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    分析重抓手 解題謀策略

    2022-03-21 17:11:54蔡世英陳中峰
    關(guān)鍵詞:中考試題試題分析

    蔡世英 陳中峰

    摘? 要:“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是運用統(tǒng)計思想解決實際問題的重要一環(huán). 文章摘選了2021年全國各地中考部分“抽樣與數(shù)據(jù)分析”中考試題進行試題分析、解法分析,梳理題型,分析試題特點,歸納試題解法,凝練統(tǒng)計素養(yǎng)的基本要求,落實應(yīng)用意識,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

    關(guān)鍵詞:中考試題;試題分析;解法分析;解法賞析

    抽樣與數(shù)據(jù)分析是為了提取有用信息和形成結(jié)論而對數(shù)據(jù)加以詳細研究和概括總結(jié)的過程. 2021年全國各地中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的考查根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)的要求,注重在實際生活情境下對數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述、分析和應(yīng)用,滲透數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用意識,關(guān)注數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的養(yǎng)成,感悟統(tǒng)計分析的數(shù)學(xué)理念. 本文摘選了2021年全國各地中考試題中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分試題進行分析、歸納與總結(jié),以饗讀者.

    一、試題分析

    1. 立足概念理解,關(guān)注知識遷移

    《標準》指出,學(xué)好數(shù)學(xué)知識應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上和知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化對數(shù)學(xué)知識的理解,從而達到知識的遷移. 2021年全國各地中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題能注重基本概念的考查,對平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義等基本概念進行考查,此類試題解題的關(guān)鍵是能精準掌握概念,精確使用公式,綜合運用統(tǒng)計知識解題.

    例1 (湖南·衡陽卷)為了向建黨一百周年獻禮,某市中小學(xué)生開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽. 某參賽小組6名同學(xué)的成績(單位:分)分別為:85,82,86,82,83,92. 關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列說法錯誤的是(? ? ).

    (A)眾數(shù)是82 (B)中位數(shù)是84

    (C)方差是84 (D)平均數(shù)是85

    【評析】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義. 平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個數(shù);眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù);中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)(或最中間兩個數(shù)的平均數(shù));方差是指一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù). 若能理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義,則容易得到答案,此題答案為選項C.

    例2 (上海卷)商店準備一種包裝袋來包裝大米,經(jīng)市場調(diào)查以后,作出如圖1所示的統(tǒng)計圖,試問選擇什么樣的包裝最合適(? ? ).

    (A)2 kg / 包 (B)3 kg / 包

    (C)4 kg / 包 (D)5 kg / 包

    【評析】此題考查了條形統(tǒng)計圖及眾數(shù)的概念,要求學(xué)生具備讀圖能力. 由圖象的信息及眾數(shù)的概念容易知道,眾數(shù)落入的范圍是1.5 kg~2.5 kg,從選項中容易確定符合題意的答案. 先確定眾數(shù)的大致位置,再決定具體哪個數(shù)是眾數(shù),此題的考法讓人耳目一新,需要對眾數(shù)的知識概念進行遷移,符合“能利用頻數(shù)分布直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊含的信息”的《標準》要求. 故此題答案為選項A.

    2. 立足統(tǒng)計方式,關(guān)注解法選擇

    2021年全國各地中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題考查實際問題情境下統(tǒng)計方式的選擇與使用,以及統(tǒng)計量的現(xiàn)實意義,要求學(xué)生能掌握相關(guān)統(tǒng)計量的計算方法,并注意解法的歸納.

    例3 (福建卷)某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽,對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分,具體成績(百分制)如表1所示.

    如果按照創(chuàng)新性占60%、實用性占40%計算總成績,并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦,那么應(yīng)推薦的作品是(? ? ).

    (A)甲 (B)乙

    (C)丙 (D)丁

    【評析】此題以“科技創(chuàng)新”比賽為背景命制試題,考查了運用加權(quán)平均數(shù)解決實際問題,旨在引導(dǎo)學(xué)生于“德智體美勞”五育中全面發(fā)展. 方法1:通過甲、丙、丁的成績對比可先去掉甲與丁,直接比較乙與丙,由創(chuàng)新性的權(quán)重大于實用性的權(quán)重,可知乙的總成績必然大于丙的總成績. 方法2:計算出四人的總成績分別為90,93,92,88,易知乙的總成績最高,故此題答案為選項B.

    例4 (內(nèi)蒙古·鄂爾多斯卷)小明收集了鄂爾多斯市某酒店2021年3月1日~3月6日每天的用水量(單位:噸),整理并繪制成如圖2所示的折線統(tǒng)計圖,下列結(jié)論正確的是(? ? ).

    下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中,與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是(? ? ).

    (A)平均數(shù),方差 (B)中位數(shù),方差

    (C)中位數(shù),眾數(shù) (D)平均數(shù),眾數(shù)

    【評析】此題以建黨一百周年黨史知識競賽為背景命制,以缺失部分數(shù)據(jù)的不完整表格作為已知條件,解題的關(guān)鍵是計算出被遮蓋的數(shù)據(jù)和. 容易發(fā)現(xiàn),表格中成績數(shù)據(jù)排列已按從小到大的順序排列,被遮蓋的兩個數(shù)據(jù)91分、92分的人數(shù)和為3,成績?yōu)?00分的人數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多,因此成績的眾數(shù)是100. 成績從小到大排列后處在第25,26位的兩個數(shù)都是98,因此中位數(shù)是98,中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān),故此題答案為選項C.

    3. 立足“三圖一表”,關(guān)注圖表閱讀

    初中統(tǒng)計圖表主要體現(xiàn)為“三圖一表”,即折線統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖,以及統(tǒng)計表. 各種統(tǒng)計圖表都有各自的特點,在實際生活中有不同的應(yīng)用. 2021年全國各地中考試題在統(tǒng)計圖表方面的考查仍然體現(xiàn)在統(tǒng)計圖表之間的相互聯(lián)系,須經(jīng)過讀圖、識圖獲得信息,畫(補)圖分析數(shù)據(jù),經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動,同時了解數(shù)據(jù)處理的必要性.

    例6 (湖北·隨州卷)圖3是小明某一天測得的7次體溫情況的折線統(tǒng)計圖,下列信息不正確的是(? ? ).

    (A)測得的最高體溫為37.1℃

    (B)前3次測得的體溫在下降

    (C)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是36.8

    (D)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是36.6

    【評析】此題考查了折線統(tǒng)計圖,眾數(shù)與中位數(shù)的計算方法,以及學(xué)生的讀圖與析圖能力. 從圖中容易知道選項A、選項B正確,且出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)36.8是眾數(shù),故選項C也正確. 中位數(shù)是指排序后最中間的數(shù)據(jù),即排序后第4個數(shù)據(jù)36.8是中位數(shù),則選項D不正確,故此題答案為選項D.

    例7 (湖北·黃岡卷)高爾基說:“書,是人類進步的階梯.”閱讀可以豐富知識,拓寬視野,給我們帶來愉悅. 英才中學(xué)計劃在各班設(shè)立圖書角,為合理搭配各類書籍,對全校學(xué)生進行抽樣調(diào)查,收集整理喜愛的書籍類型(A. 科普,B. 文學(xué),C. 體育,D. 其他),繪制出如圖4、圖5所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,則下列說法錯誤的是(? ? ).

    (A)樣本容量為400

    (B)類型D所對應(yīng)的扇形的圓心角為36°

    (C)類型C所占百分比為30%

    (D)類型B的人數(shù)為120人

    【評析】此題以設(shè)立圖書角為背景命制,以統(tǒng)計圖的方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù),考查樣本容量、頻數(shù)、頻率的關(guān)系,以及統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間的相互轉(zhuǎn)換,需要具備一定的讀圖、識圖及分析推理能力. 根據(jù)A類100人占25%可計算出樣本容量為400,根據(jù)D類占10%可計算其所對扇形的圓心角度數(shù)為[36°],根據(jù)C類140人 ÷ 總樣本容量400即可得所占百分比[35%],故選項C錯誤,總樣本容量減去A,C,D三類人數(shù)即可得B類人數(shù)120人. 此題答案為選項C.

    例8 (湖南·邵陽卷)某社區(qū)針對5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開展了問卷調(diào)查,共收回6 000份有效問卷.經(jīng)統(tǒng)計,制成如表3所示的數(shù)據(jù)表格.

    小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比.下面是制作扇形統(tǒng)計圖的步驟(順序打亂):

    ① 計算各部分扇形的圓心角分別為[126°],[136.8°],[79.2°],[18°].

    ② 計算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%,38%,22%,5%.

    ③ 在同一個圓中,根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形,并注明各部分的名稱及相應(yīng)的百分比.

    如圖6,制作扇形統(tǒng)計圖的步驟排序正確的是(? ? ).

    (A)②①③ (B)①③②

    (C)①②③ (D)③①②

    【評析】此題考查扇形統(tǒng)計圖的制作步驟,根據(jù)制作步驟即可求解. 通過考查抽樣調(diào)查中制作圖表的具體制作程序,此類試題具有可操作性的實際意義,此題答案為選項A.

    4. 立足實際案例,強化應(yīng)用意識

    數(shù)學(xué)知識是解決實際問題的工具,尤其是統(tǒng)計知識與實際生活密切相關(guān). 2021年全國各地區(qū)中考試題中不乏運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的試題,而“抽樣與數(shù)據(jù)分析”知識最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價值.

    例9 (浙江·臺州卷)超市貨架上有一批大小不一的雞蛋,某顧客從中選購了部分大小均勻的雞蛋,設(shè)貨架上原有雞蛋的質(zhì)量(單位:g)平均數(shù)和方差分別為[x],[s2],該顧客選購的雞蛋的質(zhì)量平均數(shù)和方差為[x1],[s21],則下列結(jié)論一定成立的是(? ? ).

    【評析】此題以顧客在超市中選購雞蛋為背景命制,顧客所選購的雞蛋大小均勻,即雞蛋質(zhì)量數(shù)據(jù)比較整齊,可推斷相應(yīng)的方差[s21]一定比貨架上原有雞蛋質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差[s2]小,則一定成立的是[s2>s21]. 故此題答案為選項C.

    例10 (湖南·常德卷)舒青是一名觀鳥愛好者,他想要用折線統(tǒng)計圖來反映中華秋沙鴨每年秋季到當?shù)乇芎蕉臄?shù)量變化情況,以下是排亂的統(tǒng)計步驟:① 從折線統(tǒng)計圖中分析出中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉淖兓厔?② 從當?shù)刈匀槐Wo區(qū)管理部門收集中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量記錄;③ 按統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)繪制折線統(tǒng)計圖;④ 整理中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量并制作統(tǒng)計表.正確統(tǒng)計步驟的順序是(? ? ).

    (A)②→③→①→④

    (B)③→④→①→②

    (C)①→②→④→③

    (D)②→④→③→①

    【評析】此題考查制作折線統(tǒng)計圖的實際操作步驟,具有現(xiàn)實意義. 根據(jù)數(shù)據(jù)的收集、整理、制作折線統(tǒng)計圖及由統(tǒng)計圖分析結(jié)果等步驟可得答案. 此題答案為選項D.

    例11 (黑龍江·綏化卷)近些年來,移動支付已成為人們的主要支付方式之一. 某企業(yè)為了解員工某月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從企業(yè)2 000名員工中隨機抽取了200人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有10人,樣本中僅使用A種支付方式和僅使用B種支付方式的員工支付金額a(元)分布情況如表4所示.

    下面有四個推斷:

    ① 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計,企業(yè)2 000名員工中,同時使用A,B兩種支付方式的為800人;

    ② 本次調(diào)查抽取的樣本容量為200人;

    ③ 樣本中僅使用A種支付方式的員工,該月支付金額的中位數(shù)一定不超過1 000元;

    ④ 樣本中僅使用B種支付方式的員工,該月支付金額的眾數(shù)一定為1 500元.

    其中正確的是(? ? ).

    (A)①③ (B)③④

    (C)①② (D)②④

    【評析】此題考查數(shù)據(jù)的簡單隨機抽樣,體會抽樣的必要性. 涉及的統(tǒng)計知識有樣本容量、中位數(shù)、眾數(shù)等核心內(nèi)容. 在①中,體會用樣本估計總體的思想,需具備推斷能力,先求得樣本中同時使用A,B兩種支付方式的有80人;在②中,由已知可知樣本容量為200,但樣本容量無單位;在③中,利用中位數(shù)的定義可以直接判斷;在④中,根據(jù)眾數(shù)的定義可以直接判斷.此題答案為選項A.

    二、解法分析

    中考有關(guān)“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分的試題大都比較容易,但由于要以實際生活背景設(shè)置試題,這就要求學(xué)生要有一定的閱讀能力,要有讀圖、識圖、析圖、分析與應(yīng)用知識的能力. 如何突破這一難點?靈活運用統(tǒng)計的相關(guān)知識準確地找到解題的切入點顯得尤為重要. 在解題方面,筆者認為應(yīng)該重視以下三“從”,即“從概念理解入手,掌握基本題型”“從讀圖、識圖切入,突破閱讀障礙”“從培養(yǎng)數(shù)據(jù)推斷著手,提升決策能力”.

    1. 從概念理解入手,掌握基本題型

    統(tǒng)計概念是數(shù)學(xué)思維的細胞,它是進行數(shù)學(xué)推理、判斷及說理的依據(jù). 2021年全國各地中考試題中,對統(tǒng)計部分的考查比較注重貼近生活實際. 在解決此類問題時,要注意結(jié)合實際背景理解基本的統(tǒng)計概念原理,選擇合適的數(shù)據(jù)調(diào)查方式、采用貼切的數(shù)據(jù)描述手段,選用合理的數(shù)據(jù)統(tǒng)計量,掌握基本的統(tǒng)計試題類型.

    例12 (山東·臨沂卷)實施鄉(xiāng)村振興計劃以來,我市農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展進入了快車道,為了解梁家?guī)X村今年一季度經(jīng)濟發(fā)展狀況,小玉同學(xué)的課題研究小組從該村300戶家庭中隨機抽取了20戶,收集到他們一季度家庭人均收入的數(shù)據(jù)如下(單位:萬元):

    0.69? 0.73? 0.74? 0.80? 0.81? 0.98? 0.93? 0.81

    0.89? 0.69? 0.74? 0.99? 0.98? 0.78? 0.80? 0.89

    0.83? 0.89? 0.94? 0.89

    研究小組的同學(xué)對以上數(shù)據(jù)進行了整理分析,得到表5、表6.

    【評析】此題考查頻數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、樣本估計總體等相關(guān)統(tǒng)計知識. 在第(1)小題中,根據(jù)所給數(shù)據(jù)計數(shù),即可得[a],[b]的值. 根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解,可得[c],[d]的值. 在第(2)小題中,采用樣本估計總體的方法,可求出今年一季度梁家?guī)X村家庭人均收入不低于0.8萬元的戶數(shù)所占的百分比,即可得到結(jié)論. 在第(3)小題中,根據(jù)中位數(shù)進行判斷即可.

    例13 (安徽卷)為了解全市居民用戶用電情況,某部門從居民用戶中隨機抽取100戶進行月用電量(單位:kW·h)調(diào)查,按月用電量50~100,100~150,150~200,200~250,250~300,300~350進行分組,繪制頻數(shù)分布直方圖如圖7所示.

    (1)求頻數(shù)分布直方圖中[x]的值;

    (2)判斷這100戶居民用戶月用電量數(shù)據(jù)的中位數(shù)在哪一組(直接寫出結(jié)果);

    (3)設(shè)各組居民用戶月平均用電量如表7所示.

    根據(jù)上述信息,估計該市居民用戶月用電量的平均數(shù).

    解:(1)因為[100-12+18+30+12+6=22],

    所以[x=22].

    (2)因為中位數(shù)是第50和51兩個數(shù)的平均數(shù),第50和51兩個數(shù)都位于月用電量150~200的范圍內(nèi),所以這100戶居民用戶月用電量數(shù)據(jù)的中位數(shù)在月用電量150~200的范圍內(nèi).

    (3)設(shè)月用電量的平均數(shù)為[y],

    答:該市居民用戶月用電量的平均數(shù)約為[186]kW·h.

    【評析】此題考查頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,讀懂題目及理解題意是解題的突破口. 在第(1)小題中,利用100減去其他各組的頻數(shù)即可求解. 在第(2)小題中,中位數(shù)是第50和51兩個數(shù)的平均數(shù),第50和51兩個數(shù)都位于月用電量150~200的范圍內(nèi),由此即可解答. 在第(3)小題中,利用加權(quán)平均數(shù)的計算公式即可解答.

    2. 從讀圖、識圖切入,突破閱讀障礙

    《標準》指出,在面對實際問題時,應(yīng)當先調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù),然后選擇合適的統(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù),體會數(shù)據(jù)中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息. 教材還可以設(shè)置閱讀材料,滲透重要的數(shù)學(xué)思想和方法,為學(xué)有余力的學(xué)生提供更大的學(xué)習(xí)和發(fā)展空間. 2021年中考試題中以統(tǒng)計圖表為背景,且伴隨一定閱讀量的閱讀理解型試題,屢有出現(xiàn),此類試題的解題關(guān)鍵是理解圖形的制作原理,厘清圖與圖、圖與表之間的關(guān)系,并從圖表中獲取所需的相關(guān)信息是解題的切入點.

    例14 (云南卷)2020年以來,我國部分地區(qū)出現(xiàn)了新冠疫情. 一時間,疫情就是命令,防控就是責(zé)任,一方有難八方支援.某公司在疫情期間為疫區(qū)生產(chǎn)A,B,C,D四種型號的帳篷共20 000頂,有關(guān)信息見如圖8、圖9所示的統(tǒng)計圖.

    下列判斷正確的是(? ? ).

    (A)單獨生產(chǎn)B型帳篷的天數(shù)是單獨生產(chǎn)C型帳篷天數(shù)的3倍

    (B)單獨生產(chǎn)B型帳篷的天數(shù)是單獨生產(chǎn)A型帳篷天數(shù)的1.5倍

    (C)單獨生產(chǎn)A型帳篷與單獨生產(chǎn)D型帳篷的天數(shù)相等

    (D)每天單獨生產(chǎn)C型帳篷的數(shù)量最多

    解:單獨生產(chǎn)A型帳篷的天數(shù)為[20 000×45%4 500=2 ](天),

    單獨生產(chǎn)B型帳篷的天數(shù)為[20 000×30%1 500=4](天),

    單獨生產(chǎn)C型帳篷的天數(shù)為[20 000×15%3 000=1](天),

    單獨生產(chǎn)D型帳篷的天數(shù)為[20 000×10%1 000=2](天),

    容易知道選項A、選項B均不正確.

    每天單獨生產(chǎn)A型帳篷的數(shù)量最多,顯然選項D也不正確.

    故此題答案為選項C.

    【評析】此題考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖,須從兩種統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息,再計算出相關(guān)的量.

    例15 (湖南·株洲卷)目前,國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)“[BMI]”作為衡量人體健康狀況的一個指標,其計算公式[BMI=Gh2](G表示體重,單位:千克;[h]表示身高,單位:米). 已知某區(qū)域成人的[BMI]數(shù)值標準為[BMI<16]為瘦弱(不健康);[16]≤[BMI]<[18.5]為偏瘦;[18.5]≤[BMI][<24]為正常;[24]≤[BMI][<28]為偏胖;[BMI]≥[28]為肥胖(不健康). 某研究人員從該區(qū)域的一體檢中心隨機抽取55名成人的體重、身高數(shù)據(jù)組成一個樣本,計算每名成人的[BMI]數(shù)值后統(tǒng)計如表8和圖10所示.

    【評析】此題考查了隨機抽樣、統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖. 在第(1)小題中,可直接從圖表中獲取數(shù)據(jù). 在第(2)小題中,根據(jù)公式直接代入求值. 在第(3)小題中,從圖象中獲取“[n<4]”這一信息,結(jié)合“[n]≥[2]([n]為正整數(shù))”,得“[n=2]或[n=3]”是解題的關(guān)鍵,再根據(jù)抽取人數(shù)為55可計算出[m]的值.

    3. 從培養(yǎng)數(shù)據(jù)推斷著手,提升決策能力

    《標準》指出,要能解釋統(tǒng)計結(jié)果,根據(jù)結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測,并能進行交流.

    學(xué)習(xí)統(tǒng)計不能僅局限于純粹地讀題、析題與解題,更重要的是,面對實際問題時要有統(tǒng)計意識,用統(tǒng)計的思想方法思考問題,再根據(jù)統(tǒng)計知識推斷或幫助我們提升對實際問題的決策能力.

    例16 (湖南·永州卷)某初級中學(xué)堅持開展陽光體育活動,七年級至九年級每學(xué)期均進行體育技能測試. 其中A班甲、乙兩位同學(xué)6個學(xué)期的投籃技能測試成績(投籃命中個數(shù))折線圖如圖11所示. 為參加學(xué)校舉行的畢業(yè)籃球友誼賽,A班需從甲、乙兩位同學(xué)中選1人進入班球隊,從兩人成績的穩(wěn)定性考慮,決策A班應(yīng)該選擇的同學(xué)是______.

    故甲投籃技能測試成績數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定.

    故填甲.

    【評析】此題考查折線統(tǒng)計圖與方差的意義,體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量在實際中的應(yīng)用.

    例17 (江蘇·南京卷)某市在實施居民用水定額管理前對居民生活用水情況進行了調(diào)查,通過簡單隨機抽樣獲得了100個家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù),將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,其中部分數(shù)據(jù)如表9所示.

    (1)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2 t,你對它與中位數(shù)的差異有什么看法?

    (2)為了鼓勵節(jié)約用水,要確定一個用水量的標準,超出這個標準的部分按1.5倍價格收費,若要使75%的家庭水費支出不受影響,你覺得這個標準應(yīng)該定為多少?

    解:(1)由表格數(shù)據(jù)可知,位于最中間的兩個數(shù)分別是6.4和6.8.

    故中位數(shù)為[6.4+6.82=6.6](t).

    而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2 t,它們之間差異較大,主要是由它們各自的特點決定的,主要原因如下.

    ① 平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān),任何數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的相應(yīng)變動;主要缺點是易受極端值的影響,這里的極端值是指偏大或偏小數(shù),當出現(xiàn)偏大數(shù)時,平均數(shù)將會被抬高,當出現(xiàn)偏小數(shù)時,平均數(shù)將會降低.

    ② 將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列. 如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù),則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). 它的求出不需要或只需簡單地計算,不受極端值的影響.

    這100個數(shù)據(jù)中,最大的數(shù)據(jù)是28,最小的數(shù)據(jù)是1.3,

    因此,平均數(shù)受到極端值的影響,造成與中位數(shù)差異較大.

    (2)因為第75戶用水量為11 t,第76戶用水量為13 t,因此標準應(yīng)定為11 ≤ a < 13(其中a為標準用水量,單位:t).

    【評析】(1)從中位數(shù)和平均數(shù)的定義和計算公式的角度分析它們的特點,可找出它們差異的原因;(2)從表中找到第75戶和第76戶家庭的用水量,則可得到應(yīng)制定的用水量標準數(shù)據(jù).

    三、試題解法賞析

    《標準》指出,要讓學(xué)生感受解決問題策略的多樣化與靈活性,并比較不同方法的特點. 2021年全國各地中考試題“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分有立意新穎的靚麗好題,此類試題有助于拓寬學(xué)生的解題思路,培養(yǎng)發(fā)散思維. 因篇幅所限,現(xiàn)略舉一二.

    1. 解法的多樣性

    例18 (河北卷)小明調(diào)查了本班每位同學(xué)最喜歡的顏色,并繪制了不完整的扇形圖(如圖12)及條形圖(如圖13)(柱的高度從高到低排列). 條形圖不小心被撕了一塊,圖13中“( ? ?)”應(yīng)填的顏色是(? ? ).

    故此題答案為選項D.

    (方法2)事實上,只要緊緊抓住“條形統(tǒng)計圖中柱的高度從高到低排列”這個關(guān)鍵信息,然后直接量出扇形中各部分圓心角的度數(shù),再找到度數(shù)為倒數(shù)第二位位置的扇形所對應(yīng)的顏色,故此題答案為選項D.

    【評析】根據(jù)柱的高度從高到低排列與扇形所占的百分比,可知藍色是5,且所占的百分比是10%. 可求出調(diào)查的總?cè)藬?shù),用16除以總?cè)藬?shù)得出所占的百分比. 從而排除最多人數(shù)16的條形是紅色,再根據(jù)紅色所占的百分比求出喜歡紅色的人數(shù),用總?cè)藬?shù)減去其他人數(shù),求出另一組的人數(shù),最后根據(jù)柱的高度從高到低排列,可求得答案.

    例19 (浙江·溫州卷)某校將學(xué)生體質(zhì)健康測試成績分為A,B,C,D四個等級,依次記為4分,3分,2分,1分.為了解學(xué)生整體體質(zhì)健康狀況,擬抽樣進行統(tǒng)計分析.

    (1)以下是兩位同學(xué)關(guān)于抽樣方案的對話.

    小紅:我想隨機抽取七年級男、女生各60人的成績.

    小明:我想隨機抽取七、八、九年級男生各40人的成績.

    根據(jù)學(xué)校信息,試簡要評價小紅、小明的抽樣方案. 如果你來抽取120名學(xué)生的測試成績,試給出抽樣方案.

    (2)現(xiàn)將隨機抽取的測試成績進行整理,并繪制成如圖14所示的統(tǒng)計圖,試求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

    解:(1)兩人都能根據(jù)學(xué)校信息合理選擇樣本容量進行抽樣調(diào)查.

    小紅的方案考慮到了性別的差異,但沒有考慮到年級、學(xué)段的差異;

    小明的方案考慮到了年級特點,但沒有考慮到性別的差異.

    他們的抽樣調(diào)查不具有廣泛性和代表性.

    抽樣方案1:隨機抽取該校七、八、九年級男、女生各20人的成績.

    抽樣方案2:隨機抽取該校各年級學(xué)生(男、女生不限)共120人的成績.(答案不唯一.)

    (2)平均數(shù)為

    [4×30+3×45+2×30+1×1530+45+30+15=][2.75](分).

    抽查的120人中,成績3分出現(xiàn)的次數(shù)最多,共出現(xiàn)45次,因此眾數(shù)是3分.

    將這120人的得分從小到大排列,處在中間位置的兩個數(shù)都是3分,因此中位數(shù)是3分.

    答:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.75分,中位數(shù)是3分,眾數(shù)是3分.

    【評析】通過考查評價抽樣方案樹立審辯式視域下的統(tǒng)計思想,通過考查設(shè)計抽樣方案培養(yǎng)創(chuàng)新視角下的統(tǒng)計意識.

    2. 試題的綜合性

    例20 (江蘇·鹽城卷)為了防控新冠疫情,某地區(qū)積極推廣疫苗接種工作,衛(wèi)生防疫部門對該地區(qū)八周以來的相關(guān)數(shù)據(jù)進行收集整理,繪制得到圖15、表10.

    根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù),建立以周次為橫坐標,接種人數(shù)為縱坐標的平面直角坐標系,并根據(jù)以上統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)描出對應(yīng)的點,發(fā)現(xiàn)從第3周開始這些點大致分布在一條直線附近,現(xiàn)過其中兩點(3,12),(8,42)作一條直線(如圖16),該直線的函數(shù)表達式為[y=6x-6],那么這條直線可近似反映該地區(qū)接種人數(shù)的變化趨勢.

    試根據(jù)以上信息,解答下列問題:

    (1)這八周中每周接種人數(shù)的平均數(shù)為? ? ?;該地區(qū)的總?cè)丝诩s為? ? ?.

    (2)若從第9周開始,每周的接種人數(shù)仍符合上述變化趨勢.

    ① 估計第9周的接種人數(shù)約為? ? ?.

    ② 專家表示:疫苗接種率至少達60%,才能實現(xiàn)全民免疫.那么,從推廣疫苗接種工作開始,最早到第幾周,該地區(qū)可達到實現(xiàn)全民免疫的標準?

    (3)實際上,受疫苗供應(yīng)等客觀因素影響,從第9周開始接種人數(shù)將會逐周減少[a][a>0]萬人,為了盡快提高接種率,一旦周接種人數(shù)低于20萬人時,衛(wèi)生防疫部門將會采取措施,使得之后每周的接種能力一直維持在20萬人.如果[a=1.8],那么該地區(qū)的建議接種人群最早將于第幾周全部完成接種?

    分析:(1)利用平均數(shù)的計算公式計算可得結(jié)論;用前8周已接種人數(shù)的和除以22.5%,可得結(jié)論.

    (2)① 將[x=9]代入[y=6x-6]中,計算后可得結(jié)論.

    ② 計算出實現(xiàn)全民免疫所需的接種人數(shù)為[800×60%;] 設(shè)最早到第[x]周,該地區(qū)可達到實現(xiàn)全民免疫的標準,依題意列出不等式,通過計算可得結(jié)論.

    (3)依題意計算出第9周的接種人數(shù),進而計算出第[x]周的接種人數(shù),根據(jù)題意列出不等式,解不等式得到從第21周開始接種人數(shù)低于20萬,再依據(jù)題意列出完成全部接種時,滿足的不等式即可得出結(jié)論.

    【評析】此題考查了算術(shù)平均數(shù)、頻數(shù)、頻率、數(shù)據(jù)總數(shù)等統(tǒng)計知識,涉及一次函數(shù)、一元一次不等式組、分段函數(shù)等其他數(shù)學(xué)核心內(nèi)容,試題來自身邊的素材“統(tǒng)計接種疫苗人數(shù)”,通過借助統(tǒng)計思想及結(jié)合統(tǒng)計知識進行分析推斷出今后接種疫苗工作的發(fā)展趨勢,具有現(xiàn)實意義,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活的基本理念.

    在2021年全國各地的中考試題中,“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分考查的難度相對較小,但以實際生活為背景,“活而不難”的情境類試題仍屢見不鮮,一線教師要明確試題分析中的四個常見的考查“立足”點,還要注重解法分析中的三“從”. 今后在解決實際問題時,要注意引導(dǎo)學(xué)生樹立統(tǒng)計意識,運用統(tǒng)計思想,重視數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)描述、數(shù)據(jù)分析的過程,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

    參考文獻:

    [1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]周啟東,鄭艷. 2020年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2021(3):18-25,31.

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