求數(shù)列前 n 項和的三種思路

林立

求數(shù)列的前 n 項和問題一般要求由數(shù)列的通項公式、遞推式求數(shù)列的前 n 項和，或要求根據(jù)已知的項求數(shù)列的前 n 項和.求數(shù)列的前 n 項和問題側(cè)重于考查等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、前 n 項和公式，但有些數(shù)列求和問題僅靠運用等差、等比數(shù)列的公式、定義很難獲解，此時我們需采用一些手段，如倒序相加、分組求和等來解題.下面舉例說明

一、利用公式法

在求數(shù)列的前 n 項和時，我們經(jīng)常要用到等差數(shù)

例1.已知an是等差數(shù)列，a1=19，公差為-2， Sn 為數(shù)列an的前 n 項和.bn -an是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn .

解：由題意可得：a1=19， d =-2，

所以 an=a1+n -1d =19-2n -1=-2n +21，

且 Sn=19n +?-2=-n2+20n，

因為 bn -an=3n -1，

可得：bn=3n -1+an=3n -1-2n +21，

所以 Tn=Sn+1+3+…+3n -1=-n2+20n + ，

解答本題主要運用了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n 項和公式.在運用等比數(shù)列的前 n 項和公式解題時，若公比 q 為參數(shù)，則要注意對公比 q 進(jìn)行討論，一般需分兩種情況 q ≠1、q =1來討論.

二、倒序相加

若一個數(shù)列中與首項、末項距離相等的兩項之和等于首項、末項兩項之和，則可采用倒序相加的思路來解題.需先將數(shù)列各項的順序倒過來，再將第一項與最后一項相加、第二項與倒數(shù)第二項相加、第三項與倒數(shù)第三項相加……即 a1+an ，a2+an -1， a3+an -2，…，則 Sn=a1+an，所得的結(jié)果即為數(shù)列的前 n 項和.

例2.當(dāng)x1+x2=1時， fx1+fx2= ，求 Sn = f 0+fè（?） ?（?）+fè（?） ?（?）+…+fè（?） ?（?）+f 1n ∈ N.

解：當(dāng)x1+x2=1時，f x1+f x2= ，

則 f x1+f 1-x1= ，立

即 f 0+f 1=，fè（?） ?（?）+fè（?） ?（?）= ， fè（?） ?（?）+fè（?） ?（?）=，....，

Sn=f 0+fè（?） ?（?）+fè（?） ?（?）+…+fè（?） ?（?）+f 1，① Sn=f 1+fè（?） ?（?）+…+fè（?） ?（?）+fè（?） ?（?）+f 0，②

由①②得：2Sn=f 0+f 1+ fè（?） ?（?）+fè（?）+ fè（?） ?（?）+fè（?）+…=n +1f 0+f 1，

可得 Sn=n +1.

我們先將函數(shù)式變形，可得 fx1+f1-x1= ，分析數(shù)列中的各項，可發(fā)現(xiàn)與首項、末項距離相等的兩項之和等于1，于是采用倒序相加的思路來解題.運用倒序相加法求和的關(guān)鍵在于把握與首項、末項距離相等的兩項之間的規(guī)律.

三、分組求和

有些數(shù)列由多個等差數(shù)列或等比數(shù)列構(gòu)成，可運用分組求和法將數(shù)列中的各項進(jìn)行拆分，然后重新組合，使其構(gòu)成幾個簡單的等差、等比數(shù)列，這樣便可直接運用等差、等比數(shù)列的前 n 項公式進(jìn)行求和.在運用分組求和法解題時，要明確數(shù)列中所包含了哪幾個簡單數(shù)列，其通項公式分別是什么.

例3.已知數(shù)列an中， a1=1， an+1= è（?）1+ ?（?）an +.若 bn =，（1）求數(shù)列an的通項公式;（2）求數(shù)

解：（1）略;（2）由1知an=2n - ， 則 Sn= 2k - =2k- ，而2k=nn+1， =4- ，

該數(shù)列由等差數(shù)列2k和等比數(shù)列構(gòu)成，于是采用分組求和法，將數(shù)列拆分成兩個數(shù)列，分別運用等差數(shù)列的前 n 項和公式以及錯位相減法求得數(shù)列的和，最后綜合所得的結(jié)果即可.

求數(shù)列的前 n 項和問題對同學(xué)們邏輯思維和綜合分析能力的要求較高.因此同學(xué)們不僅要掌握扎實的數(shù)列基礎(chǔ)知識，靈活地運用倒序求和、分組求和的思路來解題，還要重視培養(yǎng)自己邏輯思維和綜合分析能力，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：福建省漳州市第八中學(xué)）