一種新的類范德蒙矩陣

張華民，郭竹梅，盛家樂， 殷紅彩

(1.安徽科技學(xué)院 信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

范德蒙矩陣和它的逆矩陣在多項(xiàng)式插值、無線通信和信號處理等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用[1～3]。鑒于范德蒙矩陣的重要應(yīng)用, 基于范德蒙矩陣又衍生出了許多與范德蒙矩陣關(guān)系密切的矩陣, 如廣義范德蒙矩陣[4,5]、合流范德蒙矩陣[6,7]和類范德蒙矩陣[8]等。

同上面的工作類似，本文通過利用初等對稱多項(xiàng)式構(gòu)造一種類范德蒙矩陣，計(jì)算表明這種類范德蒙矩陣和范德蒙矩陣的行列式相等，同時(shí)這種類范德蒙矩陣的逆矩陣也和范德蒙矩陣關(guān)系密切。為了表述方便引入下面的記號。

設(shè)集合K={k1,k2,…,kr},從集合k中任選r-1個(gè)數(shù)可構(gòu)成次數(shù)從1到r-1的初等對稱多項(xiàng)式。用記號σs(i)表示從k中去掉ks(s=1,2,…,r), 從余下的r-1個(gè)數(shù)中分別選取i(i=1,2,…,r-1)個(gè)數(shù)構(gòu)成的多項(xiàng)式。例如從中選取k2,…,kr,則可構(gòu)成如下的多項(xiàng)式：

…，

σ1(r-1)=k2k3…kr.

這樣的σs(i),s=1,2,…,r,i=1,2,…,r-1，共有r×(r-1)個(gè), 它們依次是

σ1(1),…,σr(1);σ1(2),…,σr(2);σ1(r-1),…,σr(r-1).

借助這樣的初等對稱多項(xiàng)式構(gòu)造矩陣Ar(k1,k2,…,kr)和Br(k1,k2,…,kr)分別記為

(1)

(2)

稱矩陣Ar(k1,k2,…,kr)為類范德蒙矩陣。

1 主要結(jié)論

記集合K中的元素生成的r階范德蒙矩陣Vr(k1,…,kr)為

(3)

則矩陣Vr(k1,…,kr)的行列式detVr(k1,…,kr)的值為

(4)

記矩陣Wr(k1,…,kr)為

(5)

引入交換矩陣P,

則有

(7)

本文的主要結(jié)論是類范德蒙矩陣Ar(k1,k2,…,kr)與Vr(k1,k2,…,kr)行列式的值相同, 即有

定理1 沿用(1)(3)兩式中的記號, 則矩陣Ar(k1,k2,…,kr)和Vr(k1,k2,…,kr)有相同的行列式, 即有

(8)

類范德蒙矩陣Ar(k1,k2,…,kr)的逆矩陣和矩陣Wr(k1,k2,…,kr)有密切的聯(lián)系, 具體如下。

定理2 根據(jù)(1),(5)式中矩陣Ar(k1,k2,…,kr)和Wr(k1,k2,…,kr)的含義, 則有

(9)

2 定理1的證明

定理3 沿用(2)式中矩陣Br(k1,k2,…,kr)的記號, 則有

(10)

證明 下面對矩陣Br(k1,k2,…,kr)的階數(shù)r用數(shù)學(xué)歸納法來證明。為了表述方便, 接下來的證明中用集合K中元素的初等對稱多項(xiàng)式來代替σs(i),s=1,2,…,r,i=1,2,…,r-1.

下面假設(shè)對r-1階的矩陣Br-1(k2,…,kr)結(jié)論是成立的, 則對r階矩陣Br(k1,…,kr)取行列式可得

=(k1-k2)…(k1-kr)detBr-1(k2,k3…,kr)

=(k1-k2)…(k1-kr)…(kr-1-kr)

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理, 定理3中的結(jié)論是成立的。 證畢。

根據(jù)矩陣A2(k1,…,kr)與B2(k1,…,kr)的關(guān)系, 可知定理1是成立的。

3 定理2的證明

下面通過證明一個(gè)關(guān)于初等對稱多項(xiàng)式的恒等式來證明定理2.

證明 先證明下面恒等式成立

(11)

σi(1)=(k1+…+ki-1+ki+1+…+kj-1+kj+1+…+kr)+kj

(12)

(13)

(14)

分別當(dāng)n=1,2,…,r-1時(shí)將恒等式(14) 代入(11)式左端可得

=0

(15)

當(dāng)i=j時(shí), (11) 式可化成

(16)

而我們可以直接驗(yàn)證下式是成立的

=(ki-k1)(ki-k2)…(ki-ki-1)(ki-ki+1)…(ki-kr)

(17)

到此我們證明了

(18)

至此, 定理2得以證明。 證畢。

4 總結(jié)

以初等對稱多項(xiàng)式為元素, 本文提出了一種類范德蒙矩陣。它的行列式和范德蒙矩陣相等或僅相差一個(gè)符號。 通過利用初等對稱多項(xiàng)式的恒等式得到了類范德蒙矩陣和范德蒙矩陣逆的關(guān)系。 利用這種關(guān)系可以求得范德蒙矩陣的逆矩陣。