感悟數(shù)形結(jié)合 體味數(shù)學(xué)魅力

毛國(guó)榮

[摘? 要] 基于理論研究與教學(xué)實(shí)踐，文章提出數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用——以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形象化;以數(shù)解形，實(shí)現(xiàn)幾何規(guī)律顯性化;數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;小學(xué)數(shù)學(xué);概念;幾何

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，華羅庚先生所言鮮明生動(dòng)地說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，不但能夠使數(shù)學(xué)概念形象化、幾何規(guī)律顯性化，更能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。筆者將從三個(gè)角度論述數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的基本策略，力圖進(jìn)一步豐富數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

一、以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形象化

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教學(xué)的重要任務(wù)之一。然而，小學(xué)生形象思維的具象性與數(shù)學(xué)概念的抽象性似乎是一對(duì)難以調(diào)和的矛盾。數(shù)形結(jié)合的思想為解決這一矛盾提供了嶄新的思路。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程中，教師要善于把抽象的數(shù)學(xué)概念通過(guò)直觀形象的幾何圖形呈現(xiàn)出來(lái)，以“形”助“數(shù)”，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的直觀化、趣味化、形象化。

如，“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)節(jié)選。

師：對(duì)，把一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。在這里，“一個(gè)整體”也可以稱之為單位“1”。同學(xué)們，我在此處的“1”的左右加了雙引號(hào)，這說(shuō)明了什么呢？

生1：說(shuō)明單位“1”并不是指具體的數(shù)量，它可以指一個(gè)，也可以指很多個(gè)的集合。

師：對(duì)。

生：不能。

師：為什么呢？這不是把一個(gè)整體分成4份，取出其中的3份嗎？

生1：必須是把一個(gè)整體平均分成4份才可以，這個(gè)三角形顯然不是被平均分成4份。

師：你真聰明。我們掌握分?jǐn)?shù)最關(guān)鍵的就是要掌握單位“1”和“平均分”的含義。

從范疇上來(lái)看，“分?jǐn)?shù)的意義”屬于代數(shù)內(nèi)容。然而，分?jǐn)?shù)其本身具有很強(qiáng)的抽象性，在初次接觸學(xué)習(xí)時(shí)，小學(xué)生往往會(huì)感到困惑不已。在之前的教學(xué)節(jié)選中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖的方式，使學(xué)生按照自己的思路畫(huà)出1個(gè)正方形、1個(gè)圓，9個(gè)圓，12根骨頭等圖形來(lái)表示，教師趁勢(shì)通過(guò)圖形直觀形象地闡釋了單位“1”的含義，排除了學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義的一大障礙。另外，教師通過(guò)變式，提供反例，向?qū)W生解釋了“平均分”的含義，進(jìn)而排除了學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義的另一障礙。不難發(fā)現(xiàn)，教師通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生逐一排除理解的障礙，彰顯了數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)生概念學(xué)習(xí)中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和魅力。

二、以數(shù)解形，實(shí)現(xiàn)幾何規(guī)律顯性化

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)中知識(shí)內(nèi)容極為豐富的重要板塊?！靶紊贁?shù)時(shí)難入微”，即缺乏精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)支撐，幾何圖形的本質(zhì)特征就難以被描述。教師在講述這部分內(nèi)容時(shí)，要注意把圖形的直觀性與數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)性和可操作性緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式使學(xué)生更加深刻地了解圖形的本質(zhì)。

如，“長(zhǎng)方形面積”教學(xué)節(jié)選。

師：同學(xué)們，張師傅用20根1米長(zhǎng)的竹竿圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的花圃，他能夠圍成幾種不同規(guī)格的花圃呢？哪種規(guī)格的花圃面積最大？

生1：“20根1米長(zhǎng)的竹竿”說(shuō)明這個(gè)長(zhǎng)方形花圃的周長(zhǎng)是20米。

生2：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的和是10米。

生3：我們可以通過(guò)畫(huà)圖、列表格的方式來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

師：對(duì)，同學(xué)們可以畫(huà)出滿足條件的所有長(zhǎng)方形，看看這些長(zhǎng)方形的面積有什么特點(diǎn)？

生1：通過(guò)畫(huà)圖并列表格（見(jiàn)表1），我發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律，由于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20米，所以它的長(zhǎng)加寬的和是個(gè)固定數(shù)（10米），也就是說(shuō)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)越大，它的寬就越小。

師：你還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：我還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定時(shí)，它的長(zhǎng)和寬的差越大，它的面積就越小。反過(guò)來(lái)說(shuō)，它的長(zhǎng)和寬的差越小，它的面積就越大。

師：你能舉例說(shuō)明你的觀點(diǎn)嗎？

生1：比如，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是9米，寬是1米時(shí)，長(zhǎng)與寬的差是9-1=8（米），它的面積是9×1=9（平方米）;當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8米，寬是2米時(shí)，長(zhǎng)與寬的差是8-2=6（米），它的面積是8×2=16（平方米）;當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6米，寬是4米時(shí)，長(zhǎng)與寬的差是6-4=2（米），它所對(duì)應(yīng)的面積是6×4=24（平方米）。

師：的確是這樣。那什么時(shí)候長(zhǎng)方形的面積最大呢？

生1：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬相等的時(shí)候，也就是長(zhǎng)方形成為正方形的時(shí)候，它的面積達(dá)到了最大。所以，張師傅一共能夠圍成5種不同規(guī)格的長(zhǎng)方形，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是5米時(shí)，它的面積最大，是25平方米。

師：對(duì)。通過(guò)上面的分析我們可以得出這樣的結(jié)論，即當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定時(shí)，它的長(zhǎng)和寬越接近，面積就越大。當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于寬時(shí)，它的面積達(dá)到了最大值。

寓形于數(shù)，賦予幾何圖形以直觀的特質(zhì)，使得隱含在幾何圖形內(nèi)部的規(guī)律以“數(shù)”的形式顯現(xiàn)出來(lái)。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)寓形于數(shù)的方式，使得幾何圖形的本質(zhì)規(guī)律逐漸變得清晰、明朗起來(lái)。通過(guò)畫(huà)圖、析圖，學(xué)生不但自主探索到了圖形的內(nèi)部規(guī)律，還熟練了動(dòng)手操作的能力，找到了數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的新思路。

三、數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

受思維水平和認(rèn)知能力的制約，小學(xué)生面對(duì)一些比較抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往難以對(duì)其中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系作出正確的判斷，進(jìn)而導(dǎo)致無(wú)法高效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思路，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)直觀的線段圖、表格、示意圖等形式厘清各個(gè)數(shù)量之間的聯(lián)系，從而尋找新的突破點(diǎn)。

如，分?jǐn)?shù)加法和減法教學(xué)節(jié)選。

師：笑笑很喜歡喝牛奶。這天媽媽為笑笑準(zhǔn)備了1杯牛奶，當(dāng)喝了半杯后，感覺(jué)太涼了，于是她就在杯子里倒?jié)M熱水又喝了半杯。請(qǐng)問(wèn)，此時(shí)笑笑一共喝了多少杯奶，喝了多少杯水？

生1：這道題里的數(shù)據(jù)可真亂呀！

生2：是呀，我真不知道從哪里入手呢！

生3：我感覺(jué)我們或許可以畫(huà)圖先理清題目意思。

師：同學(xué)們一定感覺(jué)這道題無(wú)從下手，那么，老師提示一下，可以采用數(shù)形結(jié)合的思路來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

生1：畫(huà)圖解題的辦法真好，它使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了。

這一道數(shù)學(xué)題目的各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系不可謂不復(fù)雜。但是，數(shù)形結(jié)合的解題辦法使得復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單化，使得盤(pán)根錯(cuò)節(jié)的解題過(guò)程變得條理化，從而使學(xué)生能快速看透相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而順利解答問(wèn)題。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的靈活轉(zhuǎn)化，能夠最大限度地降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度，也能有效地拓展學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

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