立足基礎(chǔ)·滲透思想·注重實(shí)踐·傳遞文化

黃若明

摘? 要：2021年中考對(duì)“事件的概率”領(lǐng)域的考查延續(xù)了近幾年試題“穩(wěn)中求變，變中求新”的特點(diǎn)，重視對(duì)事件的概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本模型的考查，關(guān)注能力，注重應(yīng)用，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的理念和要求. 現(xiàn)對(duì)2021年全國各地中考試卷中關(guān)于“事件的概率”領(lǐng)域的試題的考查特點(diǎn)進(jìn)行分析，總結(jié)命題規(guī)律，為2022年的中考復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：事件的概率;命題分析;復(fù)習(xí)建議

“事件的概率”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，通過學(xué)習(xí)概率，學(xué)生可以加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，形成數(shù)據(jù)分析觀念，做出合理的決策，并且提高分析問題和解決問題的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 本文以2021年全國各地73份中考數(shù)學(xué)試卷為樣本，對(duì)每份試卷中涉及“事件的概率”的試題進(jìn)行梳理和歸納，嘗試從考查內(nèi)容、命題思路、復(fù)習(xí)建議三個(gè)方面進(jìn)行分析，以增強(qiáng)對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)容復(fù)習(xí)教學(xué)的針對(duì)性和有效性.

一、考查內(nèi)容分析

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，第三學(xué)段“事件的概率”的課程內(nèi)容要求學(xué)生能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率，同時(shí)知道通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來估計(jì)概率. 2021年全國各地中考試題涉及“事件的概率”的試題考查比較全面，反映了《標(biāo)準(zhǔn)》的基本要求. 主要涉及以下三個(gè)部分：一是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象和概率意義的認(rèn)識(shí);二是關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率的計(jì)算，包括利用公式直接計(jì)算和通過列表、畫樹狀圖等方法進(jìn)行計(jì)算;三是能運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題. 既重視了對(duì)“事件的概率”的基礎(chǔ)知識(shí)的考查，也關(guān)注了學(xué)生思維水平的發(fā)展.

從試題形式上看，關(guān)于“事件的概率”的內(nèi)容，在筆者調(diào)查的73份試卷中：有17份試卷只在選擇題中單獨(dú)考查，其中湖北武漢卷考查了兩道選擇題;有20份試卷只在填空題中單獨(dú)考查;有26份試卷只在解答題中單獨(dú)考查;浙江湖州卷、湖北宜昌卷中選擇題、填空題各考查一道題;廣西玉林卷、湖北隨州卷、湖南衡陽卷、湖南懷化卷、江蘇揚(yáng)州卷、四川廣安卷中選擇題、解答題各考查一道題;江蘇蘇州卷、四川資陽卷中填空題、解答題各考查一道題.

從試題內(nèi)容上看，關(guān)于“事件的概率”的內(nèi)容，在筆者調(diào)查的73份試卷中：考查隨機(jī)事件的有7道題;考查用頻率估計(jì)概率的約有2道題;考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率計(jì)算的有54道題，其中與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的有22道題. 另外，甘肅定西卷第23題考查了用頻率估計(jì)概率與列舉法求概率兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合. 可見，2021年中考“事件的概率”領(lǐng)域?qū)?jiǎn)單隨機(jī)事件概率的計(jì)算的考查依然是重點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)與概率相結(jié)合的考查也占比很大.

從試題難度上看，關(guān)于“事件的概率”的內(nèi)容，在筆者調(diào)查的73份試卷中，主要以簡(jiǎn)單題和中等難度題為主. 只有四川成都卷第25題難度較大，根源在于這道題融合了閱讀理解知識(shí)點(diǎn).

二、命題思路分析

1. 立足基礎(chǔ)，考查核心概念

這類試題結(jié)合實(shí)際背景，考查“事件的概率”領(lǐng)域的核心概念，要求學(xué)生掌握必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件等有關(guān)概念，理解概率的意義，難度不大，通常以選擇題和填空題題型出現(xiàn).

例1 （廣西·玉林卷）一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，這些球除顏色外其他均相同，從中任意摸出3個(gè)球，下列事件為必然事件的是（? ? ）.

（A）至少有1個(gè)白球

（B）至少有2個(gè)白球

（C）至少有1個(gè)黑球

（D）至少有2個(gè)黑球

例2 （江蘇·揚(yáng)州卷）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是（ ? ）.

（A）3天內(nèi)將下雨

（B）打開電視，正在播新聞

（C）買一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)號(hào)

（D）沒有水分，種子發(fā)芽

【評(píng)析】以上兩道題均考查“事件的概率”的基本概念，以學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景、游戲或經(jīng)驗(yàn)為背景，考查學(xué)生對(duì)必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件等概念的正確理解，類似的試題還有湖南懷化卷第9題、湖北武漢卷第2題、浙江湖州卷第4題等.

2. 重視方法，考查概率的計(jì)算

用列舉法求概率是第三學(xué)段研究的重點(diǎn)模型，常以摸球、拋硬幣、轉(zhuǎn)圓盤、抽撲克、摸卡片、翻象棋等學(xué)生既熟悉又感興趣的事件為載體，利用概率公式計(jì)算. 簡(jiǎn)單的情境可用枚舉法、面積法等，通常在選擇題或填空題中考查，稍微復(fù)雜的可通過列表或畫樹狀圖的方法列出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果. 對(duì)這類題的考查不僅出現(xiàn)在選擇題、填空題中，更多地以解答題的形式出現(xiàn).

例3 （浙江·麗水卷）一個(gè)布袋里裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同. 從中任意摸出1個(gè)球是紅球的概率是（ ? ）.

例4 （四川·瀘州卷）不透明袋子中裝有3個(gè)紅球、5個(gè)黑球、4個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則摸出紅球的概率是

.

例5 （湖北·武漢卷）學(xué)校招募運(yùn)動(dòng)會(huì)廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機(jī)選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是（ ? ）.

例6 （江蘇·南京卷）不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別.

（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求兩次摸出的球都是紅球的概率.

（2）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果是紅球，不放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球;如果是白球，放回，并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球.兩次摸出的球都是白球的概率是 ? ? ? ? .

【評(píng)析】這四道題考查列舉法求事件的概率，例3、例4較容易，考查學(xué)生解決一步試驗(yàn)的概率問題，可直接建立概率模型[P紅色=紅色數(shù)量總數(shù)量]，可輕易計(jì)算事件的概率，類似的試題還有浙江金華卷第13題、海南卷第6題、湖南岳陽卷第11題等. 在筆者調(diào)查的73份試卷中占27道題. 例5和例6難度中等，考查用樹狀圖或列表法解決兩步試驗(yàn)的概率問題，關(guān)鍵是列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再用概率公式計(jì)算. 兩步（或以上）試驗(yàn)要注意“放回”與“不放回”的區(qū)別. 關(guān)于“是否放回”，例5的條件是隱性的，例6的條件是顯性的. 類似的試題還有北京卷第6題、廣東卷第3題、江蘇無錫卷第22題等，背景以摸球游戲居多.

3. 創(chuàng)新背景，考查應(yīng)用意識(shí)

2021年部分省、市的中考試題對(duì)“事件的概率”內(nèi)容的考查越來越靈活，問題背景設(shè)計(jì)更為新穎，創(chuàng)新意識(shí)更強(qiáng)，在綜合應(yīng)用“事件的概率”的同時(shí)感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力.

例7 （廣西·北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)卷）如圖1，小明從A入口進(jìn)入博物館參觀，參觀后可從B，C，D三個(gè)出口走出，他恰好從C出口走出的概率是（ ? ）.

例8 （湖南·邵陽卷）一只螞蟻在如圖2所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)選擇其中一條路徑，則它遇到食物的概率是 ? ? ? ?.

例9 （四川·成都卷）我們對(duì)一個(gè)三角形的頂點(diǎn)和邊都賦給一個(gè)特征值，并定義：從任意頂點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針或逆時(shí)針方向依次將頂點(diǎn)和邊的特征值相乘，再把三個(gè)乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋轉(zhuǎn)和. 如圖3，ar + cq + bp是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和，ap + bq + cr是該三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和.已知某三角形的特征值如圖4所示，若從1，2，3中任取一個(gè)數(shù)作為x，從1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)作為y，則對(duì)任意正整數(shù)z，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是 ? ? ? ? .

【評(píng)析】在命制有關(guān)求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率的試題時(shí)，可以依據(jù)概率知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，采用文字、符號(hào)或圖象等多種表征方式，并用學(xué)生以前學(xué)過的簡(jiǎn)單基本的幾何或代數(shù)的知識(shí)內(nèi)容為載體，從而豐富問題背景，提高試題的效度和信度，考查學(xué)生概率的模型思想與數(shù)形結(jié)合思想. 例7、例8設(shè)計(jì)巧妙，難度適中，這兩個(gè)生活化的場(chǎng)景體現(xiàn)了概率最基本的知識(shí)原理和思想方法，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決實(shí)際問題的熱情，使他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活. 例9是基于閱讀理解背景的通過列舉法求事件的概率的一道綜合題，從命題的角度來看，創(chuàng)新意識(shí)強(qiáng)，內(nèi)容豐富、超越常規(guī)，考查學(xué)生的閱讀理解能力、觀察思考能力、分析判斷能力、抽象概括能力、類比能力等，同時(shí)考查數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想等.

4. 綜合統(tǒng)計(jì)，考查隨機(jī)意識(shí)

統(tǒng)計(jì)與概率都是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué). 統(tǒng)計(jì)是收集、整理、分析數(shù)據(jù)，通過歸納的方法研究隨機(jī)現(xiàn)象，而概率則是通過構(gòu)建模型研究隨機(jī)現(xiàn)象. 近年來，通過同一背景把統(tǒng)計(jì)和概率兩種問題進(jìn)行綜合考查有增多的趨勢(shì).

例10 （湖南·衡陽卷）下列說法正確的是（ ? ）.

（A）為了解我國中學(xué)生課外閱讀情況，應(yīng)采取全面調(diào)查方式

（B）某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%，買100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

（C）從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋子里摸出1個(gè)球是紅球的概率是[34]

（D）某校有3 200名學(xué)生，為了解學(xué)生最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，其中有85名學(xué)生表示最喜歡的項(xiàng)目是跳繩，估計(jì)該校最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為跳繩的有1 360人

例11 （青海卷）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，某市政府決定對(duì)該市直屬機(jī)關(guān)200戶家庭用水情況進(jìn)行調(diào)查.市政府調(diào)查小組隨機(jī)抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如表1所示的尚不完整的統(tǒng)計(jì)表.

試根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的信息解答下列問題：

（1）填空：a的值為 ? ? ? ，b的值為 ? ? ? ，c的值為 ? ? ? .

（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

，眾數(shù)是 ? ? ?，中位數(shù)是 ? ? ?.

（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該市直屬機(jī)關(guān)200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的用戶約有多少？

（4）市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進(jìn)行“節(jié)水”經(jīng)驗(yàn)分享. 試用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結(jié)果.

例12 （甘肅·定西卷）一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）試估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù);

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【評(píng)析】概率和統(tǒng)計(jì)的綜合題有三種類型，例10屬于獨(dú)立型，選項(xiàng)之間沒有關(guān)聯(lián)，考查了概率的基本概念、古典概率計(jì)算公式和統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，類似的題目只有四川廣安卷第6題. 例11屬于添加型，考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)分布表，以及列表法與樹狀圖法等知識(shí)點(diǎn)，前三道小題組成了一道完整的統(tǒng)計(jì)類解答題，為了考查“事件的概率”添加了第（4）小題，只是借用了題目背景，數(shù)據(jù)方面沒有關(guān)聯(lián)，這類題目的考查逐年增多，在筆者抽查的73份試卷中有22道題. 例12屬于依存型，考查了統(tǒng)計(jì)和概率的橋梁——用頻率估計(jì)概率這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只有計(jì)算出白色小球的個(gè)數(shù)后才能求事件的概率.

5. 德育滲透，考查學(xué)科素養(yǎng)

寓德育于各科教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程之中是每一位教師的職責(zé). 作為基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)應(yīng)該在德育中發(fā)揮重要作用. 在教學(xué)中應(yīng)多介紹我國古代數(shù)學(xué)的研究成就，在擴(kuò)大學(xué)生知識(shí)面的同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力. 同時(shí)，隨著中國的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子在經(jīng)濟(jì)建設(shè)中隨處可見. 因此，在教學(xué)引入中應(yīng)摒棄一些過時(shí)且枯燥的例子，可以將熱議時(shí)事作為素材，讓學(xué)生在潛移默化中接受德育，實(shí)現(xiàn)德育的無痕滲透.

例13 （云南卷）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某市組織該市七、八兩個(gè)年級(jí)學(xué)生參加演講比賽，演講比賽的主題為“追憶百年歷程，凝聚青春力量”. 該市一中學(xué)經(jīng)過初選，在七年級(jí)選出3名同學(xué)，其中2名女生，分別記為x1，x2，1名男生，記為y1;在八年級(jí)選出3名同學(xué)，其中1名女生，記為x3，2名男生，分別記為y2，y3. 現(xiàn)分別從兩個(gè)年級(jí)初選出的同學(xué)中，每個(gè)年級(jí)隨機(jī)選出1名同學(xué)組成代表隊(duì)參加比賽.

（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求所有可能出現(xiàn)的代表隊(duì)總數(shù);

（2）求選出的代表隊(duì)中的2名同學(xué)恰好是1名男生和1名女生的概率P.

例14 （湖北·隨州卷）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國家對(duì)符合條件的人群接種新冠疫苗的號(hào)召，某市教育部門隨機(jī)抽取了該市部分七、八、九年級(jí)教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如表2所示的統(tǒng)計(jì)表.

（1）表中，a的值為 ? ? ? ，b的值為 ? ? ? ，c的值為 ? ? ? ;

（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是 ? ? 年級(jí)教師（填“七”“八”或“九”）;

（3）若該市初中七、八、九年級(jí)一共約有8 000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有 ? ? ;

（4）為更好地響應(yīng)號(hào)召，立德中學(xué)從最初接種的4名教師（其中七年級(jí)1名，八年級(jí)1名，九年級(jí)2名）中隨機(jī)選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，試用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率.

【評(píng)析】例13以“慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年”為情境命題，教育學(xué)生愛國愛黨，立報(bào)國之志、學(xué)報(bào)國之才、踐報(bào)國之行，努力學(xué)知識(shí)、學(xué)技能，從小事做起，成為對(duì)黨和國家有用的人才！在筆者抽查的73份試卷中，類似的題目還有11道;例14以“接種新冠疫苗”這一熱點(diǎn)問題開展命題，充分體現(xiàn)了中國特色社會(huì)主義制度的優(yōu)越性，為偉大的祖國點(diǎn)贊！類似的題目還有3道. 另外，還有數(shù)學(xué)史、垃圾分類、禁毒宣傳、節(jié)約用水等德育素材，讓學(xué)生在潛移默化中接受德育教育，體現(xiàn)了中考的價(jià)值與魅力.

三、復(fù)習(xí)建議

回望2021年中考試題對(duì)“事件的概率”的考查，緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，把重點(diǎn)放在了基本概念的理解、計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率和了解頻率與概率的關(guān)系三個(gè)方面，題目背景新穎，立意不斷創(chuàng)新，讓我們深切地感受到考試評(píng)價(jià)改革帶來的新氣象、新景觀. 針對(duì)2022年中考“事件的概率”部分的復(fù)習(xí)備考，提出如下建議.

1. 立足基礎(chǔ)，串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)

回顧近幾年全國各地“事件的概率”試題，從命題依據(jù)來看，以《標(biāo)準(zhǔn)》作為命題的基本依據(jù)，考查重點(diǎn)集中在三個(gè)方面：一是對(duì)基本概念的考查，如隨機(jī)事件、概率的意義;二是通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果;三是用頻率估計(jì)概率. 從試題形式和難度來看，考查單一知識(shí)點(diǎn)的試題較多，試題形式和難度都沒有太大變化，以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，以及分析問題和解決問題的能力為主，題目背景突出時(shí)代主題，以學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景或經(jīng)驗(yàn)為主. 題目類型以選擇題或填空題形式考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)，如必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件等概念和概率的意義等;以解答題形式考查用列表或畫樹狀圖求多步試驗(yàn)下的簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率. 因此，中考復(fù)習(xí)一定要立足基礎(chǔ)，用思維導(dǎo)圖把關(guān)于概率的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，如圖5所示.

通過思維導(dǎo)圖可以有效構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，厘清各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，推動(dòng)他們主動(dòng)思考，厘清思路，同時(shí)能夠有效提高中考復(fù)習(xí)效率，化零為整地加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)要點(diǎn)的理解與掌握.

2. 滲透思想，重視方法引路

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的橋梁和紐帶，是學(xué)生鍛煉自己的綜合性思維能力的最佳平臺(tái)和渠道，思維的塑造和訓(xùn)練對(duì)于提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)是大有裨益的. 因此，在復(fù)習(xí)“事件的概率”內(nèi)容時(shí)，應(yīng)加深對(duì)題目中蘊(yùn)含的模型思想、隨機(jī)思想、統(tǒng)計(jì)思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想方法的理解. 值得注意的是，用列舉法求概率不應(yīng)在計(jì)算上做過高要求，掌握方法至關(guān)重要. 第一，學(xué)會(huì)正確使用列舉法求概率. 如果試驗(yàn)只有一步，可直接使用枚舉法;如果試驗(yàn)有兩步，既可利用列表法，又可畫樹狀圖，列舉機(jī)會(huì)均等的結(jié)果;如果試驗(yàn)有三步（一般不超過三步），則必須畫樹狀圖列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果. 第二，在試驗(yàn)過程中完成第一步之后會(huì)判斷是否放回，它將直接影響機(jī)會(huì)均等的個(gè)數(shù). 第三，理解古典概率計(jì)算公式：如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相同，事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A） =[mn]. 第四，使用列表法和畫樹狀圖法需正確分析試驗(yàn)對(duì)象，了解試驗(yàn)對(duì)象是誰及它的個(gè)數(shù). 例如，某校有A，B兩個(gè)餐廳，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)餐廳用餐，求甲、乙、丙三名學(xué)生在同一個(gè)餐廳用餐的概率. 這是一道典型易錯(cuò)題，這個(gè)問題試驗(yàn)對(duì)象是A，B兩個(gè)餐廳，所以它是三步完成的試驗(yàn)，每步試驗(yàn)的結(jié)果有兩個(gè).

3. 注重實(shí)踐，提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

蘇霍姆林斯基說過這樣一句話：“當(dāng)知識(shí)與積極的活動(dòng)緊密聯(lián)系在一起的時(shí)候，學(xué)習(xí)才能成為孩子精神生活的一部分.”概率知識(shí)來源于生活實(shí)踐和生產(chǎn)過程中，所以在教學(xué)中可以讓學(xué)生多實(shí)踐，為學(xué)生提供“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，讓他們經(jīng)歷“猜想—實(shí)踐—分析—驗(yàn)證”的學(xué)習(xí)過程，親身經(jīng)歷，感性認(rèn)知，在實(shí)踐中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會(huì)概率在決策中的作用，知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值，并獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4. 傳遞文化，促進(jìn)全面發(fā)展

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展，要緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》要求，關(guān)注概率的應(yīng)用性，尤其是結(jié)合生產(chǎn)生活實(shí)際、社會(huì)熱點(diǎn)背景的題目，多以富有時(shí)代氣息的現(xiàn)實(shí)問題做例子，如5G網(wǎng)絡(luò)、抗擊疫情、禁毒、垃圾分類、節(jié)約用水等，激發(fā)學(xué)生愛黨、愛國的深厚情懷，引導(dǎo)學(xué)生修大德、明大理、立大志、行大道，努力培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人，促使學(xué)生在推動(dòng)新時(shí)代實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國夢(mèng)的壯闊進(jìn)程中展現(xiàn)青春風(fēng)采.

四、模擬題欣賞

1. 下列說法正確的是（? ? ）.

（A）端午節(jié)我們有吃粽子的習(xí)俗，為了保證大家吃上放心的粽子，質(zhì)監(jiān)部門對(duì)市場(chǎng)上的粽子實(shí)行全面調(diào)查

（B）一組數(shù)據(jù)2，5，5，3，4的眾數(shù)和中位數(shù)都是5

（C）某地發(fā)行一種福利彩票，中獎(jiǎng)概率為1%，買這種彩票100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

（D）甲、乙兩名同學(xué)各跳遠(yuǎn)10次，若他們跳遠(yuǎn)成績的平均數(shù)相同，甲同學(xué)跳遠(yuǎn)成績的方差為1.2，乙同學(xué)跳遠(yuǎn)成績的方差為1.6，則甲同學(xué)發(fā)揮比乙同學(xué)穩(wěn)定

答案：D.

2. 如圖6，小球從[A]口往下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相同，則小球最終從[H]口落出的概率為（? ? ）.

答案：C.

3. 將分別標(biāo)有“學(xué)”“習(xí)”“強(qiáng)”“國”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻. 隨機(jī)摸出一球，不放回;再隨機(jī)摸出一球. 兩次摸出的球上的漢字可以組成“強(qiáng)國”的概率是 ? ? ?.

答案：[16].

4. 一個(gè)不透明的盒子里裝有20個(gè)紅、黃兩種顏色的小球，這些球除顏色外其他完全相同. 每次摸球前先將盒子里的球搖勻任意摸出1個(gè)球記下顏色后再放回盒子. 通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3，那么估計(jì)盒子中紅球有 ? ? ?.

答案：14個(gè).

5. 小麗同學(xué)代表學(xué)校參加“我愛祖國”主題宣傳教育活動(dòng)，該活動(dòng)分為兩個(gè)階段：第一階段有“歌曲演唱”“書法展示”“器樂獨(dú)奏”三個(gè)項(xiàng)目（依次用A，B，C表示），第二階段有“故事演講”“詩歌朗誦”兩個(gè)項(xiàng)目（依次用D，E表示），參加人員在每個(gè)階段各隨機(jī)抽取一個(gè)項(xiàng)目完成.

（1）小麗同學(xué)在第一階段抽中“器樂獨(dú)奏”的概率是? ? ? ?;

（2）試用畫樹狀圖或列表的方法求小麗同學(xué)恰好抽中C，D兩個(gè)項(xiàng)目的概率.

答案：（1） [13];

（2）根據(jù)題意畫如圖7所示的樹狀圖.

共有6種等可能的情況，其中小麗同學(xué)恰好抽中C，D兩個(gè)項(xiàng)目的只有1種情況，所以小麗同學(xué)恰好抽中C，D兩個(gè)項(xiàng)目的概率為[16].

6. 爭(zhēng)創(chuàng)文明城市，從我做起，某校在九年級(jí)開設(shè)了文明禮儀校本課程，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的測(cè)試成績，分?jǐn)?shù)如下：

所有等可能的結(jié)果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，所以恰好抽到一男一女的概率為[23].

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]丁克. 2018年中考“事件的概率”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（3）：22-30.

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