非連續(xù)Lur’e時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚類同步與自適應(yīng)控制

湯 澤 高 悅 王 艷 豐建文

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇無錫 214122;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)教育部工程研究中心,江蘇無錫 214122;3.深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東深圳 518060)

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)跨學(xué)科的概念,其問題的來源其實(shí)是各種實(shí)際網(wǎng)絡(luò),比如通信網(wǎng)絡(luò)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]、社會網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)等等.通過數(shù)學(xué)圖論的方法[2],可以將這些實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變成由點(diǎn)和線構(gòu)成的抽象網(wǎng)絡(luò).通過研究抽象網(wǎng)絡(luò)的共性及其處理的普適方法,可以為實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的分析提供理論指導(dǎo).因此,對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行深入的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[3].

近些年來,學(xué)者們針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中特殊的集群現(xiàn)象-同步,提出了不同的模式,如全局同步[4]、聚類同步[5]、相位同步[6]等.其中,聚類同步是一類特殊的同步模式,它將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)分為不同類,屬于同一類中的系統(tǒng)需要達(dá)到同步,而對于不同類間的系統(tǒng)狀態(tài)卻并無該要求.在目前多數(shù)的網(wǎng)絡(luò)同步研究中,達(dá)到同步所需的時(shí)間是不確定并很難估計(jì)的.而在實(shí)際工程應(yīng)用中,為了節(jié)約時(shí)間成本,人們往往希望加快收斂速率,在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步.同時(shí),有限時(shí)間同步意味著同步收斂時(shí)間的優(yōu)化,它具有更好的魯棒性和抗干擾能力[7].例如,文獻(xiàn)[8]研究了非理想變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題,并設(shè)計(jì)了合適的滑?？刂破骱颓袚Q增益.此外,文獻(xiàn)[9]介紹了一種新穎的非奇異終端滑模控制,同時(shí)提出了一種用于操作系統(tǒng)中位置跟蹤的自適應(yīng)有限時(shí)間控制方法.

眾所周知,Lur’e系統(tǒng)是一類特殊的非線性系統(tǒng),常見的Lorenz系統(tǒng)、Goodwin模型、蔡氏電路都可以看作Lur’e系統(tǒng).目前,針對Lur’e系統(tǒng)的研究也層出不窮.例如,文獻(xiàn)[10]研究了受非周期采樣數(shù)據(jù)影響的混沌Lur’e系統(tǒng)的非周期事件觸發(fā)主從同步.而文獻(xiàn)[11]研究了具有多個(gè)時(shí)變時(shí)滯和隨機(jī)擾動(dòng)的耦合Lur’e網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題.

由于不連續(xù)系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用,由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)耦合而成的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題也逐漸受到了越來越多的關(guān)注[12-13].特別地,處理帶有右端不連續(xù)的微分方程,需要引入廣義解的概念.到目前為止,有兩種定義帶有右端不連續(xù)的微分方程廣義解的方法:第1種方法利用微分包含的概念,比如Filippov解[13]、Krasovskij解;而第2種方法典型的有Hermes解、Euler解,根據(jù)一些算法找到近似解,然后將近似解的統(tǒng)一極限作為廣義解.例如,文獻(xiàn)[12]研究了一類具有時(shí)變時(shí)滯和非連續(xù)激活函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步問題,并同時(shí)考慮了狀態(tài)反饋控制和自適應(yīng)控制技術(shù).隨后,文獻(xiàn)[13]在Filippov解的框架下,基于微分包含理論,通過構(gòu)造非光滑Lyapunov函數(shù),討論了具有不連續(xù)和分布式時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題.以上討論的是具有不連續(xù)激活函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題,對于不連續(xù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚類同步,尤其是考慮網(wǎng)絡(luò)具有時(shí)變時(shí)滯以及非線性耦合現(xiàn)象的,目前尚未見有關(guān)研究結(jié)果.

基于上述討論,本文主要研究一類具有多重耦合的非恒同非連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚類同步問題,通過引入Filippov微分包含概念,巧妙設(shè)計(jì)牽制控制器,并應(yīng)用有限時(shí)間穩(wěn)定性定理和Lyapunov穩(wěn)定性定理,得到該網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間聚類同步的判定條件.本文的主要貢獻(xiàn)體現(xiàn)在4個(gè)方面:1)不同于文獻(xiàn)[21],本文考慮一類具有時(shí)變時(shí)滯和非線性耦合的非恒同不連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò),該網(wǎng)絡(luò)模型將更接近實(shí)際的工程應(yīng)用系統(tǒng);2)由于傳統(tǒng)的線性化扇形條件對本文的非連續(xù)Lur’e系統(tǒng)不再適用[17-18],本文引入Filippov微分包含概念,將非連續(xù)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榧岛瘮?shù),根據(jù)測度選擇定理選擇出與非連續(xù)函數(shù)對應(yīng)的可測函數(shù),并據(jù)此進(jìn)行非線性函數(shù)的線性化處理;3)通過巧妙設(shè)計(jì)負(fù)反饋牽制控制器來控制當(dāng)前聚類中與其他聚類有直接聯(lián)系的少量節(jié)點(diǎn),同時(shí),根據(jù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制的更新定律獲得最優(yōu)控制強(qiáng)度,相比于文獻(xiàn)[12],可以有效減少控制成本;4)根據(jù)有限時(shí)間穩(wěn)定性定理,給出網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)聚類同步的收斂時(shí)間,這意味著同步收斂時(shí)間的優(yōu)化,與文獻(xiàn)[4-5]相比,極大地節(jié)省了控制所需的時(shí)間成本.

2 準(zhǔn)備工作

首先,本文給出具有聚類型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)定義.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的N個(gè)節(jié)點(diǎn)可以分為個(gè)類且滿足N >≥2.若第i個(gè)節(jié)點(diǎn)屬于第j類(i=1,2,···,N,j=1,2,···,),則定義μi=j.令Λj表示屬于第j類的所有節(jié)點(diǎn)組成的集合,表示屬于第j類且和其他類有直接連接的節(jié)點(diǎn)組成的集合.根據(jù)上述定義,有以下關(guān)于集合的性質(zhì):

注1本文研究由不連續(xù)Lur’e系統(tǒng)耦合而成的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚類同步問題.根據(jù)上述假設(shè)可知,假設(shè)2中不等式是針對每一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)進(jìn)行非線性數(shù)量值函數(shù)的線性化估計(jì).對應(yīng)的,可以給出非線性向量值函數(shù)的線性化估計(jì)形式

3 非連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)有限時(shí)間聚類同步

本節(jié)將設(shè)計(jì)牽制控制器使非恒同非連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到聚類同步.同時(shí),對于時(shí)變控制強(qiáng)度,設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新定律,并根據(jù)有限時(shí)間穩(wěn)定性定理,給出相應(yīng)的同步收斂時(shí)間.

針對上述網(wǎng)絡(luò),設(shè)計(jì)負(fù)反饋牽制控制器

其中系數(shù)εi >0.

注2對比文獻(xiàn)[12]中控制器的設(shè)計(jì)ui(t)=-ki(t)-ηisgn(ei(t)),該控制器施加在網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)上,本文控制器(4)只施加在不同聚類間有直接連接的Lur’e系統(tǒng)上,此控制更易實(shí)現(xiàn)且能有效降低控制成本.同時(shí),控制器中項(xiàng)

主要用于減弱不同聚類間因Lur’e系統(tǒng)相互連接造成的影響,而控制器中除此之外的其他項(xiàng)則主要用于驅(qū)使屬于同一聚類中的所有非連續(xù)Lur’e系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步.

根據(jù)定義2和引理5,可得

則在牽制控制器(4)和自適應(yīng)更新定律(5)的作用下,非連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)Lur’e系統(tǒng)(2)在有限時(shí)間內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)聚類同步,且其同步收斂時(shí)間可以估計(jì)為

根據(jù)式(6),計(jì)算V(t)關(guān)于時(shí)間t的集值Lie導(dǎo)數(shù),并應(yīng)用引理5可得

注4在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題中,控制器通常設(shè)計(jì)為-ρ?sgn(ei(t))|ei(t)|α,0 ≤α≤1,本文將根據(jù)α的不同取值分3種情況進(jìn)行討論.首先,當(dāng)α=0時(shí),控制器為-ρ?sgn(ei(t)),由于符號函數(shù)sgn(?)的存在,此控制器是不連續(xù)的,這種控制器專為不連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計(jì),能抵消因應(yīng)用測度選擇定理造成的差異性;其次,當(dāng)0＜α ＜1時(shí),控制器是連續(xù)的,此控制器將主要應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)中;最后,當(dāng)α=1時(shí),控制器為-ρ?ei(t),這是一個(gè)典型的線性負(fù)反饋控制器,主要用于解決系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定問題.

注5在文獻(xiàn)[7-9,19-21]中,對有限時(shí)間同步問題進(jìn)行了相應(yīng)的研究.特別地,在筆者先前的工作[21]中,對非連續(xù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題進(jìn)行了討論,但在網(wǎng)絡(luò)的模型和控制器中并沒有考慮系統(tǒng)中存在的時(shí)間延遲,而時(shí)間延遲會導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩及發(fā)散等問題,從而對系統(tǒng)性能造成一定的影響.因此,在本文中,考慮了非恒同帶時(shí)變時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)模型,并且分別在控制器和Lyapunov函數(shù)中設(shè)計(jì)項(xiàng)

來實(shí)現(xiàn)帶耦合時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步.同時(shí),在文獻(xiàn)[21]的數(shù)值模擬部分,控制器控制強(qiáng)度被設(shè)置為固定的d3=1.5,d4=2,這往往會大于實(shí)際所需的控制強(qiáng)度.為了有效的節(jié)省控制成本,本文在控制器(4)中針對時(shí)變控制強(qiáng)度li(t)設(shè)計(jì)了相應(yīng)自適應(yīng)更新定律.相應(yīng)的,設(shè)計(jì)控制器中ηiΩ(ei(t))(|li(t)|+)與Lyapunov函數(shù)中項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)控制強(qiáng)度在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到最優(yōu).綜上所述,本文對比筆者之前的工作有了很大的改進(jìn).

若考慮網(wǎng)絡(luò)(1)由連續(xù)的Lur’e系統(tǒng)組成,則假設(shè)2中由測度選擇定理造成的差異性=0,本文有如下推論.

假設(shè)3假設(shè)函數(shù)在Rm上連續(xù)可微,存在非負(fù)常數(shù)使得

i=1,2,···,N,對任意向量s,z ∈Rm成立.

推論1若假設(shè)3成立且函數(shù)gk(·)∈NCF(ξ,δ),ξ >δ >0,k=1,2,···,n.如果存在正常數(shù)z′和β′使得定理1中條件1,2成立,則在控制器(4)和自適應(yīng)更新定理(5)的作用下,連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)能在有限時(shí)間內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)聚類同步,且同步收斂時(shí)間可以估計(jì)為

4 數(shù)值仿真

本節(jié)將給出一個(gè)數(shù)值仿真來驗(yàn)證文中提出的非連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間聚類同步判定方法和控制器設(shè)計(jì)的正確性和可適用性.

考慮由10個(gè)Lur’e系統(tǒng)耦合而成的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)并將其分為3個(gè)聚類(Λ1={1,2,3},Λ2={4,5,6},Λ3={7,8,9,10}),其中每個(gè)聚類中Lur’e系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下:

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖1,第1個(gè)聚類中Lur’e系統(tǒng)3,第2個(gè)聚類中Lur’e系統(tǒng)4,第3個(gè)聚類中Lur’e系統(tǒng)9,10與其他聚類中的Lur’e系統(tǒng)有直接連接,故將在這4個(gè)Lur’e系統(tǒng)上施加控制器,并設(shè)置控制器參數(shù)ρ=2,=5,ηi=0.6,αi=0.3,εi=0.5,通過計(jì)算可得到可行的z,β使定理1中條件成立.由網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)參數(shù)可得V(0)=15.9,則此網(wǎng)絡(luò)的同步收斂時(shí)間為T=13.2.

圖1 Lur’e網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 The topology of Lur’e network

證明定理滿足后,本文在圖2中分別繪制了3個(gè)聚類中各Lur’e系統(tǒng)的狀態(tài)演化曲線.由圖2可知,在每個(gè)聚類內(nèi)部,隨著時(shí)間t趨于同步收斂時(shí)間T,各Lur’e系統(tǒng)的3個(gè)狀態(tài)都分別趨于一致.定義該網(wǎng)絡(luò)3個(gè)聚類同步誤差分別為

圖2 3個(gè)聚類中Lur’e系統(tǒng)狀態(tài)演化曲線Fig.2 The state evolution curves of Lur’e systems in three clusters

圖3表示3個(gè)聚類的同步誤差曲線.顯然,在同步收斂時(shí)間T內(nèi),誤差曲線趨近于零.最后,圖4給出了自適應(yīng)控制強(qiáng)度li(t)的演化曲線.以上數(shù)值仿真說明了非連續(xù)Lur’e網(wǎng)絡(luò)在所設(shè)計(jì)的控制器和自適應(yīng)更新定律下能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間的聚類同步,證明了本文結(jié)論的有效性.

圖3 3個(gè)聚類的同步誤差曲線Fig.3 Synchronization error curves of three clusters

圖4 自適應(yīng)控制強(qiáng)度li(t)的演化曲線Fig.4 Adaptive control strength li(t)evolution curves

5 結(jié)論

本文研究了一類非連續(xù)具有時(shí)變時(shí)滯耦合的Lur’e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚類同步問題.針對非連續(xù)Lur’e系統(tǒng)函數(shù),本文引入了Filippov微分包含理論,并且設(shè)計(jì)了有效的牽制控制器.通過充分考慮Lyapunov穩(wěn)定性定理及有限時(shí)間穩(wěn)定性理論,得到了該網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到聚類同步的充分判據(jù),同時(shí)給出了網(wǎng)絡(luò)達(dá)到聚類同步的收斂時(shí)間的估計(jì).此外,針對時(shí)變反饋強(qiáng)度,本文設(shè)計(jì)了自適應(yīng)更新定律以獲得最優(yōu)控制強(qiáng)度.最后,數(shù)值仿真的結(jié)果充分驗(yàn)證了本文控制器設(shè)計(jì)及同步判據(jù)的有效性和可行性.此外,具有多重脈沖效應(yīng)和受到隨機(jī)擾動(dòng)下非連續(xù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚類同步問題將會是今后的研究重點(diǎn)之一.同時(shí),拓寬文中處理非連續(xù)網(wǎng)絡(luò)方法的應(yīng)用條件也是未來需要解決的問題.