn)位加法’轉(zhuǎn)化為‘不進(jìn)位加法’”為問題，讓學(xué)生在問題解決過程中經(jīng)歷“進(jìn)位加法”向“不進(jìn)位加法”轉(zhuǎn)化的客觀過程，建立新知識(shí)與已有知識(shí)的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，以理解進(jìn)位加法的算理并掌握算法。依據(jù)該原理和邏輯，本設(shè)計(jì)試圖捋清“20以內(nèi)進(jìn)位加法”教學(xué)過程中學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)路徑，供研究者和實(shí)踐者修正和調(diào)試。

一、將進(jìn)位計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為不進(jìn)位計(jì)算問題

基于問題解決過程的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過明確問題進(jìn)而把握學(xué)習(xí)的目標(biāo)和意義，在方法與結(jié)果的關(guān)系探索中理解知識(shí)的意義，進(jìn)而真正理解知識(shí)的本質(zhì)。這要求在教學(xué)中，首先要幫助學(xué)生明確問題，從而為學(xué)習(xí)過程定向。即將“20以內(nèi)進(jìn)位加法”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的“10加幾”的不進(jìn)位計(jì)算，以明確20以內(nèi)進(jìn)位加法算理建構(gòu)所要解決的根本問題。這樣的設(shè)計(jì)依據(jù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性發(fā)展規(guī)律，揭示20以內(nèi)進(jìn)位加法的學(xué)習(xí)過程及其內(nèi)涵的算理，將學(xué)生的算理學(xué)習(xí)落實(shí)到基于問題解決的知識(shí)建構(gòu)與發(fā)展過程中。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，這一定向是通過兩個(gè)過程來實(shí)現(xiàn)的：

一是通過“10加幾”的列式和計(jì)算任務(wù)，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)?！皢栴}提出的成功與否與學(xué)生是否具有相應(yīng)的圖式有關(guān)”，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生明確與新知識(shí)相關(guān)的已有知識(shí)，即學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)的20以內(nèi)不進(jìn)位加法的表達(dá)、計(jì)算。因此，教學(xué)需要設(shè)計(jì)與“10加幾的列式方法和計(jì)算結(jié)果”相關(guān)的學(xué)習(xí)任務(wù)。以蘇教版教材為例，教師可以提問：“圖中的10個(gè)蘋果與1個(gè)蘋果合在一起的算式是什么？結(jié)果是多少？”“圖中的10個(gè)蘋果與2個(gè)蘋果合在一起的算式是什么？結(jié)果是多少？”

二是根據(jù)新舊知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，提出學(xué)習(xí)新知要解決的關(guān)鍵問題。利用已有知識(shí)，讓學(xué)生感知到“10加幾”與“20以內(nèi)進(jìn)位加法”之間的聯(lián)系，從而明確新知識(shí)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵問題。據(jù)此，教師可以根據(jù)需要提問：“9個(gè)蘋果與4個(gè)蘋果合在一起的算式是什么？”“根據(jù)10+1=11和10+2=12，同學(xué)們有辦法算出9+4等于多少嗎？”利用這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，進(jìn)而明確解決20以內(nèi)進(jìn)位加法問題的思考方向。這一過程將新問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠用已有知識(shí)解決的問題，為學(xué)生良好學(xué)習(xí)策略的學(xué)習(xí)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)提供支撐。

為了有效激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，教師需要使用配圖。由于學(xué)齡初期兒童的意識(shí)活動(dòng)過程以感知過程為主，低年段的“算理”也是由感知來實(shí)現(xiàn)的。即學(xué)生的“理”是通過活動(dòng)感知的，從“感”中“悟”出“理”來。因此，進(jìn)位加法算理的建構(gòu)需要具體事物的支撐。同時(shí)，為了和后續(xù)進(jìn)位加法算理建立一貫的聯(lián)系，問題提出階段需要使用與后續(xù)學(xué)習(xí)類似的配圖，便于學(xué)生感知到知識(shí)之間的聯(lián)系，以有效遷移。在有效使用配圖的基礎(chǔ)上，教師需要提問并列寫“10加幾”的算式和結(jié)果，讓學(xué)生感知到“10 加幾”的列式方法與計(jì)算方法的聯(lián)系。

二、利用不進(jìn)位計(jì)算理解進(jìn)位計(jì)算算理

利用不進(jìn)位計(jì)算理解進(jìn)位計(jì)算算理是解決問題的方法，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)“知識(shí)重組、轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變”的方法。這一學(xué)習(xí)過程需要關(guān)注兩個(gè)問題：

一是學(xué)生明確所要探究的具體問題。明確的問題能夠有效地將知識(shí)與思考過程整合，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為一個(gè)連續(xù)的鏈條，并通過建立知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)關(guān)系實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。這樣設(shè)計(jì)能從根本上解決“湊十法”教學(xué)中存在的因?yàn)槿狈γ鞔_的問題指引，而使得算法程序碎片化的問題。在前一階段目標(biāo)定向之下，這里的設(shè)計(jì)要讓學(xué)生對(duì)自己提問：“如何將進(jìn)位加法變成‘10加幾’？”這樣把任務(wù)明確為只要“把9+4變成10加幾，就能算出得數(shù)是十幾”。即“怎么才能把9個(gè)蘋果加上4個(gè)蘋果（9+4），變成10個(gè)蘋果加上幾個(gè)蘋果呢（10加幾）？”有了明確的問題和任務(wù)，學(xué)生就有了學(xué)習(xí)新事物的內(nèi)動(dòng)力，也有了思考的方向。

二是在問題解決過程中理解算理。在問題解決中，學(xué)習(xí)就是在經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，就是“在我們對(duì)事物有所作為和我們所承受的結(jié)果之間建立前前后后的聯(lián)結(jié)。而行動(dòng)就變成一次尋找世界真相的實(shí)驗(yàn);而承受的結(jié)果就變成了教訓(xùn)——發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)結(jié)”。也就是學(xué)生對(duì)知識(shí)意義的理解要落實(shí)到知識(shí)產(chǎn)生的背景和過程之中，只有這樣，個(gè)體才能對(duì)知識(shí)的意義和合理性做出判斷。在解決“如何把9+4變成10加幾”這一問題中，學(xué)生的學(xué)習(xí)分為兩個(gè)階段：

其一，通過數(shù)到十，再數(shù)剩下的，理解進(jìn)位的算理。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生根據(jù)主題圖，先用9個(gè)蘋果加上1個(gè)蘋果，變成10個(gè)蘋果。即利用10以內(nèi)加法的計(jì)算能力首先把9變成10。之后，再解決“4個(gè)蘋果中有一個(gè)蘋果加到9個(gè)蘋果里面，還剩幾個(gè)蘋果”的問題。學(xué)生進(jìn)而利用數(shù)蘋果的過程和10以內(nèi)減法的計(jì)算能力得出結(jié)果。

其二，學(xué)生回顧與總結(jié)算理。為了理解算理，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理和回顧算理形成的過程。在這一過程中，教師可以提問：“同學(xué)們現(xiàn)在能算出9個(gè)蘋果加上4個(gè)蘋果是多少個(gè)蘋果了嗎（9+4=？）？”學(xué)生回顧思考過程，提出可以將9+4變成10+3，并列寫“9+4=10+3”“10+3=13”的算式。經(jīng)歷這樣明確的思考過程，學(xué)生就能夠切實(shí)理解20以內(nèi)進(jìn)位加法“先數(shù)到十，再數(shù)剩下的”這一算理，并利用不進(jìn)位加法的計(jì)算能力得到計(jì)算結(jié)果。

三、掌握進(jìn)位計(jì)算算理并總結(jié)算法

本階段在理解算理的基礎(chǔ)上，將算理凝練成算法。操作過程中要注意兩個(gè)方面的問題：一是重復(fù)算理過程以掌握算法。教師引導(dǎo)學(xué)生基于算理過程總結(jié)算法，需要重復(fù)算理建構(gòu)所經(jīng)歷的步驟，即根據(jù)情境列寫“9加幾”的算式，從數(shù)到十理解先算十，再數(shù)剩下的形成“10加幾”的新算式，從而掌握“先算十再加和”的算法。這個(gè)過程需要將理解算理時(shí)所用到的具象和數(shù)進(jìn)行替換，以加深學(xué)生對(duì)算法本質(zhì)的掌握。由于這個(gè)過程是逐步用符號(hào)表達(dá)具象的過程，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會(huì)存在運(yùn)用不熟練、理解不徹底等現(xiàn)象。教師要注重具象經(jīng)驗(yàn)的配合，給予學(xué)生更多的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，不斷加深理解，強(qiáng)化學(xué)生用算式表達(dá)計(jì)算的過程，進(jìn)而真正掌握計(jì)算方法。

二是通過感知過程解決邏輯推理難題。在學(xué)習(xí)20以內(nèi)進(jìn)位加法之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了分或合的知識(shí)，但缺乏將分與合結(jié)合進(jìn)行先分后合的計(jì)算能力，因此難以抽象地理解算法各個(gè)步驟之間的關(guān)系。同時(shí)，將拆分后的數(shù)統(tǒng)計(jì)起來，需要運(yùn)用加法交換律與加法結(jié)合律，而此部分知識(shí)學(xué)生尚未學(xué)習(xí)。因此，“9+4=10+3，10+3=13，故9+4=13”是一個(gè)無法理解的數(shù)字推理問題。為了明確“20以內(nèi)進(jìn)位加法”與“10+幾”的相等關(guān)系，教師一定要借助具象引導(dǎo)學(xué)生將“9+4”的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為“10+3”的問題，并強(qiáng)調(diào)“9+4”與“10+3”的相等關(guān)系。從而，自然經(jīng)歷將“9+4”變成“10+3”的過程，得到“9+4=10+3”，而“10+3=13”。并在最后將“9+4=10+3”和“10+3=13”放到一起，完成學(xué)生對(duì)算法的感知。

總體上，本設(shè)計(jì)遵從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展原理，強(qiáng)調(diào)新知識(shí)與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，并依托問題解決過程，讓學(xué)生經(jīng)歷新知識(shí)的產(chǎn)生過程，以真正理解知識(shí)的意義。從而，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中利用已有知識(shí)解決新問題，持續(xù)實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和完善。

注：本論文的核心理論來源于“學(xué)習(xí)過程培養(yǎng)課程”。本文是遼寧省教育廳項(xiàng)目科學(xué)研究經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的培養(yǎng)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：WQ2019007）的研究成果。