問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的內(nèi)在邏輯思考
——以“正方體截面的形狀”課題為例

■江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 任琛琛 楊夢(mèng)歡 楊蘇丹

高中數(shù)學(xué)立體幾何初步的學(xué)習(xí)要求有：運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，并建立空間觀念。在“正方體截面的形狀”的教學(xué)過(guò)程中，可以利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；通過(guò)教學(xué)模具的活動(dòng)式探究，培養(yǎng)學(xué)生的操作實(shí)踐能力；結(jié)合教育技術(shù)中“幾何畫板”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力?；诖耍疚耐ㄟ^(guò)案例探究如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法。

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法即基于問(wèn)題的教學(xué)方法(Prob?lem-Based Learning，PBL)。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法是一種以學(xué)生為主體、以專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的各種問(wèn)題為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以問(wèn)題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題尋求解決方案的一種學(xué)習(xí)方法，這種方法不像傳統(tǒng)教學(xué)那樣先學(xué)習(xí)理論知識(shí)再解決問(wèn)題。教師在教學(xué)過(guò)程中的角色是問(wèn)題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評(píng)估者。傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)立體幾何的教學(xué)比較重視定理的推理過(guò)程，即使在強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的新課程標(biāo)準(zhǔn)下，高中立體幾何教學(xué)在操作上還是容易出現(xiàn)“滿堂灌”的形式，教師對(duì)立體幾何的推導(dǎo)過(guò)程做好了應(yīng)有的設(shè)問(wèn)，學(xué)生不必要也難以提出自己的思考和問(wèn)題。學(xué)生在這樣的立體幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中容易產(chǎn)生思維定式，不利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的邏輯推理能力。史寧中先生曾言：“引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。”基于此，筆者以章節(jié)起始課“正方體截面的形狀”為例，結(jié)合問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)和活動(dòng)式課堂，關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力。

一、了解學(xué)生，對(duì)“癥”下“藥”

在學(xué)習(xí)“正方體截面的形狀”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“立體幾何初步”，對(duì)三維空間有初步的認(rèn)識(shí)；對(duì)簡(jiǎn)單的幾何體的基本特性和直觀圖、三視圖有基本了解；對(duì)空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系有了一定的理解，并初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述和論證某些位置關(guān)系（特別是平行和垂直關(guān)系）；對(duì)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證和度量計(jì)算等方法有了一定的體驗(yàn)；有一定的空間想象能力、初步有了推理論證和運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。但是學(xué)生對(duì)幾何體截面的概念不明晰，學(xué)生的抽象能力也處于初步發(fā)展的狀態(tài)。因此，筆者認(rèn)為在教學(xué)過(guò)程中要關(guān)注學(xué)生對(duì)截面的概念學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立體幾何的截面空間想象能力。

二、把握目標(biāo)，有“的”放“矢”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）中立體幾何初步的學(xué)習(xí)要求有：運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，并建立空間觀念?；凇罢襟w截面的形狀”的教學(xué)，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)設(shè)置問(wèn)題串，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；通過(guò)教學(xué)模具的活動(dòng)式探究，培養(yǎng)學(xué)生的操作實(shí)踐能力；結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)“幾何畫板”，彌補(bǔ)學(xué)生不便于操作難以得到較全的復(fù)雜模型的遺憾，為培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力提供教學(xué)支點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)“正方體截面的形狀”的課題學(xué)習(xí)，在利用小組討論、借助道具以及利用軟件的探究正方體截面實(shí)際操作過(guò)程中，體會(huì)“關(guān)注如何獲得知識(shí)，比關(guān)注得到別人給予的知識(shí)更重要”；體會(huì)到“問(wèn)題是思考的結(jié)果，是深入思考的開始”；從而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

三、設(shè)計(jì)教學(xué)，“層”層遞進(jìn)

（一）創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題

通過(guò)視頻的展示，讓學(xué)生了解生活中有各種各樣幾何體截面的形狀。

【設(shè)計(jì)意圖】基于學(xué)生學(xué)情出發(fā)，大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何初步之前，對(duì)立體幾何的截面了解甚少，單獨(dú)講述什么是截面過(guò)于枯燥，由此筆者進(jìn)行視頻導(dǎo)入，讓學(xué)生直觀感受截面形狀，得到截面的概念；拋出問(wèn)題1：正方體的截面有哪些類型？

在學(xué)生的探究過(guò)程中，可以預(yù)設(shè)到學(xué)生容易得出的正方體截面為正方形和三角形的兩種情形。

（二）實(shí)驗(yàn)探究、分析問(wèn)題

探究活動(dòng)1：教師明確給定實(shí)驗(yàn)器材的標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)裝有水的正方體，利用平靜的水面更好地反映正方體截面的形成及其變化特征。教師做示范展示，學(xué)生分小組利用實(shí)驗(yàn)器材探究正方體的截面形狀類型。

【設(shè)計(jì)意圖】傳統(tǒng)的正方體截面教學(xué)是教師通過(guò)作圖向?qū)W生展示，這對(duì)學(xué)生的想象能力要求較高，而這階段的學(xué)生很難全部達(dá)到較高的抽象想象能力，因此筆者結(jié)合教具讓學(xué)生直觀感知正方體截面的形狀?；顒?dòng)預(yù)測(cè)大多數(shù)學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究將得到正方體截面結(jié)果可能是三角形、四邊形，個(gè)別同學(xué)也許會(huì)實(shí)驗(yàn)得出六邊形截面。

探究活動(dòng)2：教師用幾何畫板課件演示學(xué)生在活動(dòng)1的探究結(jié)果。演示的過(guò)程中師生研討交流，討論問(wèn)題2：會(huì)不會(huì)出現(xiàn)七邊形和八邊形？

【設(shè)計(jì)意圖】利用現(xiàn)代教育技術(shù)佐證實(shí)驗(yàn)結(jié)果，彌補(bǔ)教具實(shí)驗(yàn)中的客觀局限性，更清晰地模擬出正方體截面的形狀。通過(guò)截面概念的辨析，得到正方體截面多邊形的邊數(shù)上限為6，開啟對(duì)正方體截面形狀特征探究。

探究活動(dòng)3：關(guān)于正方體三角形截面的探究。利用教具以及現(xiàn)代教育技術(shù)，小組探究正方體三角形截面形狀，拋出問(wèn)題3：正方體有幾類三角形截面？小組派代表展示，教師點(diǎn)評(píng)，研究的過(guò)程中教師可以引導(dǎo)學(xué)生按角、按邊進(jìn)行分類研究。

探究結(jié)果：按邊分類：等腰三角形（等邊三角形）、非等腰三角形。按角分類：銳角三角形，不會(huì)出現(xiàn)直角三角形和鈍角三角形。在此基礎(chǔ)上將利用余弦定理等方法對(duì)探究結(jié)果給予證明。

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)分類原則先確定研究的路徑，通過(guò)直觀想象、數(shù)學(xué)建模和演算等邏輯推理的數(shù)學(xué)思考探究結(jié)論，利用分類討論融入分類思想。

探究活動(dòng)4：關(guān)于正方體四邊形截面的探究。同樣利用教具、幾何畫板對(duì)正方體四邊形截面探究，引導(dǎo)學(xué)生利用邊、角分類進(jìn)行探究。拋出問(wèn)題4：正方體可以截出幾類不同的四邊形？會(huì)有正四邊形嗎？并且讓學(xué)生小組討論如何利用立體幾何公理、定理證明四邊形不可能出現(xiàn)直角梯形。

探究結(jié)果：兩組對(duì)邊分別平行；只有一組對(duì)邊平行；不會(huì)出現(xiàn)直角梯形。（如圖1）

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察四邊形截面形狀，找出共性，從而引導(dǎo)學(xué)生能從截面定義解釋為什么四邊形截面一定有一組對(duì)邊平行，探究過(guò)程中分類討論再次融入分類思想。

探究活動(dòng)5：關(guān)于正方體五邊形截面的探究。利用關(guān)于對(duì)正方體的四邊形截面的探究活動(dòng)的方法對(duì)正方體五邊形截面探究，按照之前探究活動(dòng)提出問(wèn)題5：正方體五邊形截面會(huì)有怎樣的性質(zhì)？會(huì)有正五邊形嗎？

探究結(jié)果：兩組邊分別平行。

【設(shè)計(jì)意圖】利用四邊形討論的方法，類比探究正方體截面五邊形的特征，融入類比思想，并探究得出不會(huì)出現(xiàn)正五邊形。

探究活動(dòng)6:關(guān)于正方體六邊形截面的探究。類比四、五邊形截面的探究方式，得到六邊形截面的特征。

探究結(jié)果：三組邊分別平行。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題“正方體中,試畫出其中三條棱的中點(diǎn)P,Q,R的平面截得正方體的截面形狀”的解決；實(shí)現(xiàn)探究：正方體會(huì)出現(xiàn)正六邊形截面。

探究活動(dòng)7：根據(jù)活動(dòng)的探究進(jìn)程，自然拋出問(wèn)題6：正方體的截面最多有多少種？歸納有哪有幾種正多邊形？師生共同歸納總結(jié)：正方體截面最多會(huì)出現(xiàn)正三角形、正方形、正六邊形。

（三）小試牛刀，解決問(wèn)題

習(xí)題1：一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體給定三個(gè)點(diǎn)M、N、P(如圖2)，若

圖2

試一試，如何沿著這三個(gè)點(diǎn)做出一個(gè)截面？

活動(dòng)重點(diǎn)：準(zhǔn)備一個(gè)道具和彩筆。各組的同學(xué)共同討論，看哪一組畫得好，畫得快，說(shuō)得清。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)畫圖訓(xùn)練，讓學(xué)生結(jié)合探究活動(dòng)的直觀感知，抽象出截面形狀，落實(shí)從直觀想象到抽象思維的轉(zhuǎn)化，同時(shí)小組探究也有助于解決學(xué)生在訓(xùn)練過(guò)程中遇到的難點(diǎn)，教師可以分組進(jìn)行點(diǎn)撥，提高課堂效率。

（四）課堂小結(jié)，歸納問(wèn)題

教師在這個(gè)環(huán)節(jié)可以從學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容以及探究的方法兩方面展開，滲透教知識(shí)、學(xué)經(jīng)驗(yàn)的新課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)理念。

歸納問(wèn)題：主要用到立體幾何中的哪些公理與定理（師生共同進(jìn)行建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)）以及探究的步驟？回顧我們是怎樣研究正方體的三角形截面的？我們?cè)跀?shù)學(xué)建模、演算、推理驗(yàn)證時(shí)，感悟到什么數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用了那些數(shù)學(xué)知識(shí)，沿用了什么活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】課堂不應(yīng)只關(guān)注知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維生長(zhǎng)，注重學(xué)習(xí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓學(xué)生總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題”。

（五）課后思考、延伸問(wèn)題

學(xué)習(xí)不僅發(fā)生在課堂上，非常有必要把空間和時(shí)間延續(xù)到課外，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情布置相應(yīng)的課后思考題，供學(xué)有余力的同學(xué)深度學(xué)習(xí)。筆者基于學(xué)生的基礎(chǔ)能力，布置了如下思考題：

(1)通過(guò)對(duì)正方體截面形狀的探究方法，能否類比到其他幾何體？（如圓錐、圓柱、正四面體等。）

(2)與正方體的棱平行的截面有何特征？與正方體體對(duì)角線垂直的截面有何特征？

四、設(shè)計(jì)反思，追“本”溯源

立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。高中“立體幾何初步”的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。“正方體截面的形狀”在立體幾何的教學(xué)中屬于較為抽象以及較難的知識(shí)點(diǎn)，筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)利用上述七個(gè)探究活動(dòng)和六個(gè)問(wèn)題串，通過(guò)活動(dòng)的層層遞進(jìn)，問(wèn)題的逐步深入，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)的思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在探究活動(dòng)中的運(yùn)用。從簡(jiǎn)單的截面形狀——三角形出發(fā)到多邊形，自然引導(dǎo)學(xué)生由一般到特殊思考：截面正多邊形的類型。在活動(dòng)探究的過(guò)程，活動(dòng)3到活動(dòng)6這四個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生利用已有的互動(dòng)探究經(jīng)驗(yàn)，反復(fù)利用分類、類比思想解決問(wèn)題，最后通過(guò)立體幾何定理讓學(xué)生從理論的高度上驗(yàn)證猜想，得出結(jié)論，提供了嚴(yán)密的邏輯推理范式，學(xué)生可以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。眾所周知，邏輯推理能力是高中立體幾何非常重要的一種能力，其中合情推理（分類、類比）占有非常大的比例。因此本節(jié)課的設(shè)計(jì)即是新知的探究，也是促進(jìn)立體幾何能力的培養(yǎng)和提升的實(shí)踐設(shè)計(jì)。

五、結(jié)語(yǔ)

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的參與程度，容易激起學(xué)生的求知欲，活躍思維，能達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)、自主創(chuàng)新思維的學(xué)習(xí)目的。通過(guò)設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，利用問(wèn)題層層遞進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生探究正方體的截面，可有效幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)。在問(wèn)題串的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)探究活動(dòng)和動(dòng)手實(shí)踐驗(yàn)證充滿興趣，學(xué)習(xí)積極性得到極大激發(fā)，可有效提高探究能力和思維能力，邏輯思維與學(xué)習(xí)效果也能得到有效提升。