于“變”中尋其“宗”

白楊 翟秀蕊

摘? 要：針對(duì)“圖形的變化”領(lǐng)域的試題，根據(jù)2021年部分省、市中考數(shù)學(xué)試卷中的典型題目，總結(jié)出五個(gè)方面的特點(diǎn)，即重視基本性質(zhì)、貼近實(shí)際生活、抓住不變本質(zhì)、考查探究能力、培養(yǎng)全面思維，并逐一進(jìn)行例題的解答和分析說(shuō)明. 對(duì)解題方法進(jìn)行提煉總結(jié)后，得到的解題經(jīng)驗(yàn)是：回歸教材基礎(chǔ)、剖析基本性質(zhì)、查看前題提示、類(lèi)比解題方法、關(guān)注核心元素、探究變化規(guī)律.

關(guān)鍵詞：典型例題;解法分析;基本模型;回歸教材

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，“圖形的變化”是一類(lèi)以圖形為教學(xué)和考查的載體，以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟變化過(guò)程中的不變量為主要目的的學(xué)習(xí)活動(dòng). 命題專(zhuān)家在設(shè)計(jì)“圖形的變化”的題目時(shí)，一般是從“圖形變化的方式”入手，結(jié)合平時(shí)的動(dòng)手操作、構(gòu)建基本圖形，注重尋找題目中圖形變化的本質(zhì)，從而解決問(wèn)題. 近年來(lái)，“圖形的變化”領(lǐng)域的試題形式較為穩(wěn)定，但試題命制者仍在根據(jù)最新教育理念和改革風(fēng)向不斷探索和創(chuàng)新，以便更好地達(dá)到課程設(shè)置的要求和目標(biāo).

一、試題分析

從2021年各省、市中考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，“圖形的變化”領(lǐng)域的試題一般以問(wèn)題串的形式出現(xiàn)，難度層層遞進(jìn)，題目注重體現(xiàn)基本圖形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注重學(xué)生的閱讀和動(dòng)手操作能力，注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，注重知識(shí)點(diǎn)的遷移創(chuàng)新，考查學(xué)生獨(dú)立面對(duì)全新數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究能力，為學(xué)生更高階段自主學(xué)習(xí)鋪路.

通過(guò)題中數(shù)據(jù)列方程就可以求得建筑物高.

【評(píng)析】此題主要考查三角函數(shù)和一元一次方程，題目以測(cè)量建筑物高為背景呈現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性，解題的關(guān)鍵是尋找兩個(gè)直角三角形的公共邊，并用公共邊表示其他未知量，最后通過(guò)方程即可求解.

3. 透過(guò)變化因素，抓住不變本質(zhì)

例3 （浙江·嘉興卷）小王在學(xué)習(xí)浙教版九年級(jí)上冊(cè)教材第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0° < α ≤ 90°），得到矩形AB′C′D′，連接BD.

（3）在第（2）小題的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究圖形中線段之間的關(guān)系，如圖3（2），通過(guò)連接AM可得△AMD′與△AMD全等. 進(jìn)而得到∠NMA與∠NAM之間的相等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了線段AN與MN之間的轉(zhuǎn)化，最后通過(guò)△NPA與△NAD相似得到題中三條線段的關(guān)系.

【評(píng)析】試題考查了三角形角之間的關(guān)系、矩形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的判定和應(yīng)用. 以矩形旋轉(zhuǎn)的位置變化這一動(dòng)態(tài)過(guò)程為線索，結(jié)合教材的基礎(chǔ)知識(shí)考查學(xué)生獨(dú)立思考，活學(xué)活用教材知識(shí)，發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力.例如，第（1）小題中，抓住旋轉(zhuǎn)之后三點(diǎn)共線，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不變的幾何量——角，于是得到相似三角形. 第（2）小題表面上與第（1）小題有差異，但本質(zhì)還是用了旋轉(zhuǎn)之后長(zhǎng)度、角度不變，通過(guò)平行線轉(zhuǎn)換角，找到全等三角形. 第（3）小題在第（2）小題的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究圖形中三條線段之間的關(guān)系，三條線段之間的關(guān)系通常有兩短線段的和等于最長(zhǎng)線段、兩短線段的平方和等于最長(zhǎng)線段的平方、中間線段是最長(zhǎng)與最短線段的比例中項(xiàng)等. 先說(shuō)第一種關(guān)系，則需要證明DM = PN，也就是證明△ADM ≌ △NAP，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形全等后得到的是AP = DM，并不是DM = PN;再說(shuō)第二種關(guān)系，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)以最長(zhǎng)線段DN為斜邊的直角三角形旋轉(zhuǎn)前后都不存在;最后是第三種關(guān)系，結(jié)合圖形，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)這三條線段在同一條直線上，需要轉(zhuǎn)化為非共線關(guān)系，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)MN與AN看起來(lái)差不多相等，所以結(jié)合第（2）小題中角之間的關(guān)系可證MN = AN，最后通過(guò)母子型△NPA與△NAD相似就得到題中三條線段的關(guān)系了.

【評(píng)析】這道題將這四條線段順次首尾相接.把其中一條固定，讓其他線段隨著其中一條線段的旋轉(zhuǎn)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段旋轉(zhuǎn)到不同的位置時(shí)，研究線段和角之間的關(guān)系. 這類(lèi)試題的難點(diǎn)主要在于當(dāng)線段旋轉(zhuǎn)到既定位置時(shí)，需先確定其他線段的位置，進(jìn)而根據(jù)已知條件求解. 例如，“發(fā)現(xiàn)”這一問(wèn)題，需要學(xué)生先畫(huà)出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為60°時(shí)，其余相關(guān)線段的位置，而這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中先制作教具進(jìn)行演示，提升學(xué)生的空間想象能力. 要求學(xué)生動(dòng)手把圖形的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)圖形畫(huà)出來(lái)，就是圖形每旋轉(zhuǎn)一個(gè)小的角度都要按照線段之間的關(guān)系畫(huà)出圖形，觀察是否符合題意，從而得到正確的圖形. 經(jīng)過(guò)不斷的訓(xùn)練和積累，圖形在學(xué)生眼里就會(huì)運(yùn)動(dòng)起來(lái)，學(xué)生的空間想象能力就逐漸建立起來(lái)了，積累了畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題就可以應(yīng)付自如了.

這類(lèi)題目能夠初步考查學(xué)生獨(dú)立面對(duì)全新數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究能力，為學(xué)生更高階段的自主學(xué)習(xí)鋪路，為學(xué)生終身發(fā)展服務(wù)，在2021年各省、市中考數(shù)學(xué)試題中得到了應(yīng)有的重視.

分別計(jì)算，即可解得點(diǎn)D的坐標(biāo).

【評(píng)析】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜邊中線定理等相關(guān)知識(shí)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，試題注重線段長(zhǎng)度與點(diǎn)坐標(biāo)的融合，彰顯了用代數(shù)方法解幾何問(wèn)題的優(yōu)勢(shì). 學(xué)生在解題時(shí)要注意利用坐標(biāo)計(jì)算線段的長(zhǎng)度，可以起到事半功倍的效果. 例如，第（2）小題第①問(wèn)可以設(shè)D，E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)表達(dá)式得到DE，DF的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到二次函數(shù)表達(dá)式，求得最大值. 第（2）小題第②問(wèn)以點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)為切入點(diǎn)，利用直角三角形斜邊中線是斜邊的一半，認(rèn)識(shí)到相似中的原始三角形AOG是等腰三角形，所以以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形也是等腰三角形，從而打開(kāi)解題突破口.

二、解法分析

求解“圖形的變化”領(lǐng)域的試題時(shí)關(guān)鍵要把握三點(diǎn)：一是回歸教材基礎(chǔ)，剖析基本性質(zhì)，在復(fù)雜的圖形變化中辨識(shí)對(duì)應(yīng)教材中的知識(shí)考查要點(diǎn)，回憶教材上的基本性質(zhì)，再根據(jù)題中條件求解;二是查看前題提示，類(lèi)比解題方法，關(guān)注漸次遞進(jìn)問(wèn)題的基本解題思路，進(jìn)行數(shù)學(xué)方法的類(lèi)比遷移，從而根據(jù)前題解后題;三是關(guān)注核心元素，探究變化規(guī)律，抓住問(wèn)題產(chǎn)生過(guò)程中的不變本質(zhì)，關(guān)注圖形平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)中的變與不變，回憶學(xué)過(guò)的特殊條件下的解題思路，補(bǔ)充必要的全等三角形或相等角求解.

1. 回歸教材基礎(chǔ)，剖析基本性質(zhì)

例6 （四川·成都卷）如圖7，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE = 3，按以下步驟操作：

第一步，沿直線EF翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，則線段BF的長(zhǎng)為_(kāi)_________;

第二步，分別在EF，A′B′上取點(diǎn)M，N，沿直線MN繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段MN的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

解析：此題以軸對(duì)稱(chēng)為背景，所以應(yīng)從軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)入手，逐一對(duì)照性質(zhì)找到解題突破口，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)3是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，通過(guò)作垂線構(gòu)造相似三角形，如圖8（1）所示. 由△FEG ∽ △ACD，可得[FGEG=ADCD]，易得BF的長(zhǎng)度. 繼續(xù)翻折，依然是從軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)入手，由對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，得MN⊥EF，MN∥AC. 求MN，需再次作垂線構(gòu)造直角三角形，作MH⊥A′B′，如圖8（2）所示. 利用梯形中位線性質(zhì)，得MH = 2. 再由△MNH ∽ △ACD，即可求得MN的長(zhǎng)度.

三、試題解法賞析

作為中考?jí)狠S題之一的“圖形的變化”模塊解答題，命題者在設(shè)計(jì)條件之初就給足了學(xué)生思考的空間，為學(xué)生多法求解留下充足余地. 一道好題可以從不同角度、按不同思路、用不同方法給出解答，經(jīng)常思考多種解法可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題思路，不斷提升其解題能力.因而，一線教師在日常教學(xué)中要多引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生思考一道習(xí)題的多種解法，這是提升學(xué)生能力的重要教學(xué)方法. 以下是一例優(yōu)秀試題的多種解答，供大家參考.

例9 （山西卷）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖14（1），在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

獨(dú)立思考：（1）試解答老師提出的問(wèn)題;

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將?ABCD沿著B(niǎo)F（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖14（2）所示. 點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，連接DC′并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)G，試判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖14（3）所示. 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，使A′B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A′M，交CD于點(diǎn)N. 該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此?ABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB = 5，BC =[25]，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.試思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果.

【賞析】此題是以平行四邊形為背景的綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，要求學(xué)生能夠熟練掌握從復(fù)雜題目中提煉知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用常見(jiàn)的解決方法逐個(gè)擊破，綜合解決問(wèn)題.題目給出的條件較為寬泛，因而此題的解題思路眾多，學(xué)生觀察圖形變化的角度和對(duì)題干條件分析的側(cè)重點(diǎn)不同，解法也就五花八門(mén)，這些方法大都來(lái)自復(fù)習(xí)過(guò)程中常見(jiàn)的解題策略. 其中，根據(jù)圖形合理猜想，從問(wèn)題本身入手思考是十分便捷的解法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在遇到難題時(shí)多多思考和運(yùn)用. 另外，在備考過(guò)程中重視一題多解有利于發(fā)散思維，應(yīng)對(duì)考場(chǎng)上出現(xiàn)的新題、難題，往往可以事半功倍，教師也應(yīng)定期組織，在課堂上安排學(xué)生自主思考多樣的解法.

綜上，2021年各地中考數(shù)學(xué)試卷中“圖形的變化”領(lǐng)域的試題有著基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性等特點(diǎn)，在考查基礎(chǔ)、方法、經(jīng)驗(yàn)和能力上大做文章，狠下功夫，全面貫徹落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》中要求教師回歸教材、重視基礎(chǔ)的同時(shí)提升學(xué)生綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的基本理念. 今后，在“圖形的變化”領(lǐng)域，優(yōu)秀的試題不僅要求學(xué)生有更扎實(shí)的基本功，對(duì)各類(lèi)性質(zhì)有更高的熟悉度，還將進(jìn)一步加大數(shù)學(xué)應(yīng)用的比例，即對(duì)學(xué)生綜合處理信息、排除無(wú)用條件、快速篩查有用條件的能力要求更高. 更加有利于學(xué)生提高能力、提升素養(yǎng)、增長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展. 對(duì)學(xué)生的更高要求意味著一線教學(xué)需要教師具備更高的教學(xué)水平，今后教師在注重“四基”和“四能”教學(xué)的基礎(chǔ)上，一定要嚴(yán)格落實(shí)“圖形的變化”領(lǐng)域的教學(xué)要求，落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念和評(píng)價(jià)要求，更多地鞏固教材基礎(chǔ)，傳承數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，厚植數(shù)學(xué)情懷，以中考數(shù)學(xué)試題中“圖形的變化”的內(nèi)容為載體，緊跟數(shù)學(xué)教學(xué)改革大潮，為未來(lái)的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)充滿(mǎn)生機(jī)和活力的新局面.

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