矩陣能量與其跡的關(guān)系研究

金旭梅,李崇民,李 靜

(青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,青海 西寧 810016)

利用矩陣的跡的不等式[1-4]，文獻(xiàn)[5]給出Kronecker積上的一個(gè)矩陣不等式和文獻(xiàn)[6]解決了Ando關(guān)于特征值的Bloomfield-Watson型不等式的三個(gè)問題，并推廣了Kantorovich不等式.文獻(xiàn)[7]通過多級蒙特卡羅方法隨機(jī)估計(jì)多重網(wǎng)格的跡.

跡作為矩陣的一個(gè)重要的相似不變量，與矩陣的特征根相關(guān)的不變量存在密切聯(lián)系.當(dāng)矩陣A是圖G的鄰接矩陣，則所有特征根的絕對值之和是圖G的圖能量[8].當(dāng)矩陣A是有向圖D的鄰接矩陣，則所有特征根的實(shí)部之和是圖D的有向圖能量[9].因?yàn)閳D的鄰接矩陣的特征根都是實(shí)數(shù)，所以圖能量是有向圖能量的特殊情形.事實(shí)上，有向圖能量可以推廣到更一般的情形，定義如下矩陣能量：

圖能量在化學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理和生物學(xué)領(lǐng)域存在廣泛的應(yīng)用，相關(guān)的結(jié)果比較豐富[10-13].國外學(xué)者Rada利用矩陣的跡研究了關(guān)于有向圖鄰接矩陣的跡與特征根的關(guān)系[14]，獲得了關(guān)于有向圖能量緊的下界,并刻畫了具有最小有向圖能量的有向圖.更多的關(guān)于有向圖能量的研究，我們可以在文獻(xiàn)[15-17]中找到.

進(jìn)一步的，為探索矩陣的跡與特征根的更一般的性質(zhì)，本文通過二次型展開式和實(shí)部與虛部的比較等方式，探討了矩陣特征根與跡的關(guān)系,獲得若干用矩陣的跡來表示的矩陣能量的下界.基于矩陣能量與其跡的關(guān)系，本文展示了矩陣能量在簡單圖和有向圖中的應(yīng)用.

1 基于實(shí)特征根的矩陣能量

定理1.1[14]設(shè)A是n×n的復(fù)矩陣，特征值為z1,z2,……,zn，則

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)A是冪零矩陣或者所有z1,z2,……,zn都是實(shí)數(shù)，僅只有兩個(gè)特征值是非零且它們的符號相反.

推論1.2 設(shè)A是n×n的實(shí)矩陣,如果對應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)λ1,λ2,……,λn，則

推論1.2得到了E(A)2關(guān)于矩陣的跡不等式，下面我們考慮E(A)3.

定理1.3 設(shè)A是n×n的實(shí)矩陣，如果對應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)λ1,λ2,……,λn，則

觀察上述結(jié)果，E(A)2和E(A)3都能與矩陣的跡存在關(guān)系.接下來繼續(xù)討論E(A)4的情形.

定理1.4 設(shè)A是n×n的實(shí)矩陣，如果對應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)λ1,λ2,……,λn，則

證明由推論1.2可得，則

因?yàn)?/p>

所以tr(A2)tr(A2)≥tr(A4).因此

更一般地考慮分別按矩陣能量的偶數(shù)次方和奇數(shù)次方來討論矩陣能量與跡之間的關(guān)系.

定理1.5 設(shè)A是n×n的實(shí)矩陣，如果對應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)λ1,λ2,……,λn，則

其中：k=1,2,…,n和1≤s≤k.

因?yàn)?/p>

定理1.6 設(shè)A是n×n的實(shí)矩陣，如果對應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)λ1,λ2,……,λn，則

其中:k=1,2,…,n和1≤s≤k.

當(dāng)取矩陣能量的奇數(shù)次方時(shí)，如果我們把矩陣A看作圖的鄰接矩陣，那么tr(A)=0定理1.6中的不等式就可以簡化成E(A)2k+1≥2ktr(A2k+1).

2 基于復(fù)特征根的矩陣能量

前面討論了基于實(shí)特征根的矩陣能量與跡的關(guān)系，接下來討論基于復(fù)特征根的矩陣能量與跡的關(guān)系.

定理2.1 設(shè)A是n×n的復(fù)矩陣，特征值為z1,z2,……,zn, 則

其中：zj=aj+ibj，1≤j≤n.

證明已知

因此

當(dāng)特征根有復(fù)數(shù)時(shí)，通過比較實(shí)部大小以及利用實(shí)部與虛部的乘積，得到矩陣能量與跡的關(guān)系.

定理2.2 設(shè)A是n×n的復(fù)矩陣，特征值為z1,z2,……,zn，其中zj=aj+ibj，1≤j≤n.此外，滿足

證明由定理1.1可得，有

又因?yàn)?/p>

……

因此

即有

3 矩陣能量的圖應(yīng)用

基于第一節(jié)和第二節(jié)的結(jié)論，本節(jié)將前兩節(jié)結(jié)論應(yīng)用到簡單圖和有向圖的情形.

當(dāng)矩陣A是簡單圖G的鄰接矩陣時(shí)，顯然有tr(A)=0，應(yīng)用定理1.5可得E(A)2k≥2ktr(A2k).

例3.1如圖1所示，圖G1為頂點(diǎn)數(shù)為6的圖.通過直接計(jì)算可得，Spec(G1)={3,1,-2,-2,0,0},E(A)=8.

同理，當(dāng)矩陣A是簡單圖G的鄰接矩陣時(shí)，由定理1.6可得E(A)2k+1≥2ktr(A2k+1).

例3.2如圖2所示，圖G2為頂點(diǎn)數(shù)為8的圖，通過計(jì)算可得

當(dāng)矩陣A是有向圖D的鄰接矩陣時(shí)，則Retr(A)=0.應(yīng)用定理2.1可得

例3.3如圖3所示，圖D1為頂點(diǎn)數(shù)為7的有向圖，

圖1 簡單圖G1 圖2 簡單圖G2 圖3 有向圖D1

備注：本工作由如下單位及項(xiàng)目資助.青海省部共建藏語智能信息處理及應(yīng)用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；藏文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；青海人民政府—北京師范大學(xué)高原科學(xué)與可持續(xù)發(fā)展研究院；111引智計(jì)劃(D20035).