基于Matlab的電磁場可視化方法探究

陳文瓊， 梅中磊

(蘭州大學 信息科學與工程學院， 蘭州 730000)

將Matlab引入“電磁場與電磁波”教學中，有助于將抽象復雜的電磁場問題轉(zhuǎn)化為直觀簡單的可視化圖像，從而更清晰地獲得電磁場的空間分布，加深對抽象電磁概念的理解[1]。力線是為直觀表示空間場分布而人為引入的一簇有向曲線，這些曲線上任意一點的切線方向為該點的場的方向，而曲線的疏密程度則表示該點場強度的大小[2]。力線對于理解電場或磁場的空間分布情況具有重要的輔助功能。結(jié)合Matlab強大的計算功能，利用“描點法”繪制得到力線分布，通俗易懂，簡便快速，且具有普適性，是繪制和研究電力線、磁力線的有效手段。

1 “描點法”繪制力線

基于Matlab的電磁場可視化方法主要包括利用流線圖繪制函數(shù)streamline，二維向量場繪制函數(shù)quiver，及數(shù)值求解或解析求解力線方程來繪制力線。其中，利用quiver函數(shù)和streamline函數(shù)繪制力線程序簡單，運行速度快；而數(shù)值法或解析法對于給定力線繪制范圍時適用，但耗時較長[3]。本文首先提出了一種通用的電磁場可視化方法——“描點法”，即在電場或磁場已知的情況下，通過逐步描點的方法繪制力線，以直觀顯示電磁場的空間分布。

(1)

圖1 “描點法”繪制力線示意

2 電偶極子的電力線

2.1 電偶極子的電場分布

電偶極子是由兩個距離很近且等量異號的點電荷所組成的帶電體系。對于由兩個等量異號的點電荷組成的電偶極子系統(tǒng)[2]，假設(shè)兩電荷相距為2a，建立如圖2所示的直角坐標系，則通過分析可以獲得該電偶極子系統(tǒng)在空間某點所產(chǎn)生的電場強度的大小。由庫侖定律可得，兩點電荷在空間一點P(x,y)所產(chǎn)生的電場強度大小分別為：

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單位矢量的表達式為：

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圖2 電偶極子系統(tǒng)示意

2.2 “描點法”繪制電力線

獲得了電偶極子在場點P處所產(chǎn)生的沿x和y方向的場強分量后，根據(jù)“描點法”即可得到該系統(tǒng)的電力線分布情況。假設(shè)兩電荷之間的距離為2a=2，電力線起始點位于以Q2為圓心、半徑a0=0.1a的圓上，取θ=0:π/6:2π為電力線起始點角度間隔，則可得每條電力線的起始點坐標為x(0)=-a+a0sin(θ)，y(0)=a0cos(θ)。根據(jù)式(3)中電偶極子系統(tǒng)電場的表達式，可以計算得到電力線起始點產(chǎn)生的場強大小(Ex和Ey)，由式(4)得該點的電場所對應(yīng)的單位矢量(eEx和eEy)；沿著該單位矢量的方向移動Δl=a/1000的距離到另一點，同樣計算得到該點的場強大小及電場的單位矢量；不斷重復這個過程，直至獲得一條完整的電力線，如圖3(a)所示。而三維立體電力線是由平面內(nèi)電力線繞x軸旋轉(zhuǎn)一定的角度形成的[4]，因此在通過“描點法”繪制得到二維的電力線之后，將電力線坐標[x(i),y(i)]按一定的角度向量φ=0:π/3:2π繞x軸旋轉(zhuǎn)，形成新的三維電力線的坐標：XX=x*ones(size(φ))，YY=y*sin(φ)，ZZ=y*cos(φ)。利用Matlab中的三維繪圖命令plot3(XX,YY,ZZ)即可得到該系統(tǒng)的三維立體電力線分布，如圖3(b)所示。與ode45函數(shù)求解電力線方程相比，利用“描點法”繪制電力線的方法耗時更短，且易于編程[3]。

(a) 二維情況 (b) 三維情況圖3 “描點法”繪制電偶極子電力線分布

3 磁偶極子的磁力線

3.1 磁偶極子的磁場分布

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(6)

利用基矢之間的關(guān)系對式(6)做化簡，即

(7)

進一步有

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其中，k2=4arsinθ/r2+a2+2arsinθ。

上式即為載流環(huán)周圍所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的具體表達式。式中的K和E表示第一、二類完全橢圓積分[5]。

圖4 磁偶極子示意

3.2 “描點法”繪制磁力線

圖5利用“描點法”繪制了磁偶極子的磁力線分布。假設(shè)載流環(huán)的半徑為a=1，取磁力線的起始位置分別為r=10-5a(近似為載流環(huán)中心)，r=0.3a，r=0.6a，r=0.8a，r=0.9a，θ=π/2，φ'=±π/2。以距離載流環(huán)中心r處作為繪制磁力線的起始點，由磁感應(yīng)強度的表達式獲得該點的磁場大小及對應(yīng)的單位矢量，沿著磁場的方向移動Δl=a/1000的距離到空間另一點，循環(huán)整個過程直至獲得一條完整的磁力線。該方法完美地解決了數(shù)值求解磁力線方程中遇到的仿真步長設(shè)置不合理導致求解不充分的問題，能夠一次性得到磁偶極子完整的磁力線分布圖[6]。

圖5 磁偶極子磁力線分布

4 矩形波導端面的力線分布

矩形波導是橫截面為矩形的空心金屬波導管。如果能夠形象直觀地將電力線或者磁力線以立體形式繪制在波導的表面，對于理解波的傳播大有好處?！懊椟c法”即可完成這項任務(wù)。當波導中傳播TE波時，電場分量位于垂直于波導傳播方向的橫截面內(nèi)(Ez=0)。利用“縱向場法”可以得到矩形波導TE波的場分布表達式為[2]：

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以TE11模式為例，利用“描點法”繪制得到其電力線和磁力線的分布。如圖6所示。其中xy平面給出了電力線示意圖；yz、xz平面給出了磁力線分布。

圖6 矩形波導TE11波的力線分布

從圖6中可以觀察得到，矩形波導TE模式中場分布的特征為：電力線終止于波導壁，并總是垂直于波導壁；磁力線呈閉合曲線，并在波導壁的附近與壁平行；此外電力線以波導橫截面的中心軸線x=a/2，y=b/2為對稱軸呈對稱分布。

5 結(jié)語

本文提出了“描點法”繪制力線的方法，并在Matlab中繪制得到了電偶極子、磁偶極子力線的二維和三維分布圖以及矩形波導TE11波對應(yīng)的力線分布。在保證一定精度的前提條件下，通過逐步“描點”的方法繪制力線，具有程序簡單，執(zhí)行速率高的優(yōu)點。其次，利用“描點法”可以克服求解力線方程無法獲得系統(tǒng)邊界處數(shù)值解的問題，從而獲得完整的電力線和磁力線分布圖?；贛atlab仿真軟件可更加直觀形象地顯示電磁場的空間分布規(guī)律，將抽象的電磁場可視化、形象化，從而加深了大家對復雜電磁概念的理解。