兩能級量子系統(tǒng)的固定時間控制及魯棒性

柳 松,匡 森

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動化系,安徽合肥 230027)

1 引言

量子控制作為多學(xué)科交叉研究領(lǐng)域,對量子科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展有極大的推動作用[1-2].目前,最優(yōu)控制[3]、Lyapunov控制[4-5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、容錯控制[7]、學(xué)習(xí)控制[8]等方法已被廣泛用于量子系統(tǒng)的控制中.實現(xiàn)量子系統(tǒng)的固定時間控制(即在外部控制場的作用下,在某個與初始態(tài)無關(guān)的固定時間內(nèi)實現(xiàn)量子系統(tǒng)狀態(tài)的準(zhǔn)確控制)對實用化量子信息技術(shù)具有重要意義.例如,在核磁共振(nuclear magnetic resonance,NMR)量子計算機(jī)中,人們有必要在獨(dú)立于量子態(tài)的固定時間內(nèi)實現(xiàn)系統(tǒng)的完全收斂,以更高效地通過一系列射頻脈沖來生成表征量子邏輯門的期望幺正變換,減小對鄰近量子位的影響[3].

量子系統(tǒng)的有限時間控制問題,是指在外部控制場作用下系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)穩(wěn)定到期望的目標(biāo)態(tài),但其收斂時間函數(shù)依賴于初始態(tài).而固定時間控制總能在一個與初始態(tài)無關(guān)的常數(shù)時間內(nèi)使系統(tǒng)穩(wěn)定收斂.例如,連續(xù)非光滑控制[9-10]被用來實現(xiàn)系統(tǒng)關(guān)于目標(biāo)本征態(tài)的有限時間穩(wěn)定;滑?？刂芠11]、π脈沖法[12]、幾何控制原理[13]、最優(yōu)控制技術(shù)[14]都可以通過在一個預(yù)先給定的時間內(nèi)設(shè)計合適的控制律來實現(xiàn)系統(tǒng)在固定時間內(nèi)的完全布居數(shù)轉(zhuǎn)移,但都要求滿足一定的約束條件.

在量子系統(tǒng)的實際應(yīng)用中,不可避免地存在噪聲和不確定性.例如,對于固體核磁共振自旋系統(tǒng),外部噪聲磁場以及與其他自旋間的耦合有可能導(dǎo)致系統(tǒng)哈密頓量上的不確定性.Dong等人[11]結(jié)合Lyapunov控制和周期投影測量提出了一種滑?？刂品椒?以實現(xiàn)對系統(tǒng)哈密頓量上不確定性的魯棒控制,該方法需要精確設(shè)計投影測量的周期.文獻(xiàn)[15]提出了一種基于采樣學(xué)習(xí)的數(shù)值方法,用于哈密頓量中包含不確定性的量子系統(tǒng)的魯棒最優(yōu)控制設(shè)計.文獻(xiàn)[10]研究了控制哈密頓量上的不確定性對量子系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性的影響.然而,實際量子系統(tǒng)的初始態(tài)有時并不容易精確獲得,在實驗操作中也可能出現(xiàn)控制場的波動[16],這些因素都會導(dǎo)致狀態(tài)轉(zhuǎn)移的偏差.

本文基于固定時間穩(wěn)定性理論針對兩能級量子系統(tǒng)設(shè)計含分?jǐn)?shù)冪的連續(xù)非光滑控制律,以便實現(xiàn)系統(tǒng)對于目標(biāo)平衡態(tài)(純態(tài)和混合態(tài))的固定時間收斂性;提出了兩種非光滑切換控制方法以解決某些分?jǐn)?shù)冪取值引起控制性能差的問題;論文也分析了實際應(yīng)用中可能存在于系統(tǒng)哈密頓量、初始態(tài)和控制場上的不確定性對系統(tǒng)固定時間控制的影響.

2 問題描述

2.1 系統(tǒng)模型和控制目標(biāo)

本節(jié)考慮在一個控制場作用下的兩能級封閉量子系統(tǒng),其狀態(tài)演化過程可用劉維爾方程表示:

其中:密度算符ρ是描述量子態(tài)的半正定厄米算符,u1為標(biāo)量實值外部控制場,H0和H1為系統(tǒng)的內(nèi)部和控制哈密頓量,且

為簡化分析,本文中將約化普朗克常數(shù)?設(shè)置為1.此外,將滿足[H0,ρ]=0的狀態(tài)稱為系統(tǒng)(1)的平衡態(tài).

在相干矢量[17]表示下,任何定義在希爾伯特空間的兩能級量子系統(tǒng)的狀態(tài)ρ均對應(yīng)歐幾里得空間R3中唯一的一個實矢量,即

為泡利矩陣,xk=tr(ρλk)表示系統(tǒng)在λk上投影的期望值,x=[x1x2x3]T稱為ρ的相干矢量或Bloch矢量.所有Bloch 矢量的集合構(gòu)成了兩能級系統(tǒng)(1)的Bloch 空間.定義矢量模長當(dāng)a=1時,系統(tǒng)狀態(tài)為純態(tài),對應(yīng)三維歐式空間單位球面上的點;當(dāng)a<1 時,量子態(tài)為混合態(tài),對應(yīng)R3單位球內(nèi)的點;當(dāng)a=0時,量子態(tài)位于R3單位球的球心,此時系統(tǒng)(1)處于完全混合狀態(tài).

為了便于分析系統(tǒng)對于目標(biāo)平衡態(tài)的固定時間收斂性,本文基于式(2)的形式和復(fù)數(shù)的指數(shù)表示進(jìn)一步將系統(tǒng)的密度矩陣寫為

注1通過對系統(tǒng)狀態(tài)采用式(3)的指數(shù)表示形式,可以采用類似于文獻(xiàn)[9]的方法將系統(tǒng)方程(4)最終寫為一個單變量微分方程的形式,從而便于討論系統(tǒng)的固定時間收斂性.

2.2 相關(guān)定義和引理

對于仿射非線性動態(tài)系統(tǒng):

引理1[18]考慮非線性系統(tǒng)(5),假設(shè)存在一個連續(xù)徑向無界的函數(shù)V:Rn →R滿足下列條件:

1)V(x)=0?x=0;

2)V(x)>0,x ∈Rn{0};

3) 存在正實數(shù)α>0和0

那么,系統(tǒng)(5)的原點是有限時間穩(wěn)定的,且有限收斂時間函數(shù)滿足

定義1[19]如果非線性系統(tǒng)(5)的原點是全局有限時間穩(wěn)定的,且有限收斂時間函數(shù)是全局有界的,那么稱系統(tǒng)(5)的原點是全局固定時間穩(wěn)定的,即存在Tmax∈R+使得T(x(0))≤Tmax,?x(0)∈Rn.

引理2[18]假定原點是非線性系統(tǒng)(5)的一個有限時間穩(wěn)定平衡點,且存在一個包含原點的開鄰域U ?Rn使得對于任意x(0)∈U收斂時間函數(shù)都是連續(xù)的,那么存在正實數(shù)p ∈(0,1)和連續(xù)正定函數(shù)V:U →R使得對于任意x(0)∈U,˙V在U上都是實值連續(xù)的,且存在正實數(shù)α>0使下列不等式成立:

引理3[18]考慮非線性系統(tǒng)(5),假定存在一個包含原點的開鄰域U ?Rn和一個連續(xù)函數(shù)V:U →R.令Ωκ={x ∈U:V(x)<κ,κ>0},且存在一個連續(xù)函數(shù)P:R→R滿足P(κ)>0.如果x:[t1,t2)→U是一個滿足x ∈的連續(xù)函數(shù),且對于任意x(t)∈U有下列不等式成立:

那么對于所有的t ∈(t1,t2),都有x(t)∈Ωκ.

3 固定時間控制和穩(wěn)定性

3.1 固定時間控制器設(shè)計

為使系統(tǒng)在控制作用下穩(wěn)定收斂到目標(biāo)態(tài)ρf,選取如下的Lyapunov函數(shù)[5]:

經(jīng)典非線性系統(tǒng)固定時間控制的研究表明[20],類似于式(12)的控制律可以用來實現(xiàn)被控系統(tǒng)的固定時間收斂性.然而,由于式(12)含有兩個分?jǐn)?shù)冪,分析和論證相對復(fù)雜.為了簡化分析,本文中僅考慮一個分?jǐn)?shù)冪的特殊情況,即分析兩能級量子系統(tǒng)(1)在如下控制律作用下的固定時間穩(wěn)定性:

其中:K >0,0<γ <1.

由式(3)可得

根據(jù)式(11)(13)-(14)可知,量子系統(tǒng)在向目標(biāo)態(tài)ρf轉(zhuǎn)移的過程中,(ρ)=0出現(xiàn)的條件和控制哈密頓量的選取有關(guān).考慮以下情況:

當(dāng)r2=0時,由于r1和r2滿足,此時系統(tǒng)處于給定的目標(biāo)平衡態(tài)ρf.由式(10)-(11)(13)可得V=0,=0,u1=0,這說明系統(tǒng)狀態(tài)不再發(fā)生變化.

假定系統(tǒng)的控制哈密頓量滿足hI=0,那么當(dāng)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)在集合M={ρ:r2/=0,sinφ2=0}中時,滿足sinφ2=0的量子態(tài)構(gòu)成了單位球面(純態(tài))或球內(nèi)(混合態(tài))上φ2為π或2π的一個圓.

將系統(tǒng)(4)演化過程中滿足r2/=0,sinφ2=0的非目標(biāo)態(tài)記為ρτ,相應(yīng)的時刻記為tτ.根據(jù)系統(tǒng)(4)的第4個方程可得

式(15)說明存在時刻t1>tτ,使得量子態(tài)的相位角φ2在非光滑控制律(13)的作用下從φ2(tτ)=μπ,μ=1,2,演化到φ2(t)/=μπ.由式(13)-(14)可知u1(t)/=0,t ∈(tτ,t1],這意味著集合M中的量子態(tài)一定會在區(qū)間(tτ,t1]內(nèi)的某個時刻離開集合M,繼續(xù)向目標(biāo)態(tài)ρf演化.

同理,可分析出當(dāng)hR=0或當(dāng)hR/=0,hI/=0時系統(tǒng)(4)在非光滑控制律u1作用下的演化情況.

3.2 固定時間穩(wěn)定性

由于控制律u1作用下的系統(tǒng)(4)是非Lipschitz連續(xù)的,因此無法直接利用Lipschitz連續(xù)性條件來判斷系統(tǒng)解的存在唯一性.由式(15)可知,對于給定的目標(biāo)態(tài),滿足=0的、非目標(biāo)態(tài)的所有量子態(tài)構(gòu)成了一個過渡態(tài)集合.根據(jù)文獻(xiàn)[9]的定理5易知:對于任意初始態(tài),兩能級量子系統(tǒng)(4)在控制律u1作用下存在唯一的連續(xù)可微解.

考慮到式(3)表示的量子態(tài)始終滿足sinφ1=0,且當(dāng)目標(biāo)態(tài)滿足ρf1>ρf2時,有cosφ1=1;當(dāng)目標(biāo)態(tài)滿足ρf1<ρf2時,有cosφ1=-1.因此,在控制律(13)作用下的系統(tǒng)(4)可寫為

這樣,分析系統(tǒng)(17)從初始狀態(tài)[r1(0)r2(0)]T到平衡點[a0]T的固定時間控制問題就相當(dāng)于分析系統(tǒng)(19)的變量r2在固定時間內(nèi)從初始狀態(tài)r2(0)收斂到原點所滿足的條件.

對于系統(tǒng)(19),可給出如下固定時間穩(wěn)定性定理:

3.3 性能改進(jìn)

觀察控制律(13)可知:當(dāng)分?jǐn)?shù)冪因子γ →0時,控制律(13)將逼近棒棒Lyapunov控制,因此控制后期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移性能將變差[5];當(dāng)γ →1時,控制律(13)具有明顯的標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov控制特性,導(dǎo)致量子系統(tǒng)的完全收斂時間較長.對此,可以提出兩種非光滑切換控制策略,即基于不同分?jǐn)?shù)冪和不同比例系數(shù)的切換控制策略,以保證兩能級量子系統(tǒng)(19)具有更好的固定時間控制性能.

當(dāng)分?jǐn)?shù)冪γ較小時,大量的仿真實驗表明:對于集合D中的任意量子態(tài),若控制律(13)的比例系數(shù)K保持不變,則選擇較大的分?jǐn)?shù)冪可以使得系統(tǒng)在新的控制律作用下具有更好的控制性能;而若分?jǐn)?shù)冪γ保持不變,則適當(dāng)減小控制律的比例系數(shù)K,仍可使得系統(tǒng)更好地向目標(biāo)態(tài)演化.其中,第j個控制律的固定時間作為分?jǐn)?shù)冪為γ(j)(或比例系數(shù)為K(j))和分?jǐn)?shù)冪為γ(j+1)(或比例系數(shù)為K(j+1))的控制律之間的切換條件,系統(tǒng)的總固定收斂時間為,j=1,2,···.需要注意,γ(j)和K(j)的個數(shù)及其具體值的選取不是唯一的.

注3本文設(shè)計的控制律(13)和這里提及的切換控制律都是解析形式的非光滑控制律,主要用來實現(xiàn)固定時間內(nèi)系統(tǒng)對于目標(biāo)態(tài)的準(zhǔn)確收斂性.而傳統(tǒng)的光滑控制則很難完成這樣的控制任務(wù).事實上,相對于光滑控制而言,非光滑控制通常能夠完成更復(fù)雜的控制任務(wù),目前已在量子系統(tǒng)控制中得到了廣泛研究和應(yīng)用[5,21-25].

4 魯棒性分析

量子系統(tǒng)的不確定性可近似描述為系統(tǒng)哈密頓量的擾動ΔH0、初始態(tài)的偏差Δρ0和控制場的波動Δu1.本文中,將系統(tǒng)哈密頓量的不確定性記為

將控制場的波動記為|Δu1|≤σ,σ >0.此時的量子系統(tǒng)模型可表示成

5 數(shù)值仿真

5.1 固定時間控制驗證

圖1 當(dāng)初始態(tài)為ρ0時,量子態(tài)保真度和非光滑控制律的變化曲線Fig.1 The evolution curves of fidelity and the non-smooth control law for the initial state ρ0

5.2 性能改進(jìn)驗證

圖2 當(dāng)初始態(tài)為ρ0時,量子態(tài)保真度和不同比例系數(shù)的切換控制律變化曲線Fig.2 The evolution curves of fidelity and the non-smooth switching control laws with different values of K for the initial state ρ0

接下來,采用不同分?jǐn)?shù)冪的非光滑切換控制方法對目標(biāo)混合態(tài)進(jìn)行仿真.假定系統(tǒng)初始以0.95的概率處在本征態(tài)|1〉,同時又以0.05的概率處在疊加態(tài),即初始態(tài)為

則其純度為tr()=0.9525.通過數(shù)值計算可知ρ0的兩個本征值可近似為0.0243和0.9757.進(jìn)一步,假定系統(tǒng)的目標(biāo)態(tài)為

設(shè)置控制律(13)中的比例系數(shù)為K=0.3,兩次非光滑切換控制的分?jǐn)?shù)冪分別為以

為切換條件.仿真結(jié)果如圖3所示.根據(jù)圖3和仿真數(shù)據(jù),系統(tǒng)收斂于目標(biāo)態(tài)的總時間滿足

圖3 當(dāng)初始態(tài)為ρ0時,量子態(tài)保真度和不同分?jǐn)?shù)冪的切換控制律變化曲線Fig.3 The evolution curves of fidelity and the non-smooth switching control laws with different values of γ for the initial state ρ0

這同樣與理論結(jié)果一致.

5.3 魯棒性驗證

在連續(xù)非光滑控制律u1和標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov控制律=-Ktr(i[H1,ρ]ρf)的作用下,系統(tǒng)哈密頓量和初始態(tài)上的不確定性對量子態(tài)保真度的影響分別如圖4-5所示.顯然,對于這兩類不確定性,非光滑控制比標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov控制具有更強(qiáng)的魯棒性.此外,根據(jù)理論分析和圖4可知,自由哈密頓量的不確定性不影響系統(tǒng)狀態(tài)的保真度.

圖4 在非光滑控制和標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov控制作用下,系統(tǒng)哈密頓量的不確定性對量子態(tài)保真度的影響Fig.4 Under non-smooth control and standard Lyapunov control,the influence of the uncertainty in the system Hamiltonian on the fidelity of quantum state

圖5 在非光滑控制和標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov控制作用下,初始態(tài)上的不確定性對量子態(tài)保真度的影響Fig.5 Under non-smooth control and standard Lyapunov control,the influence of the uncertainty in the initial state on the fidelity of quantum state

假定控制場的不確定性Δu1在區(qū)間[-0.5,0.5]上服從均勻分布,則圖6顯示了非光滑控制場(13)的波動Δu1對量子態(tài)保真度的影響(60次仿真).從圖6可看出,受擾動量子系統(tǒng)最終進(jìn)入了包含目標(biāo)態(tài)的一個鄰域內(nèi),這說明非光滑控制對控制場上的有界不確定性有較好的魯棒性.

圖6 當(dāng)非光滑控制場u1的不確定性Δu1為區(qū)間[-0.5,0.5]上均勻分布的擾動時,量子態(tài)保真度的變化曲線Fig.6 The evolution curves of the fidelity of quantum state when the uncertainty Δu1 in the non-smooth control law u1 obeys a uniform distribution on the interval[-0.5,0.5]

6 結(jié)論

針對兩能級量子系統(tǒng),本文借助Lyapunov方法設(shè)計了一個包含分?jǐn)?shù)冪因子的連續(xù)非光滑控制律,基于固定時間穩(wěn)定性定理給出了系統(tǒng)在一個與初始態(tài)無關(guān)的固定時間內(nèi)關(guān)于目標(biāo)平衡態(tài)(純態(tài)和混合態(tài))收斂的條件.針對分?jǐn)?shù)冪的某些取值可能導(dǎo)致收斂性能差的問題,本文提出了兩種非光滑切換控制策略,并通過仿真實驗驗證了該方法的確能夠有效改善系統(tǒng)的控制性能.對于實際量子系統(tǒng)中可能存在的不確定性,本文也通過將其近似描述為系統(tǒng)自由哈密頓量、控制哈密頓量、初始態(tài)和控制場上的有界擾動分析了它們對系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定性的影響.應(yīng)該說明,盡管本文僅考慮了一個控制場的情況,但相應(yīng)的控制律設(shè)計方法和穩(wěn)定性分析方法完全適用于多個控制場的情況.然而,對于多能級量子系統(tǒng),由于很難將系統(tǒng)方程變換為單變量微分方程的形式,因此在固定時間穩(wěn)定性的論證上需要引入更多的理論工具.此外,測量反饋影響下隨機(jī)開放量子系統(tǒng)的固定時間控制以及自適應(yīng)魯棒固定時間控制問題也是值得研究的問題.