分析重抓手　解題謀策略

蔡世英　陳中峰

摘? 要：“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是運用統(tǒng)計思想解決實際問題的重要一環(huán). 文章摘選了2021年全國各地中考部分“抽樣與數(shù)據(jù)分析”中考試題進行試題分析、解法分析，梳理題型，分析試題特點，歸納試題解法，凝練統(tǒng)計素養(yǎng)的基本要求，落實應(yīng)用意識，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

關(guān)鍵詞：中考試題;試題分析;解法分析;解法賞析

抽樣與數(shù)據(jù)分析是為了提取有用信息和形成結(jié)論而對數(shù)據(jù)加以詳細研究和概括總結(jié)的過程. 2021年全國各地中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的考查根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，注重在實際生活情境下對數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述、分析和應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用意識，關(guān)注數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的養(yǎng)成，感悟統(tǒng)計分析的數(shù)學(xué)理念. 本文摘選了2021年全國各地中考試題中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分試題進行分析、歸納與總結(jié)，以饗讀者.

一、試題分析

1. 立足概念理解，關(guān)注知識遷移

《標準》指出，學(xué)好數(shù)學(xué)知識應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上和知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化對數(shù)學(xué)知識的理解，從而達到知識的遷移. 2021年全國各地中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題能注重基本概念的考查，對平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義等基本概念進行考查，此類試題解題的關(guān)鍵是能精準掌握概念，精確使用公式，綜合運用統(tǒng)計知識解題.

例1 （湖南·衡陽卷）為了向建黨一百周年獻禮，某市中小學(xué)生開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽. 某參賽小組6名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：85，82，86，82，83，92. 關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（? ? ）.

（A）眾數(shù)是82 （B）中位數(shù)是84

（C）方差是84 （D）平均數(shù)是85

【評析】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義. 平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個數(shù);眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù);中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）;方差是指一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù). 若能理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義，則容易得到答案，此題答案為選項C.

例2 （上海卷）商店準備一種包裝袋來包裝大米，經(jīng)市場調(diào)查以后，作出如圖1所示的統(tǒng)計圖，試問選擇什么樣的包裝最合適（? ? ）.

（A）2 kg / 包 （B）3 kg / 包

（C）4 kg / 包 （D）5 kg / 包

【評析】此題考查了條形統(tǒng)計圖及眾數(shù)的概念，要求學(xué)生具備讀圖能力. 由圖象的信息及眾數(shù)的概念容易知道，眾數(shù)落入的范圍是1.5 kg～2.5 kg，從選項中容易確定符合題意的答案. 先確定眾數(shù)的大致位置，再決定具體哪個數(shù)是眾數(shù)，此題的考法讓人耳目一新，需要對眾數(shù)的知識概念進行遷移，符合“能利用頻數(shù)分布直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊含的信息”的《標準》要求. 故此題答案為選項A.

2. 立足統(tǒng)計方式，關(guān)注解法選擇

2021年全國各地中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題考查實際問題情境下統(tǒng)計方式的選擇與使用，以及統(tǒng)計量的現(xiàn)實意義，要求學(xué)生能掌握相關(guān)統(tǒng)計量的計算方法，并注意解法的歸納.

例3 （福建卷）某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如表1所示.

如果按照創(chuàng)新性占60%、實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是（? ? ）.

（A）甲 （B）乙

（C）丙 （D）丁

【評析】此題以“科技創(chuàng)新”比賽為背景命制試題，考查了運用加權(quán)平均數(shù)解決實際問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生于“德智體美勞”五育中全面發(fā)展. 方法1：通過甲、丙、丁的成績對比可先去掉甲與丁，直接比較乙與丙，由創(chuàng)新性的權(quán)重大于實用性的權(quán)重，可知乙的總成績必然大于丙的總成績. 方法2：計算出四人的總成績分別為90，93，92，88，易知乙的總成績最高，故此題答案為選項B.

例4 （內(nèi)蒙古·鄂爾多斯卷）小明收集了鄂爾多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（單位：噸），整理并繪制成如圖2所示的折線統(tǒng)計圖，下列結(jié)論正確的是（? ? ）.

下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（? ? ）.

（A）平均數(shù)，方差 （B）中位數(shù)，方差

（C）中位數(shù)，眾數(shù) （D）平均數(shù)，眾數(shù)

【評析】此題以建黨一百周年黨史知識競賽為背景命制，以缺失部分數(shù)據(jù)的不完整表格作為已知條件，解題的關(guān)鍵是計算出被遮蓋的數(shù)據(jù)和. 容易發(fā)現(xiàn)，表格中成績數(shù)據(jù)排列已按從小到大的順序排列，被遮蓋的兩個數(shù)據(jù)91分、92分的人數(shù)和為3，成績?yōu)?00分的人數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多，因此成績的眾數(shù)是100. 成績從小到大排列后處在第25，26位的兩個數(shù)都是98，因此中位數(shù)是98，中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)，故此題答案為選項C.

3. 立足“三圖一表”，關(guān)注圖表閱讀

初中統(tǒng)計圖表主要體現(xiàn)為“三圖一表”，即折線統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，以及統(tǒng)計表. 各種統(tǒng)計圖表都有各自的特點，在實際生活中有不同的應(yīng)用. 2021年全國各地中考試題在統(tǒng)計圖表方面的考查仍然體現(xiàn)在統(tǒng)計圖表之間的相互聯(lián)系，須經(jīng)過讀圖、識圖獲得信息，畫（補）圖分析數(shù)據(jù)，經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，同時了解數(shù)據(jù)處理的必要性.

例6 （湖北·隨州卷）圖3是小明某一天測得的7次體溫情況的折線統(tǒng)計圖，下列信息不正確的是（? ? ）.

（A）測得的最高體溫為37.1℃

（B）前3次測得的體溫在下降

（C）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是36.8

（D）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是36.6

【評析】此題考查了折線統(tǒng)計圖，眾數(shù)與中位數(shù)的計算方法，以及學(xué)生的讀圖與析圖能力. 從圖中容易知道選項A、選項B正確，且出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)36.8是眾數(shù)，故選項C也正確. 中位數(shù)是指排序后最中間的數(shù)據(jù)，即排序后第4個數(shù)據(jù)36.8是中位數(shù)，則選項D不正確，故此題答案為選項D.

例7 （湖北·黃岡卷）高爾基說：“書，是人類進步的階梯.”閱讀可以豐富知識，拓寬視野，給我們帶來愉悅. 英才中學(xué)計劃在各班設(shè)立圖書角，為合理搭配各類書籍，對全校學(xué)生進行抽樣調(diào)查，收集整理喜愛的書籍類型（A. 科普，B. 文學(xué)，C. 體育，D. 其他），繪制出如圖4、圖5所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（? ? ）.

（A）樣本容量為400

（B）類型D所對應(yīng)的扇形的圓心角為36°

（C）類型C所占百分比為30%

（D）類型B的人數(shù)為120人

【評析】此題以設(shè)立圖書角為背景命制，以統(tǒng)計圖的方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，考查樣本容量、頻數(shù)、頻率的關(guān)系，以及統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間的相互轉(zhuǎn)換，需要具備一定的讀圖、識圖及分析推理能力. 根據(jù)A類100人占25%可計算出樣本容量為400，根據(jù)D類占10%可計算其所對扇形的圓心角度數(shù)為[36°]，根據(jù)C類140人 ÷ 總樣本容量400即可得所占百分比[35%]，故選項C錯誤，總樣本容量減去A，C，D三類人數(shù)即可得B類人數(shù)120人. 此題答案為選項C.

例8 （湖南·邵陽卷）某社區(qū)針對5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開展了問卷調(diào)查，共收回6 000份有效問卷.經(jīng)統(tǒng)計，制成如表3所示的數(shù)據(jù)表格.

小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比.下面是制作扇形統(tǒng)計圖的步驟（順序打亂）：

① 計算各部分扇形的圓心角分別為[126°]，[136.8°]，[79.2°]，[18°].

② 計算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%，38%，22%，5%.

③ 在同一個圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的百分比.

如圖6，制作扇形統(tǒng)計圖的步驟排序正確的是（? ? ）.

（A）②①③ （B）①③②

（C）①②③ （D）③①②

【評析】此題考查扇形統(tǒng)計圖的制作步驟，根據(jù)制作步驟即可求解. 通過考查抽樣調(diào)查中制作圖表的具體制作程序，此類試題具有可操作性的實際意義，此題答案為選項A.

4. 立足實際案例，強化應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)知識是解決實際問題的工具，尤其是統(tǒng)計知識與實際生活密切相關(guān). 2021年全國各地區(qū)中考試題中不乏運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的試題，而“抽樣與數(shù)據(jù)分析”知識最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價值.

例9 （浙江·臺州卷）超市貨架上有一批大小不一的雞蛋，某顧客從中選購了部分大小均勻的雞蛋，設(shè)貨架上原有雞蛋的質(zhì)量（單位：g）平均數(shù)和方差分別為[x]，[s2]，該顧客選購的雞蛋的質(zhì)量平均數(shù)和方差為[x1]，[s21]，則下列結(jié)論一定成立的是（? ? ）.

【評析】此題以顧客在超市中選購雞蛋為背景命制，顧客所選購的雞蛋大小均勻，即雞蛋質(zhì)量數(shù)據(jù)比較整齊，可推斷相應(yīng)的方差[s21]一定比貨架上原有雞蛋質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差[s2]小，則一定成立的是[s2>s21]. 故此題答案為選項C.

例10 （湖南·常德卷）舒青是一名觀鳥愛好者，他想要用折線統(tǒng)計圖來反映中華秋沙鴨每年秋季到當?shù)乇芎蕉臄?shù)量變化情況，以下是排亂的統(tǒng)計步驟：① 從折線統(tǒng)計圖中分析出中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉淖兓厔?② 從當?shù)刈匀槐Ｗo區(qū)管理部門收集中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量記錄;③ 按統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)繪制折線統(tǒng)計圖;④ 整理中華秋沙鴨每年來當?shù)乇芎蕉臄?shù)量并制作統(tǒng)計表.正確統(tǒng)計步驟的順序是（? ? ）.

（A）②→③→①→④

（B）③→④→①→②

（C）①→②→④→③

（D）②→④→③→①

【評析】此題考查制作折線統(tǒng)計圖的實際操作步驟，具有現(xiàn)實意義. 根據(jù)數(shù)據(jù)的收集、整理、制作折線統(tǒng)計圖及由統(tǒng)計圖分析結(jié)果等步驟可得答案. 此題答案為選項D.

例11 （黑龍江·綏化卷）近些年來，移動支付已成為人們的主要支付方式之一. 某企業(yè)為了解員工某月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從企業(yè)2 000名員工中隨機抽取了200人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有10人，樣本中僅使用A種支付方式和僅使用B種支付方式的員工支付金額a（元）分布情況如表4所示.

下面有四個推斷：

① 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，企業(yè)2 000名員工中，同時使用A，B兩種支付方式的為800人;

② 本次調(diào)查抽取的樣本容量為200人;

③ 樣本中僅使用A種支付方式的員工，該月支付金額的中位數(shù)一定不超過1 000元;

④ 樣本中僅使用B種支付方式的員工，該月支付金額的眾數(shù)一定為1 500元.

其中正確的是（? ? ）.

（A）①③ （B）③④

（C）①② （D）②④

【評析】此題考查數(shù)據(jù)的簡單隨機抽樣，體會抽樣的必要性. 涉及的統(tǒng)計知識有樣本容量、中位數(shù)、眾數(shù)等核心內(nèi)容. 在①中，體會用樣本估計總體的思想，需具備推斷能力，先求得樣本中同時使用A，B兩種支付方式的有80人;在②中，由已知可知樣本容量為200，但樣本容量無單位;在③中，利用中位數(shù)的定義可以直接判斷;在④中，根據(jù)眾數(shù)的定義可以直接判斷.此題答案為選項A.

二、解法分析

中考有關(guān)“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分的試題大都比較容易，但由于要以實際生活背景設(shè)置試題，這就要求學(xué)生要有一定的閱讀能力，要有讀圖、識圖、析圖、分析與應(yīng)用知識的能力. 如何突破這一難點？靈活運用統(tǒng)計的相關(guān)知識準確地找到解題的切入點顯得尤為重要. 在解題方面，筆者認為應(yīng)該重視以下三“從”，即“從概念理解入手，掌握基本題型”“從讀圖、識圖切入，突破閱讀障礙”“從培養(yǎng)數(shù)據(jù)推斷著手，提升決策能力”.

1. 從概念理解入手，掌握基本題型

統(tǒng)計概念是數(shù)學(xué)思維的細胞，它是進行數(shù)學(xué)推理、判斷及說理的依據(jù). 2021年全國各地中考試題中，對統(tǒng)計部分的考查比較注重貼近生活實際. 在解決此類問題時，要注意結(jié)合實際背景理解基本的統(tǒng)計概念原理，選擇合適的數(shù)據(jù)調(diào)查方式、采用貼切的數(shù)據(jù)描述手段，選用合理的數(shù)據(jù)統(tǒng)計量，掌握基本的統(tǒng)計試題類型.

例12 （山東·臨沂卷）實施鄉(xiāng)村振興計劃以來，我市農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展進入了快車道，為了解梁家?guī)X村今年一季度經(jīng)濟發(fā)展狀況，小玉同學(xué)的課題研究小組從該村300戶家庭中隨機抽取了20戶，收集到他們一季度家庭人均收入的數(shù)據(jù)如下（單位：萬元）：

0.69? 0.73? 0.74? 0.80? 0.81? 0.98? 0.93? 0.81

0.89? 0.69? 0.74? 0.99? 0.98? 0.78? 0.80? 0.89

0.83? 0.89? 0.94? 0.89

研究小組的同學(xué)對以上數(shù)據(jù)進行了整理分析，得到表5、表6.

【評析】此題考查頻數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、樣本估計總體等相關(guān)統(tǒng)計知識. 在第（1）小題中，根據(jù)所給數(shù)據(jù)計數(shù)，即可得[a]，[b]的值. 根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解，可得[c]，[d]的值. 在第（2）小題中，采用樣本估計總體的方法，可求出今年一季度梁家?guī)X村家庭人均收入不低于0.8萬元的戶數(shù)所占的百分比，即可得到結(jié)論. 在第（3）小題中，根據(jù)中位數(shù)進行判斷即可.

例13 （安徽卷）為了解全市居民用戶用電情況，某部門從居民用戶中隨機抽取100戶進行月用電量（單位：kW·h）調(diào)查，按月用電量50～100，100～150，150～200，200～250，250～300，300～350進行分組，繪制頻數(shù)分布直方圖如圖7所示.

（1）求頻數(shù)分布直方圖中[x]的值;

（2）判斷這100戶居民用戶月用電量數(shù)據(jù)的中位數(shù)在哪一組（直接寫出結(jié)果）;

（3）設(shè)各組居民用戶月平均用電量如表7所示.

根據(jù)上述信息，估計該市居民用戶月用電量的平均數(shù).

解：（1）因為[100-12+18+30+12+6=22]，

所以[x=22].

（2）因為中位數(shù)是第50和51兩個數(shù)的平均數(shù)，第50和51兩個數(shù)都位于月用電量150～200的范圍內(nèi)，所以這100戶居民用戶月用電量數(shù)據(jù)的中位數(shù)在月用電量150～200的范圍內(nèi).

（3）設(shè)月用電量的平均數(shù)為[y]，

答：該市居民用戶月用電量的平均數(shù)約為[186]kW·h.

【評析】此題考查頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，讀懂題目及理解題意是解題的突破口. 在第（1）小題中，利用100減去其他各組的頻數(shù)即可求解. 在第（2）小題中，中位數(shù)是第50和51兩個數(shù)的平均數(shù)，第50和51兩個數(shù)都位于月用電量150～200的范圍內(nèi)，由此即可解答. 在第（3）小題中，利用加權(quán)平均數(shù)的計算公式即可解答.

2. 從讀圖、識圖切入，突破閱讀障礙

《標準》指出，在面對實際問題時，應(yīng)當先調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，然后選擇合適的統(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，體會數(shù)據(jù)中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息. 教材還可以設(shè)置閱讀材料，滲透重要的數(shù)學(xué)思想和方法，為學(xué)有余力的學(xué)生提供更大的學(xué)習(xí)和發(fā)展空間. 2021年中考試題中以統(tǒng)計圖表為背景，且伴隨一定閱讀量的閱讀理解型試題，屢有出現(xiàn)，此類試題的解題關(guān)鍵是理解圖形的制作原理，厘清圖與圖、圖與表之間的關(guān)系，并從圖表中獲取所需的相關(guān)信息是解題的切入點.

例14 （云南卷）2020年以來，我國部分地區(qū)出現(xiàn)了新冠疫情. 一時間，疫情就是命令，防控就是責(zé)任，一方有難八方支援.某公司在疫情期間為疫區(qū)生產(chǎn)A，B，C，D四種型號的帳篷共20 000頂，有關(guān)信息見如圖8、圖9所示的統(tǒng)計圖.

下列判斷正確的是（? ? ）.

（A）單獨生產(chǎn)B型帳篷的天數(shù)是單獨生產(chǎn)C型帳篷天數(shù)的3倍

（B）單獨生產(chǎn)B型帳篷的天數(shù)是單獨生產(chǎn)A型帳篷天數(shù)的1.5倍

（C）單獨生產(chǎn)A型帳篷與單獨生產(chǎn)D型帳篷的天數(shù)相等

（D）每天單獨生產(chǎn)C型帳篷的數(shù)量最多

解：單獨生產(chǎn)A型帳篷的天數(shù)為[20 000×45%4 500=2 ]（天），

單獨生產(chǎn)B型帳篷的天數(shù)為[20 000×30%1 500=4]（天），

單獨生產(chǎn)C型帳篷的天數(shù)為[20 000×15%3 000=1]（天），

單獨生產(chǎn)D型帳篷的天數(shù)為[20 000×10%1 000=2]（天），

容易知道選項A、選項B均不正確.

每天單獨生產(chǎn)A型帳篷的數(shù)量最多，顯然選項D也不正確.

故此題答案為選項C.

【評析】此題考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖，須從兩種統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息，再計算出相關(guān)的量.

例15 （湖南·株洲卷）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)“[BMI]”作為衡量人體健康狀況的一個指標，其計算公式[BMI=Gh2]（G表示體重，單位：千克;[h]表示身高，單位：米）. 已知某區(qū)域成人的[BMI]數(shù)值標準為[BMI<16]為瘦弱（不健康）;[16]≤[BMI]<[18.5]為偏瘦;[18.5]≤[BMI][<24]為正常;[24]≤[BMI][<28]為偏胖;[BMI]≥[28]為肥胖（不健康）. 某研究人員從該區(qū)域的一體檢中心隨機抽取55名成人的體重、身高數(shù)據(jù)組成一個樣本，計算每名成人的[BMI]數(shù)值后統(tǒng)計如表8和圖10所示.

【評析】此題考查了隨機抽樣、統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖. 在第（1）小題中，可直接從圖表中獲取數(shù)據(jù). 在第（2）小題中，根據(jù)公式直接代入求值. 在第（3）小題中，從圖象中獲取“[n<4]”這一信息，結(jié)合“[n]≥[2]（[n]為正整數(shù)）”，得“[n=2]或[n=3]”是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)抽取人數(shù)為55可計算出[m]的值.

3. 從培養(yǎng)數(shù)據(jù)推斷著手，提升決策能力

《標準》指出，要能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測，并能進行交流.

學(xué)習(xí)統(tǒng)計不能僅局限于純粹地讀題、析題與解題，更重要的是，面對實際問題時要有統(tǒng)計意識，用統(tǒng)計的思想方法思考問題，再根據(jù)統(tǒng)計知識推斷或幫助我們提升對實際問題的決策能力.

例16 （湖南·永州卷）某初級中學(xué)堅持開展陽光體育活動，七年級至九年級每學(xué)期均進行體育技能測試. 其中A班甲、乙兩位同學(xué)6個學(xué)期的投籃技能測試成績（投籃命中個數(shù)）折線圖如圖11所示. 為參加學(xué)校舉行的畢業(yè)籃球友誼賽，A班需從甲、乙兩位同學(xué)中選1人進入班球隊，從兩人成績的穩(wěn)定性考慮，決策A班應(yīng)該選擇的同學(xué)是______.

故甲投籃技能測試成績數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定.

故填甲.

【評析】此題考查折線統(tǒng)計圖與方差的意義，體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量在實際中的應(yīng)用.

例17 （江蘇·南京卷）某市在實施居民用水定額管理前對居民生活用水情況進行了調(diào)查，通過簡單隨機抽樣獲得了100個家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分數(shù)據(jù)如表9所示.

（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2 t，你對它與中位數(shù)的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5倍價格收費，若要使75%的家庭水費支出不受影響，你覺得這個標準應(yīng)該定為多少？

解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，位于最中間的兩個數(shù)分別是6.4和6.8.

故中位數(shù)為[6.4+6.82=6.6]（t）.

而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2 t，它們之間差異較大，主要是由它們各自的特點決定的，主要原因如下.

① 平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的相應(yīng)變動;主要缺點是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)，當出現(xiàn)偏大數(shù)時，平均數(shù)將會被抬高，當出現(xiàn)偏小數(shù)時，平均數(shù)將會降低.

② 將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列. 如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). 它的求出不需要或只需簡單地計算，不受極端值的影響.

這100個數(shù)據(jù)中，最大的數(shù)據(jù)是28，最小的數(shù)據(jù)是1.3，

因此，平均數(shù)受到極端值的影響，造成與中位數(shù)差異較大.

（2）因為第75戶用水量為11 t，第76戶用水量為13 t，因此標準應(yīng)定為11 ≤ a < 13（其中a為標準用水量，單位：t）.

【評析】（1）從中位數(shù)和平均數(shù)的定義和計算公式的角度分析它們的特點，可找出它們差異的原因;（2）從表中找到第75戶和第76戶家庭的用水量，則可得到應(yīng)制定的用水量標準數(shù)據(jù).

三、試題解法賞析

《標準》指出，要讓學(xué)生感受解決問題策略的多樣化與靈活性，并比較不同方法的特點. 2021年全國各地中考試題“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分有立意新穎的靚麗好題，此類試題有助于拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)發(fā)散思維. 因篇幅所限，現(xiàn)略舉一二.

1. 解法的多樣性

例18 （河北卷）小明調(diào)查了本班每位同學(xué)最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖（如圖12）及條形圖（如圖13）（柱的高度從高到低排列）. 條形圖不小心被撕了一塊，圖13中“（ ? ?）”應(yīng)填的顏色是（? ? ）.

故此題答案為選項D.

（方法2）事實上，只要緊緊抓住“條形統(tǒng)計圖中柱的高度從高到低排列”這個關(guān)鍵信息，然后直接量出扇形中各部分圓心角的度數(shù)，再找到度數(shù)為倒數(shù)第二位位置的扇形所對應(yīng)的顏色，故此題答案為選項D.

【評析】根據(jù)柱的高度從高到低排列與扇形所占的百分比，可知藍色是5，且所占的百分比是10%. 可求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，用16除以總?cè)藬?shù)得出所占的百分比. 從而排除最多人數(shù)16的條形是紅色，再根據(jù)紅色所占的百分比求出喜歡紅色的人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去其他人數(shù)，求出另一組的人數(shù)，最后根據(jù)柱的高度從高到低排列，可求得答案.

例19 （浙江·溫州卷）某校將學(xué)生體質(zhì)健康測試成績分為A，B，C，D四個等級，依次記為4分，3分，2分，1分.為了解學(xué)生整體體質(zhì)健康狀況，擬抽樣進行統(tǒng)計分析.

（1）以下是兩位同學(xué)關(guān)于抽樣方案的對話.

小紅：我想隨機抽取七年級男、女生各60人的成績.

小明：我想隨機抽取七、八、九年級男生各40人的成績.

根據(jù)學(xué)校信息，試簡要評價小紅、小明的抽樣方案. 如果你來抽取120名學(xué)生的測試成績，試給出抽樣方案.

（2）現(xiàn)將隨機抽取的測試成績進行整理，并繪制成如圖14所示的統(tǒng)計圖，試求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

解：（1）兩人都能根據(jù)學(xué)校信息合理選擇樣本容量進行抽樣調(diào)查.

小紅的方案考慮到了性別的差異，但沒有考慮到年級、學(xué)段的差異;

小明的方案考慮到了年級特點，但沒有考慮到性別的差異.

他們的抽樣調(diào)查不具有廣泛性和代表性.

抽樣方案1：隨機抽取該校七、八、九年級男、女生各20人的成績.

抽樣方案2：隨機抽取該校各年級學(xué)生（男、女生不限）共120人的成績.（答案不唯一.）

（2）平均數(shù)為

[4×30+3×45+2×30+1×1530+45+30+15=][2.75]（分）.

抽查的120人中，成績3分出現(xiàn)的次數(shù)最多，共出現(xiàn)45次，因此眾數(shù)是3分.

將這120人的得分從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)都是3分，因此中位數(shù)是3分.

答：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.75分，中位數(shù)是3分，眾數(shù)是3分.

【評析】通過考查評價抽樣方案樹立審辯式視域下的統(tǒng)計思想，通過考查設(shè)計抽樣方案培養(yǎng)創(chuàng)新視角下的統(tǒng)計意識.

2. 試題的綜合性

例20 （江蘇·鹽城卷）為了防控新冠疫情，某地區(qū)積極推廣疫苗接種工作，衛(wèi)生防疫部門對該地區(qū)八周以來的相關(guān)數(shù)據(jù)進行收集整理，繪制得到圖15、表10.

根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，建立以周次為橫坐標，接種人數(shù)為縱坐標的平面直角坐標系，并根據(jù)以上統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)描出對應(yīng)的點，發(fā)現(xiàn)從第3周開始這些點大致分布在一條直線附近，現(xiàn)過其中兩點（3，12），（8，42）作一條直線（如圖16），該直線的函數(shù)表達式為[y=6x-6]，那么這條直線可近似反映該地區(qū)接種人數(shù)的變化趨勢.

試根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）這八周中每周接種人數(shù)的平均數(shù)為? ? ?;該地區(qū)的總?cè)丝诩s為? ? ?.

（2）若從第9周開始，每周的接種人數(shù)仍符合上述變化趨勢.

① 估計第9周的接種人數(shù)約為? ? ?.

② 專家表示：疫苗接種率至少達60%，才能實現(xiàn)全民免疫.那么，從推廣疫苗接種工作開始，最早到第幾周，該地區(qū)可達到實現(xiàn)全民免疫的標準？

（3）實際上，受疫苗供應(yīng)等客觀因素影響，從第9周開始接種人數(shù)將會逐周減少[a][a>0]萬人，為了盡快提高接種率，一旦周接種人數(shù)低于20萬人時，衛(wèi)生防疫部門將會采取措施，使得之后每周的接種能力一直維持在20萬人.如果[a=1.8]，那么該地區(qū)的建議接種人群最早將于第幾周全部完成接種？

分析：（1）利用平均數(shù)的計算公式計算可得結(jié)論;用前8周已接種人數(shù)的和除以22.5%，可得結(jié)論.

（2）① 將[x=9]代入[y=6x-6]中，計算后可得結(jié)論.

② 計算出實現(xiàn)全民免疫所需的接種人數(shù)為[800×60%;] 設(shè)最早到第[x]周，該地區(qū)可達到實現(xiàn)全民免疫的標準，依題意列出不等式，通過計算可得結(jié)論.

（3）依題意計算出第9周的接種人數(shù)，進而計算出第[x]周的接種人數(shù)，根據(jù)題意列出不等式，解不等式得到從第21周開始接種人數(shù)低于20萬，再依據(jù)題意列出完成全部接種時，滿足的不等式即可得出結(jié)論.

【評析】此題考查了算術(shù)平均數(shù)、頻數(shù)、頻率、數(shù)據(jù)總數(shù)等統(tǒng)計知識，涉及一次函數(shù)、一元一次不等式組、分段函數(shù)等其他數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，試題來自身邊的素材“統(tǒng)計接種疫苗人數(shù)”，通過借助統(tǒng)計思想及結(jié)合統(tǒng)計知識進行分析推斷出今后接種疫苗工作的發(fā)展趨勢，具有現(xiàn)實意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活的基本理念.

在2021年全國各地的中考試題中，“抽樣與數(shù)據(jù)分析”部分考查的難度相對較小，但以實際生活為背景，“活而不難”的情境類試題仍屢見不鮮，一線教師要明確試題分析中的四個常見的考查“立足”點，還要注重解法分析中的三“從”. 今后在解決實際問題時，要注意引導(dǎo)學(xué)生樹立統(tǒng)計意識，運用統(tǒng)計思想，重視數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)描述、數(shù)據(jù)分析的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]周啟東，鄭艷. 2020年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（3）：18-25，31.