臍帶纜截面填充構(gòu)件拓撲優(yōu)化輕量化設(shè)計

毛彥東， 楊志勛， 閻軍， 王立夫， 史冬巖

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.大連理工大學(xué) 工業(yè)設(shè)備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室， 遼寧 大連 116023)

臍帶纜連接于上部浮體設(shè)施與水下生產(chǎn)系統(tǒng)之間，為水下生產(chǎn)系統(tǒng)提供電力、液壓動力及控制信號等，是深海油氣開采的關(guān)鍵設(shè)備之一[1-2]。臍帶纜內(nèi)核通常由多種功能構(gòu)件如鋼管、光纜和電纜等螺旋纏繞而成，外部的鎧裝鋼絲和外護套為內(nèi)核提供保護作用，填充構(gòu)件用于支撐截面內(nèi)各功能構(gòu)件，填補構(gòu)件之間的空隙。由于臍帶纜多構(gòu)件、多材料的特性，構(gòu)件間存在大量的接觸和摩擦，因此數(shù)值模擬被廣泛應(yīng)用于臍帶纜的力學(xué)性能分析和截面布局設(shè)計[3-8]。但填充構(gòu)件方面的研究較少，臍帶纜的填充方式可分為無填充、部分填充和密實填充三大類?；谔畛錂C理的研究，Ye等[9]分析了填充對臍帶纜各構(gòu)件之間摩擦應(yīng)力的影響。李曉月等[10]研究了無填充與部分填充對臍帶纜拉伸性能的影響。楊志勛等[11]基于平面應(yīng)變模型，考慮接觸和摩擦等因素，分析比較了徑向載荷作用下3種填充方式的臍帶纜內(nèi)核結(jié)構(gòu)力學(xué)性能。這些研究表明，填充的密實程度對于臍帶纜的截面力學(xué)性能和疲勞壽命有很大影響。密實填充狀態(tài)下的臍帶纜受力均勻、截面剛度大以及抗疲勞性能高，且具有較強的拉伸剛度和抗拉性能。但是因填充密實導(dǎo)致的自重增加以及成本上升給臍帶纜的長遠發(fā)展帶來了設(shè)計挑戰(zhàn)。

隨著水下裝備技術(shù)的不斷發(fā)展，臍帶纜的應(yīng)用水深愈來愈深，對臍帶纜的整體力學(xué)性能要求越來越高，目前填充的設(shè)計主要依據(jù)工程經(jīng)驗直接采用密實填充或部分填充，并不能達到輕質(zhì)減重及保障臍帶纜力學(xué)性能的要求，因此，如何在不降低力學(xué)性能的前提下合理地設(shè)計填充構(gòu)件的材料布局，實現(xiàn)減重是臍帶纜填充構(gòu)件設(shè)計中的一個重要的問題。本文將引入結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法用于填充構(gòu)件的輕量化設(shè)計中，并給出合理的優(yōu)化構(gòu)型。同時，通過數(shù)值模擬方法將填充優(yōu)化形式下的臍帶纜截面力學(xué)性能與傳統(tǒng)密實填充和部分填充形式進行對比分析，從而說明拓撲優(yōu)化方法的可行性。

1 填充構(gòu)件力學(xué)模型

1.1 填充構(gòu)件幾何特征

典型的臍帶纜截面如圖1所示，填充構(gòu)件作為填補各構(gòu)件間隙的支撐型結(jié)構(gòu)，其截面幾何形狀由功能構(gòu)件所定義。密實填充構(gòu)件的輪廓通常由圓弧形曲線所圍成，曲線的曲率半徑及弧長等尺寸由與之相接觸的圓形構(gòu)件所決定。臍帶纜的不同功能要求、截面布局形式、各構(gòu)件尺寸大小及排布數(shù)量都會導(dǎo)致填充構(gòu)件輪廓的不同，因此幾何形狀具有不規(guī)則性，很難將所有的填充構(gòu)件歸類并制定標準化的設(shè)計流程。本文嘗試提出一種填充構(gòu)件的定義方法：當(dāng)填充構(gòu)件的輪廓由3條圓弧形曲線所圍成時，且圓弧形曲線的曲率半徑由與之相接觸的圓形構(gòu)件所決定，則將其定義為三邊界型填充構(gòu)件。類似地，當(dāng)輪廓的曲線數(shù)目增加時，定義為四邊界型填充構(gòu)件、五邊界型填充構(gòu)件等。本文主要針對工程中應(yīng)用較為廣泛的4種填充構(gòu)件進行優(yōu)化設(shè)計。幾何模型如圖2所示，將4種填充構(gòu)件分別表示為三邊界Ⅰ型、三邊界Ⅱ型、四邊界Ⅰ型和四邊界Ⅱ型。

圖1 典型的臍帶纜截面Fig.1 Cross-section of typical umbilical cable

圖2 填充構(gòu)件幾何模型Fig.2 Geometric models of filling bodies

1.2 載荷及邊界條件

隨著海上油氣開采逐漸走向深海，臍帶纜的應(yīng)用逐漸擴展到深海領(lǐng)域。深水環(huán)境中應(yīng)用的臍帶纜通常會承受較為嚴重的海洋環(huán)境負荷，波浪、海流以及纜本身自重引起的張力和循環(huán)彎曲載荷。由于鎧裝鋼絲的螺旋結(jié)構(gòu)形式，拉扭荷載作用下會對臍帶纜內(nèi)核產(chǎn)生徑向擠壓力，如圖3所示。

圖3 臍帶纜受徑向擠壓示意Fig.3 Schematic diagram of umbilical cable under radial compression

當(dāng)內(nèi)核受擠壓時，填充構(gòu)件用于傳遞各構(gòu)件間的接觸荷載。依據(jù)力的相互作用原理，內(nèi)部功能構(gòu)件會對填充構(gòu)件產(chǎn)生作用力，如圖4所示。因此，填充構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計及驗證主要考慮海底水壓及鎧裝鋼絲引起的徑向載荷。由于填充構(gòu)件對臍帶纜的軸向力學(xué)性能影響較小，因此，本研究假定為二維平面應(yīng)變問題。通過二維截面結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，在保證結(jié)果合理性的同時，有效地減小計算量。

圖4 填充構(gòu)件受力示意Fig.4 Schematic diagram of force exerted on the filling body

2 輕量化設(shè)計方法

2.1 拓撲優(yōu)化方法

結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化可以幫助設(shè)計者尋求最優(yōu)的“挖洞”位置，為產(chǎn)品的初始設(shè)計提供思路[12]。近年來，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)發(fā)展的不斷成熟，其中變密度法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于商用優(yōu)化軟件中[13-14]。變密度法的基本思想是針對有限元模型網(wǎng)格引入一種假想的密度在0～1可變的材料，以材料的密度作為拓撲設(shè)計變量，優(yōu)化后密度為0處出現(xiàn)孔洞，保留密度值趨近于1的材料[15-16]。拓撲優(yōu)化通常采用最小化結(jié)構(gòu)的柔度的方式來對給定的材料用量找到剛度可能最大化的結(jié)構(gòu)形式。因此，填充構(gòu)件優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

(1)

式中：ρi為材料的相對密度；C(ρ)為結(jié)構(gòu)的柔度；U和F分別為整體變形和力的向量；K為整體剛度矩陣；V0和V(ρ)分別表示優(yōu)化前和優(yōu)化后的體積；f為體積分數(shù)；σmax和 [σ]分別為材料的最大應(yīng)力值和許用應(yīng)力值。

以密實填充狀態(tài)下填充構(gòu)件截面作為初始設(shè)計區(qū)域，根據(jù)填充不同截面形狀建立有限元模型，以每個單元的密度作為拓撲設(shè)計變量。優(yōu)化模型中僅包含單一的構(gòu)件和材料，特定的材料屬性和載荷的具體數(shù)值大小不會影響優(yōu)化結(jié)果，根據(jù)載荷的作用位置和分布形式即可得出其傳遞路徑，從而確定材料的最優(yōu)分布。通過這種無單元系統(tǒng)(unit-less system)的拓撲優(yōu)化[17]，根據(jù)一種截面形狀的填充構(gòu)件得到的最優(yōu)拓撲形式可以應(yīng)用于其他近似形狀的結(jié)構(gòu)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)的柔度表達式(1)可知，在相同的載荷F下，最小化柔度C意味著最小化變形U。因此，以靜態(tài)柔度最小化作為目標函數(shù)，可將最大化結(jié)構(gòu)剛度的問題轉(zhuǎn)化為最小化結(jié)構(gòu)的柔度。

每個模型的設(shè)計約束是在強度約束的基礎(chǔ)上對材料用量進行限制，材料用量的限制是通過拓撲優(yōu)化后體積與初始設(shè)計空間體積的比例(即體積分數(shù)f)來定義。對于二維截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化，體積指的是截面的面積。設(shè)置初始的體積分數(shù)限制值后進行優(yōu)化迭代計算，根據(jù)計算結(jié)果對限制值進行調(diào)整。

2.2 優(yōu)化結(jié)果驗證方法

拓撲優(yōu)化設(shè)計通常以優(yōu)化前后的有限元分析結(jié)果作為比較[18]，但填充構(gòu)件的力學(xué)性能尚且缺乏量化的評價指標，需通過臍帶纜整體截面的力學(xué)性能分析以驗證優(yōu)化后填充構(gòu)件的合理性。因此，建立密實填充、部分填充以及填充優(yōu)化形式的臍帶纜截面數(shù)值模型，以臍帶纜的截面徑向變形、關(guān)鍵構(gòu)件應(yīng)力和構(gòu)件間接觸壓力作為評價指標，通過有限元分析對拓撲優(yōu)化結(jié)果進行驗證。有限元分析考慮了接觸非線性和幾何非線性特征，假定：臍帶纜各層之間無間隙；所有材料都是連續(xù)的、均勻的、各向同性的，且具有線彈性行為。考慮臍帶纜截面多構(gòu)件、多材料的特性，在分析時可對功能構(gòu)件的幾何模型作相應(yīng)簡化[10-11]。

2.3 輕量化設(shè)計流程

本文基于OptiStruct軟件進行填充構(gòu)件的拓撲優(yōu)化，并通過ABAQUS軟件對不同填充形式的臍帶纜截面進行非線性有限元分析。填充構(gòu)件整個輕量化設(shè)計的流程如圖5所示。

3 優(yōu)化結(jié)果及驗證

3.1 拓撲優(yōu)化結(jié)果

對于上述4種填充構(gòu)件，所有模型均基于靜態(tài)載荷分析開展了相應(yīng)的拓撲優(yōu)化設(shè)計。圖6所示的是4種填充構(gòu)件體積分數(shù)限制值分別設(shè)置為0.7、0.8、0.7和0.75時，通過OptiStruct軟件求解得到的初始優(yōu)化結(jié)果，這個結(jié)果包含了材料的最優(yōu)分布及密度范圍。人為地選定材料密度ρFi作為閾值，密度值低于ρFi的單元被剔除(ρ=0)，密度等于或大于ρFi的單元轉(zhuǎn)化為實體(ρ=1)。4種填充構(gòu)件選定的密度閾值分別為：0.65、0.8、0.7和0.55。接下來通過OptiStruct實用程序OSSmooth，將結(jié)果轉(zhuǎn)換成IGES文件作為設(shè)計概念。最后，將IGES文件導(dǎo)入到建模軟件中，考慮加工制造等因素的影響對模型進行二次設(shè)計。最終得到的設(shè)計結(jié)果如圖7所示，通過輕量化設(shè)計，三邊界Ⅰ型和Ⅱ型的體積分別減少了18%和12%，四邊界Ⅰ型Ⅱ型的體積分別減少了14%和25%。

圖5 設(shè)計流程Fig.5 Design flow chart

圖6 初始優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Initial optimization results

圖7 最終優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Final optimization results

3.2 結(jié)果驗證模型

選取一根雙層排布的鋼管臍帶纜為例對優(yōu)化后的填充構(gòu)件進行驗證。臍帶纜截面包含了上述4種形狀的填充構(gòu)件，功能構(gòu)件由10個成對排布的鋼管、2個光纜和2個電纜組成。經(jīng)簡化后的模型幾何參數(shù)如表1所示。所有護套及填充構(gòu)件均為高密度聚乙烯材料(high density polyethylene，HDPE)，表2給出了所有材料的力學(xué)性能參數(shù)?；贏BAQUS軟件建立密實填充、填充優(yōu)化與部分填充的臍帶纜截面有限元模型，如圖8所示。密實填充、填充優(yōu)化與部分填充形式的填充面積分別為1 140.62、983.22和565.47 mm2。為了在有限元模型中合理的表達各構(gòu)件間的相互作用，采用面與面接觸形式，并通過罰函數(shù)法計算。在網(wǎng)格劃分時：對于圓形構(gòu)件，選擇四結(jié)點雙線性平面應(yīng)變四邊形單元CPE4R；對于不規(guī)則的填充構(gòu)件，選擇三結(jié)點線性平面應(yīng)變?nèi)切螁卧狢PE3。根據(jù)不同網(wǎng)格尺寸的有限元結(jié)果對比，最終選定的網(wǎng)格平均尺寸約為0.5 mm。根據(jù)1.2節(jié)的載荷分析，對臍帶纜外護套施加5 MPa的均布徑向壓力載荷，約束模型的中心節(jié)點，限制其平面內(nèi)的平動和轉(zhuǎn)動。

表1 簡化后的模型幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of the simplified model

表2 材料屬性Table 2 Material properties

圖8 不同填充形式的臍帶纜有限元模型Fig.8 Finite element models of umbilical cables with different filling forms

3.3 有限元分析結(jié)果

3.3.1 關(guān)鍵構(gòu)件應(yīng)力比較

徑向載荷作用下，臍帶纜截面應(yīng)力狀態(tài)如圖9所示。鋼管作為臍帶纜結(jié)構(gòu)的主要承力構(gòu)件，其應(yīng)力值最大。密實填充、填充優(yōu)化與部分填充形式下的鋼管Mises應(yīng)力最大值分別為50.71、44.15和128.01 MPa?？梢钥闯?，在填充優(yōu)化形式下鋼管的最大應(yīng)力值較小。

圖9 3種填充形式下臍帶纜截面的應(yīng)力狀態(tài)Fig.9 Stress state of cross-sections of umbilical cables with three filling forms

為進一步探究鋼管受力的均勻程度，引入概率論相關(guān)概念，考察每根鋼管應(yīng)力的平均值和標準差。平均值和標準差越小，鋼管的應(yīng)力分布越均勻，其承載性能越好。鋼管的編號如圖10所示。提取鋼管曲率變化最大的內(nèi)環(huán)節(jié)點應(yīng)力，得出內(nèi)環(huán)節(jié)點應(yīng)力的平均值和標準差，如表3所示?？梢钥闯?，填充優(yōu)化與密實填充形式下鋼管應(yīng)力的平均值幾何相當(dāng)，兩者波動范圍在5.22%以內(nèi)，且填充優(yōu)化形式下鋼管ST2、ST5、ST6和ST9的標準差小于密實填充形式。同時，通過對比發(fā)現(xiàn)鋼管ST4的標準差數(shù)值最大，說明其應(yīng)力分布較不均勻，提取鋼管ST4內(nèi)環(huán)節(jié)點的應(yīng)力值得出其應(yīng)力沿環(huán)向分布曲線如圖11所示?？傮w來看，部分填充形式下的鋼管應(yīng)力各項數(shù)值均較大于其他2種形式，而填充優(yōu)化形式的鋼管應(yīng)力與密實填充形式結(jié)果相近。這是由于填充優(yōu)化形式下，填充與鋼管間的接觸面積與密實填充相同，因此載荷傳遞較為均勻，保證了鋼管的承載能力。而部分填充形式下的接觸面積減少，導(dǎo)致鋼管應(yīng)力較大且分布不均勻。

圖10 鋼管編號Fig.10 Numbers of steel tubes

表3 不同填充形式下鋼管應(yīng)力的平均值和標準差

3.3.2 截面徑向變形

臍帶纜的徑向剛度對整體拉伸剛度和功能構(gòu)件的承載能力有很大影響，而徑向剛度的大小可以通過截面的徑向變形程度體現(xiàn)。臍帶纜截面徑向位移如圖12所示。從圖中可以看出，截面外護套的徑向變形最大。對于臍帶纜而言，徑向變形的均勻性同樣有著重要的研究意義。提取外護套外環(huán)節(jié)點的徑向位移值，通過計算得出密實填充、填充優(yōu)化與部分填充形式下外護套截面徑向位移的平均值分別為0.013 4、0.023 2和0.271 mm，標準差分別為0.002 9、0.003 5和0.041 2 mm，并基于對數(shù)坐標繪制徑向位移沿環(huán)向變化曲線如圖13所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，填充優(yōu)化與密實填充形式下的臍帶纜截面徑向變形程度較為接近，而部分填充形式遠大于其他2種形式。這是由于部分填充形式下的臍帶纜內(nèi)部各構(gòu)件間隙較大，且在外部壓力的作用下內(nèi)部構(gòu)件會發(fā)生一定的滑動，從而導(dǎo)致整體截面的徑向變形量較大。

圖11 鋼管應(yīng)力沿環(huán)向變化曲線Fig.11 Stress on steel tubes along ring direction

圖12 3種填充形式下臍帶纜截面的徑向位移Fig.12 Radial displacement of cross-sections of umbilical cables with three filling forms

3.3.3 構(gòu)件間接觸壓力

構(gòu)件間接觸壓力的大小對疲勞壽命的評估有重要意義。構(gòu)件間的接觸壓力越小，臍帶纜的抗疲勞性能越好。密實填充、填充優(yōu)化和部分填充形式下的臍帶纜構(gòu)件間接觸壓力最大值分別為25.44、25.70和60.63 MPa，如圖14所示，接觸壓力最大值出現(xiàn)在與鋼管ST4接觸處的填充構(gòu)件上。由于部分填充形式下，各構(gòu)件間的接觸面積較小，導(dǎo)致接觸壓力較大。而填充優(yōu)化形式在減小填充構(gòu)件材料用量的同時保留了外部輪廓，使得各構(gòu)件間的接觸面積不變，各構(gòu)件的受力更為均勻，說明填充構(gòu)件在輕量化的同時保證了臍帶纜的抗疲勞性能。

圖13 徑向位移沿環(huán)向變化曲線Fig.13 Radial displacement along ring direction

圖14 3種填充形式下臍帶纜截面的接觸壓力Fig.14 Contact pressure of cross-sections of umbilical cables with three filling forms

3.4 結(jié)果討論

將3種填充形式下臍帶纜截面的填充構(gòu)件面積與3種評價指標轉(zhuǎn)化為無量綱量進行對比，結(jié)果如圖15所示。相比于密實填充形式：填充優(yōu)化形式下臍帶纜截面的填充面積減少14%，對于均質(zhì)材料，即單位長度臍帶纜的填充構(gòu)件質(zhì)量減少14%；填充優(yōu)化形式下單根鋼管的應(yīng)力平均值略微增大，但其中4根鋼管的應(yīng)力標準差減小，且鋼管的最大應(yīng)力降低了13%；填充優(yōu)化形式下臍帶纜截面的徑向變形增加0.009 mm，但遠小于部分填充形式；填充優(yōu)化形式下各構(gòu)件間接觸壓力增加0.26 MPa，與密實填充形式相差較小。相比于部分填充形式，雖然填充優(yōu)化形式下臍帶纜截面的填充面積較大，但填充優(yōu)化形式下的鋼管應(yīng)力值、截面徑向變形量和構(gòu)件間的接觸壓力值均較小，且構(gòu)件受力及變形的均勻程度較為良好。通過上述分析結(jié)果的對比，說明填充優(yōu)化在實現(xiàn)輕質(zhì)減重的同時有效地保證了臍帶纜的截面力學(xué)性能，充分驗證了填充構(gòu)件輕量化設(shè)計方法的合理性。

圖15 3種填充形式的對比結(jié)果Fig.15 Results of the comparison of three filling forms

4 結(jié)論

1)提出了一種填充構(gòu)件的輕量化設(shè)計方法。以柔度最小化作為目標函數(shù)、在強度約束和材料的體積分數(shù)作為限制條件，通過變密度法開展了無單元系統(tǒng)的填充構(gòu)件二維截面拓撲優(yōu)化研究。在體積分數(shù)限制值分別設(shè)置為0.7、0.8、0.7和0.75時得到了4種填充構(gòu)件的最優(yōu)拓撲形式。4種填充構(gòu)件的體積分別減少了18%、12%、14%和25%，實現(xiàn)了填充構(gòu)件的輕量化設(shè)計。

2)針對優(yōu)化后的填充構(gòu)件提出了一種驗證方法。通過密實填充、填充優(yōu)化與部分填充形式下臍帶纜截面有限元分析的結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，對于案例所選的鋼管臍帶纜，在保證截面力學(xué)性能的前提下，單位長度的臍帶纜填充構(gòu)件通過拓撲優(yōu)化質(zhì)量減少了14%，且對臍帶纜內(nèi)部構(gòu)件受力及變形的均勻程度影響較小，驗證了拓撲優(yōu)化方法在填充構(gòu)件輕量化設(shè)計中的可行性。

3)輕量化的填充構(gòu)件可以減少材料用量，節(jié)約材料的成本，經(jīng)濟效益明顯，也減輕了臍帶纜的重量，從而減少臍帶纜頂部所受拉力。同時，填充優(yōu)化后產(chǎn)生的通孔可以用來布置臍帶纜結(jié)構(gòu)監(jiān)測傳感器，方便對在位運行中的臍帶纜進行實時監(jiān)測。為臍帶纜的設(shè)計及發(fā)展提供了參考。