線性描述系統(tǒng)有限時間函數(shù)觀測器設計及存在性討論

張建成,王 艷

(1.江南大學理學院,江蘇無錫 214122;2.江南大學物聯(lián)網(wǎng)工程學院,江蘇無錫 214122)

1 引言

在現(xiàn)代控制領域,狀態(tài)反饋發(fā)揮著重要作用.該控制策略要求系統(tǒng)狀態(tài)是可測量的.而在實際控制系統(tǒng)中,作為系統(tǒng)內(nèi)部變量的狀態(tài)往往是不可測量或不完全可測量的.狀態(tài)觀測器的出現(xiàn)很好地解決了這一工程需求和物理上不可實現(xiàn)之間存在的矛盾[1].自20世紀60年代以來,觀測器理論已經(jīng)取得了豐碩的成果,諸如未知輸入觀測器[2-8]、滑模觀測器[9-12]、區(qū)間觀測器[13-17]、函數(shù)觀測器等[18-19].

由于在狀態(tài)反饋中只需要用到系統(tǒng)狀態(tài)的線性函數(shù),因此在基于觀測器的控制設計中,相比普通狀態(tài)觀測器,函數(shù)觀測器更具有優(yōu)勢,因為它在能夠提供系統(tǒng)所需控制信號的同時,又不需要估計系統(tǒng)的全部狀態(tài)[18].近幾十年來,函數(shù)觀測器理論一直是控制領域研究的熱點問題[19-32].例如,在文獻[19]中,Darouach 研究了線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器設計問題,給出了函數(shù)觀測器存在的充分條件.在其最新的論文[20]中,該作者及其合作者推廣了文獻[19]的結(jié)論,給出了更一般化的函數(shù)觀測器存在的充要條件.在文獻[22]中,Fernando等人引入了函數(shù)可觀/函數(shù)可檢測(functional observability/functional detectability)的概念,并指出系統(tǒng)滿足函數(shù)可觀/函數(shù)可檢測是函數(shù)觀測器存在的充分條件.隨后,Jennings等人從特征空間的角度對函數(shù)可觀這一概念給出了新的判據(jù)[23].此外,Rotella等人針對滿足函數(shù)可觀的系統(tǒng)提出了構(gòu)造函數(shù)觀測器的新方法,其不依賴于Sylvester方程的解,也不需要將系統(tǒng)化為狀態(tài)空間標準型[24-25].隨后,該論文的方法和結(jié)論被推廣到含有未知輸入的系統(tǒng)中[26].文獻[27]研究了一類時變系統(tǒng),給出了一種基于參數(shù)化方法計算增益矩陣的函數(shù)觀測器設計方法.文獻[28]針對含有時變時滯的系統(tǒng)討論了滑模函數(shù)觀測器設計,基于Lyapunov-Krasovskii 和線性矩陣不等式理論給出了觀測器存在的充分條件.此外,近年興起的區(qū)間觀測器理論因其能夠在較弱的條件下估計出狀態(tài)所處的區(qū)間這一優(yōu)勢而備受關注,其中函數(shù)區(qū)間觀測器理論也引起學者們的關注,如文獻[29-31].最近,基于T-S模糊系統(tǒng)的方法也被用于非線性系統(tǒng)函數(shù)觀測器設計中[32].需要指出的是,上述文獻中對函數(shù)觀測器設計和存在條件的研究均是對標準的一般系統(tǒng)展開的,而據(jù)筆者所知對描述系統(tǒng)函數(shù)觀測器的研究在已有的文獻中(除文獻[34-35]外)還鮮有報道.

描述系統(tǒng),又稱奇異系統(tǒng)、廣義系統(tǒng)、微分代數(shù)系統(tǒng),是一類更具一般性的動態(tài)系統(tǒng).描述系統(tǒng)在刻畫帶有代數(shù)約束的系統(tǒng)時更具有優(yōu)勢,其在電路系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)和機械系統(tǒng)的建模中已經(jīng)得到廣泛應用[33].近年來,描述系統(tǒng)觀測器理論得到了較大發(fā)展,已經(jīng)有很多成果報道出來.但對描述系統(tǒng)函數(shù)觀測器的研究卻少之又少,目前僅有文獻[34-35].文獻[34]針對一個線性描述系統(tǒng)構(gòu)造了Luenberger類型的漸近收斂函數(shù)觀測器,并以矩陣秩條件形式給出了觀測器存在的充要條件.隨后,該作者在文獻[35]中再次對該描述系統(tǒng)函數(shù)觀測器設計問題展開研究,其觀測器存在條件以線性矩陣不等式的形式給出.注意到,無論是文獻[34]還是文獻[35]其存在性條件都不僅用到了系統(tǒng)的原始矩陣,還用到了一些中間變量,故該條件不易檢驗.因此,探索新的能僅用系統(tǒng)原始矩陣表征的觀測器存在條件在理論和設計實踐中都有重要意義.

另一方面,注意到上述文獻無論是針對一般系統(tǒng)還是描述系統(tǒng)的研究其函數(shù)觀測器都是漸近收斂的.該類型觀測器基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設計得到.因此,無論是觀測器的估計精度還是收斂時間都依賴于觀測器增益和原系統(tǒng)初始條件.由于實際系統(tǒng)的初始條件很難獲得,很難通過調(diào)節(jié)觀測器的初始值來提高觀測器的精度和收斂速度.然而,在許多實際應用(如導彈制導過程[36])中,初始條件未知但為了滿足控制要求,需要在規(guī)定的時間內(nèi)獲得性能良好的狀態(tài)估計.在這種情況下,設計了一個收斂時間可自由調(diào)節(jié)且不受初始條件影響的觀測器是很有意義的.在這一方面,近年來已經(jīng)有一些成果報道出來.2002年,Engel等人針對滿足能觀性的線性系統(tǒng)提出一種有限時間觀測器設計方法[37].該方法通過構(gòu)造兩個結(jié)構(gòu)上完全相同的漸近收斂觀測器在幾乎任意給定的時間內(nèi)實現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)的精確估計.隨后,該方法被推廣應用到含有未知輸入的系統(tǒng)和描述系統(tǒng)中[38-42].需要指出的是,盡管有限時間觀測器理論在狀態(tài)觀測器設計方面已有不少結(jié)果,但在函數(shù)觀測器設計方面還沒有見諸報道.

基于以上討論,本文針對線性描述系統(tǒng)提出一種有限時間函數(shù)觀測器設計方法,并給出在形式上能用系統(tǒng)原始矩陣表征的觀測器存在條件.本文的主要貢獻和創(chuàng)新之處可總結(jié)為:1)給出了描述系統(tǒng)有限時間函數(shù)觀測器設計框架,并實現(xiàn)在任意規(guī)定時間內(nèi)的精確估計.2)與經(jīng)典的漸近收斂觀測器不同,本文提出的有限時間觀測器其無論是收斂時間還是估計精度都不受到原系統(tǒng)初始條件的影響.3)用系統(tǒng)原始矩陣給出了描述系統(tǒng)函數(shù)觀測器存在的充分必要條件.

本文其余部分安排如下:第2節(jié)為問題描述和一些預備知識.第3節(jié)具體給出有限時間函數(shù)觀測器的設計方法和存在性討論.第4節(jié)給出仿真結(jié)果驗證本文方法的有效性.最后,在第5節(jié)給出結(jié)論.

2 問題描述與預備知識

考慮如下的線性描述系統(tǒng):

其中:x ∈Rn,y ∈Rp和u ∈Rm分別為系統(tǒng)狀態(tài),可測輸出和控制輸入.z ∈Rr為待估計的未知向量.E ∈R?×n,A ∈R?×n,B ∈R?×m,C ∈Rp×n和L ∈Rr×n為常數(shù)矩陣.不失一般性,假設rankE

針對系統(tǒng)(1),文獻[34]研究了漸近收斂函數(shù)觀測器的設計方法和存在條件,其對應的r維函數(shù)觀測器存在條件為

注意到條件(2)-(3)中不但包含了系統(tǒng)(1)的原始矩陣E,A,C,L還涉及到了一些中間過渡變量E⊥,Γ+,α和β.這給觀測器存在性的檢驗造成了一定困難.

針對系統(tǒng)(1),本文研究可以在任意設定時間內(nèi)達到對函數(shù)z=Lx精確估計的有限時間函數(shù)觀測器設計方法,并探索得到可以直接由原始矩陣E,A,C,L表示的存在條件,以克服文獻[34]給出的存在條件在驗證過程中的缺陷.

為便于以下討論,對使用到的符號先進行約定.符號I代表單位矩陣,In為n×n維的單位矩陣.對于矩陣A,λi(A)表示該矩陣的第i個特征值.X ?Y意為X等價于Y.E⊥表示滿足E⊥E=0的具有最大行數(shù)的行滿秩矩陣.對于任意矩陣Θ,Θ+表示Θ的廣義逆并滿足ΘΘ+Θ=Θ.特別地,對行滿秩矩陣Θ有ΘΘ+=I.

3 有限時間函數(shù)觀測器

本節(jié)先給出系統(tǒng)(1)的有限時間函數(shù)觀測器設計框架,然后對存在條件進行詳細討論,并給出可以直接由原始矩陣E,A,C,L表示的存在條件.最后,對本文和文獻[34]給出的具有不同形式的觀測器存在條件之間的關系進行討論.

3.1 函數(shù)觀測器設計

方程(1a)左右兩端左乘矩陣E⊥可得

將式(1b)和式(4)寫成一個整體

這樣,基于新的輸出信號(5),系統(tǒng)(1)可寫為

受文獻[37]的啟發(fā),為了設計有限時間函數(shù)觀測器,需要對系統(tǒng)設計兩個結(jié)構(gòu)完全相同的漸近收斂函數(shù)觀測器.為此,對于系統(tǒng)(6)假設存在矩陣Pi,Mi(i=1,2)使得PiE+Mi=L.這樣,本文給出具有如下形式的漸近收斂函數(shù)觀測器:

對于系統(tǒng)(1),設計如下形式的有限時間函數(shù)觀測器:

則系統(tǒng)(11)-(12)為系統(tǒng)(1)的有限時間函數(shù)觀測器,即對于任給的d>0,有?z(t)≡z(t),t≥t0+d,其中t0為初始時刻.

注1對于系統(tǒng)(1)文獻[34]給出了目標函數(shù)z=Lx的漸近估計.但其估計精度和觀測器收斂時間均依賴于觀測器極點配置和原系統(tǒng)與觀測器之間的初始誤差,因此無法提前設置.相比之下,本文提出的有限時間函數(shù)觀測器方法其收斂時間可以根據(jù)需要自由設定且與初始條件無關.

注2需要指出的是,盡管在理論上收斂時間d>0可以任意設置.但在實踐中,d不宜設置的過小.事實上,d越接近于0則矩陣越接近于奇異.這將導致在時間到達t0+d之前,觀測器的狀態(tài)過大,可能會對硬件造成損害.

3.2 函數(shù)觀測器存在條件

定理1指出,有限時間函數(shù)觀測器(11)-(12)存在當且僅當存在矩陣Pi,Ni,Mi,Ki,Hi和Qi(i=1,2)滿足條件(10)和(13).但條件(10)和(13)涉及很多中間變量,且以矩陣方程和矩陣特征值不等式的形式給出,很難檢驗.本小節(jié)將分別用系統(tǒng)(1)的原始矩陣E,A,C,L給出與條件(10)和(13)等價的條件.

引理1如下陳述等價:

I) 存在矩陣Pi,Ni,Mi,Ki,Hi和Qi(i=1,2)滿足式(10).

II) 對于矩陣E,A,C,L,有

基于以上對有限時間函數(shù)觀測器存在條件的討論,給出定理2.

定理2對于系統(tǒng)(1),存在形如式(11)-(12)的有限時間函數(shù)觀測器,當且僅當條件(18)和(30)成立.

證 結(jié)合定理1和引理1-2直接得到定理2的結(jié)論.

3.3 與文獻[34]結(jié)論的比較

在第2節(jié)已經(jīng)講到,對于系統(tǒng)(1)的函數(shù)觀測器設計問題,文獻[34]給出的條件(2)和(3)不但包含了系統(tǒng)(1)的原始矩陣E,A,C,L,還包含了一些中間變量E⊥,Γ+,α和β.而本文給出的條件(18)和(30)僅僅用到了系統(tǒng)(1)的原始矩陣E,A,C,L.因此,相對于文獻[34]本文給出的存在條件在形式上更為直觀且易于檢驗.

另一方面,應該指出的是,盡管由于設計方法不同從而導出的觀測器存在條件在形式上也不相同,但是本文和文獻[34]中條件卻是等價的.具體說來,條件(18)等價于式(2),而式(30)等價于式(3).下面將證明這種等價性.

故由式(35)-(36)知(17)?(2).由于(18)?(17),自然地,有(18)?(2).

(30)?(3):令

注3文獻[37]給出了線性一般系統(tǒng)有限時間狀態(tài)觀測器的設計方法和存在條件.而對于有限時間函數(shù)觀測器設計的研究,在已經(jīng)發(fā)表的文獻中還未有過報道.本文首次針對描述系統(tǒng)研究其有限時間函數(shù)觀測器設計.和文獻[37]相比,本文的結(jié)果更具有一般性.事實上,若令E=L=In,則系統(tǒng)(1)退化為文獻[37]中的系統(tǒng)(1).此時,條件(18)恒成立,而條件(30)退化為(A,C)能觀,這恰好是文獻[37]中給出的有限時間觀測器存在性條件.因此,文獻[37]的結(jié)果可看作本文的一種特殊情形.另一方面,從觀測器結(jié)構(gòu)和存在條件來看本文對觀測器結(jié)構(gòu)的探索和存在條件的分析與文獻[37]相比則要復雜得多.

注4需要指出,在條件(18)下,系統(tǒng)(1)(或記為系統(tǒng){A,C,L})為部分脈沖能觀的,即僅當z=Lx不含有脈沖時,y亦不含有脈沖[34].這是因為,由條件(18)可知

根據(jù)文獻[34]中引理5可知{A,C,L}為部分脈沖能觀.特別地,當L=In時,上述條件退化為

此條件正是標準的脈沖能觀的充要條件[43].

最后,本文將有限時間函數(shù)觀測器(11)-(12)的設計步驟總結(jié)為算法1.

算法1

1) 檢查式(18)和式(30)是否滿足.若是,進入下一步;否則,觀測器設計失敗.

2) 計算矩陣Σ,Υ和Π1,Π2,選取Z1和Z2滿足式(13).

3) 選取d>0,計算矩陣

4) 構(gòu)造有限時間函數(shù)觀測器(11)-(12).

4 數(shù)值仿真

本節(jié)給出兩個例子來驗證本文所提方法的有效性,并通過和傳統(tǒng)方法作比較以顯示本文方法的優(yōu)勢.

4.1 仿真算例1

考慮系統(tǒng)(1)[34]其系統(tǒng)矩陣分別為

針對該系統(tǒng),文獻[34]設計了具有如下形式的漸近收斂函數(shù)觀測器:

圖1給出了z(t)的真實值(圖1中綠色實線)和由函數(shù)觀測器(38)得到的估計值(圖1中藍色虛線).可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)觀測器(38)的確可以實現(xiàn)對z(t)的漸近估計,但要得到較為精確的估計效果需要時間t≥5 s.為了更為快速地得到z(t)的估計值,下面根據(jù)本文算法設計有限時間函數(shù)觀測器.

對于該系統(tǒng),經(jīng)檢驗,其存在條件

對任意復數(shù)s均成立.根據(jù)算法1,相關矩陣計算如下:

由以上矩陣根據(jù)算法1構(gòu)造有限時間函數(shù)觀測器(11)-(12).

對函數(shù)觀測器(11)-(12)設置初值ˉz(0)=[-30-20]T.為了將本文提出的有限時間函數(shù)觀測器和文獻[34]的觀測器觀測效果作比較,不失一般性,本文設定觀測器收斂時間分別為d=0.5,1,2,3.為了方便比較,將4種收斂時間下的觀測結(jié)果一并畫在圖1中.仿真結(jié)果表明,文獻[34]的函數(shù)觀測器方法和本文方法均能實現(xiàn)對z(t)的估計.但是,本文方法可以任意設定觀測器的收斂時間,而文獻[34]的方法不能.另一方面,為了比較兩種觀測器的估計精度,將他們的估計誤差展示在圖2中.由圖2知,對于文獻[34]設計的的觀測器,只有當時間t≥5 s后估計精度方可,而在初始的5 s內(nèi)估計精度較差.而同樣在初始的5 s內(nèi),對于本文提出的有限時間觀測器而言,所預定的時間(d=0.5,1,2,3)一旦達到,觀測器誤差可即時收斂到0.

圖1 文獻[34](即[Darouach,2012])和本文方法得到的z的估計(d=0.5,1,2,3)Fig.1 Estimations of z by[34](i.e.,[Darouach,2012])approach and the PTFO approach(d=0.5,1,2,3)

圖2 文獻[34](即[Darouach,2012])和本文方法得到的z的估計誤差(d=0.5,1,2,3)Fig.2 Estimation errors of z by[34](i.e.,[Darouach,2012])approach and the PTFO approach(d=0.5,1,2,3)

4.2 仿真算例2

考慮如圖3所示的電路系統(tǒng),其中C1和C2表示電容器,R1和R2為電阻器,L為電感器,u=vs為電源電動勢.此處,Vc=v1(t)和Vout=v2(t)分別表示C1和C2的電壓,i1和iL分別為流經(jīng)C1和電感L的電流.根據(jù)基爾霍夫定律,該電路系統(tǒng)可以由以下狀態(tài)空間方程描述

圖3 電路系統(tǒng)Fig.3 An electronic circuit

定義系統(tǒng)狀態(tài)為x=[v1v2iL i1]T,測量輸出為y(t)=[v1iL i1]T.于是電路系統(tǒng)(39)可以寫成系統(tǒng)(1)且其系統(tǒng)矩陣為

假設以上參數(shù)分別為C1=100 mF,C2=100 mF,R1=4 Ω,R2=4 Ω,L=0.1 H.為了得到仿真結(jié)果,不妨假設電源信號為方波信號vs(t)=8.6square(1.5πt,50).

對于系統(tǒng)(39),容易檢驗對于任意復數(shù)s有

根據(jù)定理2,形如系統(tǒng)(11)-(12)的有限時間觀測器一定存在,其增益矩陣可計算如下:

然后,由以上矩陣根據(jù)算法1構(gòu)造有限時間函數(shù)觀測器(11)-(12).

為了將本文提出的有限時間函數(shù)觀測器和傳統(tǒng)的漸近收斂函數(shù)觀測器估計效果作比較,同時構(gòu)造傳統(tǒng)函數(shù)觀測器如下:

對于原系統(tǒng)(39),有限時間函數(shù)觀測器系統(tǒng)(11)-(12)和傳統(tǒng)函數(shù)觀測器系統(tǒng)(40),分別賦初值為x(0)=[3 1 4-4.75]T,(0)=[-2 2]T和ζ(0)=4,其中有限時間函數(shù)觀測器的預定收斂時間設為d=0.5.圖4和圖5分別畫出了z=Lx的真實值和由兩種觀測器得到的估計值以及它們的估計誤差.從圖4和圖5中可以看到,當t≥3 s后兩種觀測器均能獲得滿意的估計效果.但在t<3 s內(nèi),傳統(tǒng)的漸近收斂函數(shù)觀測器無法獲得很好的估計效果,而本文提出的有限時間函數(shù)觀測器依然可以.

圖4 由傳統(tǒng)方法和本文方法得到的z的估計(d=0.5)Fig.4 Estimations of z by traditional approach and the present approach(d=0.5)

圖5 由傳統(tǒng)方法和本文方法得到的z的估計誤差Fig.5 Estimation errors of z by traditional approach and the present approach(d=0.5)

本文提出的有限時間函數(shù)觀測器方法還有一個優(yōu)點,其估計精度和觀測器收斂時間不會受到原系統(tǒng)初值的影響.即無論原系統(tǒng)初始值為何值,當預定的時間達到以后,由觀測器給出的估計值都可以精確地跟蹤到系統(tǒng)的真實值.為了驗證這一優(yōu)點,分別假設原系統(tǒng)初始值為x(0)=[3+j1+j4+j -4.75]T,j=-45,-39,-33,-27,-21,-15,-9,-3,3,9,15.其估計誤差請參見圖6.圖6顯示,盡管系統(tǒng)初始值不同,但在預先設定的時間t=0.5 s后,估計誤差都將收斂到0.

圖6 選取不同初值x(0)時本文方法得到的z的估計誤差(d=0.5)Fig.6 Estimation errors of z by present approach for different x(0)(d=0.5)

5 結(jié)論

本文針對線性描述系統(tǒng)給出了一種有限時間函數(shù)觀測器設計方法.該觀測器能在幾乎任意給定的時間內(nèi)達到對目標函數(shù)的精確估計.此外,論文著重討論了觀測器存在的充分必要條件,并將存在性條件用系統(tǒng)原始矩陣的形式給出.與已有文獻相比,本文給出的結(jié)論更加直觀,更易于對條件的檢驗.如何將本文方法和結(jié)論推廣到網(wǎng)絡化描述系統(tǒng)中將是下一步要考慮的問題.