基于反饋線性化的AUV三維軌跡跟蹤滑?？刂?/h1>

2022-03-20 04:03:14李娟王佳奇丁福光

哈爾濱工程大學學報訂閱 2022年3期 收藏

關(guān)鍵詞：海流線性化滑模

李娟， 王佳奇， 丁福光

(1.哈爾濱工程大學 水下機器人技術(shù)重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學 智能科學與工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

自主式水下航行器(autonomous underwater vehicle,AUV)憑借自身的安全性以及經(jīng)濟性成為海洋勘測、港口偵察等任務的重要工具，AUV的航跡準確跟蹤控制能力是執(zhí)行這些任務的技術(shù)基礎。

AUV三維軌跡跟蹤控制一直是研究的熱點，傳統(tǒng)的非線性控制方法有反步控制[1-3]、滑模控制[4]、自適應控制[5]等。文獻[6]提出了雙環(huán)無抖積分滑?？刂品椒?，大大簡化了滑模控制器的設計方法，但由于引入了積分的環(huán)節(jié)，很容易造成誤差積分飽和的問題。文獻[7]針對直接跟蹤期望位置姿態(tài)超調(diào)過大的問題，提出了雙閉環(huán)終端滑?？刂品椒?，外環(huán)經(jīng)位姿反饋量獲得虛擬控制量實現(xiàn)對位姿誤差的鎮(zhèn)定，內(nèi)環(huán)跟蹤虛擬控制率實現(xiàn)對速度誤差的鎮(zhèn)定。文獻[8]針對參數(shù)攝動和海流干擾下AUV平面目標跟蹤的問題，提出了模糊自適應軌跡跟蹤控制器，仿真實驗中可以看出模糊自適應算法仍會給控制系統(tǒng)帶來誤差。文獻[9]采用狀態(tài)反饋線性化方法對AUV數(shù)學模型進行線性化，降低其非線性程度。文獻[10]潛航器以非線性耦合模型作為控制對象，構(gòu)建基于精確反饋線性化的潛航器編隊協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)，由于采用協(xié)調(diào)控制器相對簡單，整個控制系統(tǒng)的收斂速度較慢。文獻[11]采用了邊界層自適應終端滑模的控制方法來抑制滑?？刂茙淼南到y(tǒng)抖振的問題。文獻[12]針對在有界未知擾動下的欠驅(qū)動AUV水平面軌跡跟蹤控制問題，設計了基于積分滑模的軌跡跟蹤控制器，極大提高了控制器在有界干擾下的魯棒性，但文中對未知干擾的抑制并未提出有效的解決方法。

綜上分析可知AUV在復雜海洋環(huán)境下的精準三維軌跡控制仍存在諸多挑戰(zhàn)，本文對全驅(qū)動AUV模型進行反饋線性化，考慮在定常海流以及未知環(huán)境的干擾下，對線性化后的模型設計自適應可變參滑模的控制器，并引入比例積分觀測器，實現(xiàn)AUV在未知復雜環(huán)境中的精準無抖振三維軌跡跟蹤控制。

1 AUV模型

圖1中O-NED為北東坐標系即固定坐標系，B-xyz為船體坐標系即慣性坐標系。AUV的執(zhí)行機構(gòu)配置為：主推進器在AUV的艉部布置，實現(xiàn)AUV縱向速度控制；輔助推進器在AUV的兩側(cè)和頂部對稱布置，實現(xiàn)AUV橫向速度和垂向速度控制；垂直舵實現(xiàn)AUV艏向角控制；水平舵實現(xiàn)AUV縱傾角控制。AUV的空間運動具有全驅(qū)動的特性，空間運動坐標系如圖1所示，并在船體坐標系下建立的數(shù)學模型可表示為：

(1)

式中：η=[xyzθψ]T∈R5表示AUV在大地坐標系下的位姿向量；μ=[uvwqr]T∈R5表示AUV在船體坐標系下的速度向量；M是慣性矩陣，包括附加質(zhì)量；J(η)是變換矩陣；C(μ)是向心力和科氏力矩陣，包括附加質(zhì)量產(chǎn)生的向心力和科氏力；D(μ)是水動力阻力和升力力矩；g(η)是恢復力和力矩向量；τ=[τuτvτwτqτr]T∈R5是在船體坐標系下的控制器輸入向量。g′∈R5×5是執(zhí)行機構(gòu)的參數(shù)矩陣。忽略高階非線性水動力阻尼項和橫搖運動對該AUV三維空間運動的影響，AUV的運動學和動力學數(shù)學模型以及模型參數(shù)見文獻[10]。

圖1 AUV坐標系Fig.1 Reference frames of AUV

2 AUV控制器設計

2.1 AUV模型的反饋線性化

反饋線性化的主要思路是利用反饋的方法將非線性系統(tǒng)精確線性化或部分精確線性化，反饋線性化適應于大部分的非線性控制系統(tǒng)，若非線性系統(tǒng)的相對階之和等于系統(tǒng)的階數(shù)，就可以將非線性系統(tǒng)進行精確線性化。

令：

N(η,μ)=-C(μ)μ-D(μ)μ-g(η)

(2)

則式(1)為：

(3)

為了便于模型的反饋線性化，將式(3)寫成為:

(4)

式中：

ξ=[xyzθψuvwqr]T，

取非線性系統(tǒng)的輸出量為位姿向量，AUV非線性模型為:

(5)

且h(ξ)=[xyzθψ]T，g(ξ)=M1g′。根據(jù)文獻[13] Lie導數(shù)相關(guān)內(nèi)容可知：

(6)

由此可得一階Lie導數(shù)Lfh(ξ)、Lgh(ξ)為:

(7)

同理根據(jù)二階Lie導數(shù)的定義，可知：

(8)

(9)

引理1[13]n階仿射非線性系統(tǒng)精確線性化有解的充分必要條件是，當且僅當存在一個標量函數(shù)h(x)，使得如下系統(tǒng)：

(10)

在x0∈U點的相對階為n。

根據(jù)相對階的定義可知，該模型的相對階之和為：ρ1+ρ2+ρ3+ρ4+ρ5=10，其中ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=ρ5=2，即相對階的和等于系統(tǒng)的階數(shù)10，由引理1得知，該模型可以進行精確反饋線性化，并且有解。選擇坐標變化如下：

(11)

將式(7)代入得：

(12)

可得到AUV線性化數(shù)學模型為：

(13)

2.2 AUV軌跡跟蹤控制器設計

圖2 AUV控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of AUV control system

假設2海流干擾是定常有界的干擾，且外界環(huán)境中的未知干擾是有界周期性的。

設ηd為期望的運動軌跡，考慮定常海流擾動，海流大小為vbm/s，流向角為α，則z1d=ηd，z1e=z1-z1d，z2e=z2-z2d+vdis，海流擾動量在船體坐標系下對AUV速度的影響為：

(14)

式中：uc為海流擾動對AUV縱向速度的干擾量；vc為海流擾動對AUV橫向速度的干擾量。根據(jù)文獻[14]取滑模面為：

s=k1z1e+k2z2e

(15)

(16)

其中k1，k2>0，取指數(shù)趨近率為：

(17)

式中：k是等速項趨近系數(shù)(constant velocity approach coefficient)，k>0；ε是指數(shù)項趨近系數(shù)(exponential approach coefficient)，ε>0。將式(17)代入式(16)，可得到控制量U，即：

U=(-kk1z1e-(kk2+k1)z2e-εsgn(s))/k2

(18)

通過仿真和查閱資料可知，使用這種趨近率得到的控制器可以實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定和收斂，但是會帶來持續(xù)性的周期抖振，不利于執(zhí)行機構(gòu)的平穩(wěn)輸出。指數(shù)項趨緊系數(shù)ε是造成抖振的主要因素，將ε設計成自適應可變參,可以消除滑?？刂破鞯亩墩瘛?/p>

令ε=k3‖s‖，其中‖s‖為設計滑模面的模值，ε與‖s‖成正比，當控制系統(tǒng)趨近滑模面，ε便無限趨近于零，從而實現(xiàn)無抖振的滑?？刂?。將ε代入式(18)，可得自適應可變參的滑?？刂坡桑?/p>

U=(-kk1z1e-(kk2+k1)z2e-
k3|s|sgn(s))/k2

(19)

AUV在實際的海洋環(huán)境中受到的擾動不僅有海流的擾動，還有除海流外其他的未知環(huán)境擾動。為了實現(xiàn)AUV的三維空間軌跡跟蹤器在有界控制輸入和外界未知擾動作用下的穩(wěn)定性，將式(13)的AUV動力學反饋線性化的模型中加入有界未知干擾，得到：

(20)

式中：ud=[ud1ud2ud3ud4ud5]為有界的未知環(huán)境擾動。對應的AUV控制器為：

U=(-kk1z1e-(kk2+k1)z2e-

(21)

圖3 觀測器結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure block diagram of observer

圖3中，B,C,D∈R5×5均是單位矩陣，KP、KI分別是比例系數(shù)和積分系數(shù)。針對未知擾動部分設計的控制律為：

(22)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理：滿足假設1、2的全驅(qū)動AUV，在自適應可變參滑?？刂坡墒?21)和未知擾動控制律式(22)的控制下，通過調(diào)整設計參數(shù)使跟蹤誤差漸進收斂到零值附近，保證系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

證明：選取Lyapunov函數(shù)為：

(23)

(24)

將式(22)代入式(24),得:

(25)

將式(25)分成2個部分進行穩(wěn)定性分析，即：

(26)

對于未知擾動觀測器模型：

(27)

(28)

即:

(29)

由式(23)可知定義的Lyapunov函數(shù)是正定的，同時Lyapunov函數(shù)的導數(shù)是負定的，故在控制輸入式(21)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，定理得證。

3 仿真實驗與分析

3.1 仿真實驗1：模型比對驗證

首先針對非線性AUV模型設計本文的控制器(nonlinear adaptive sliding mode control，NASM)，然后針對AUV反饋線性化模型設計本文的控制器(linear adaptive sliding mode control，LASM)，最后設計相同的期望路徑進行對比。不考慮海流以及環(huán)境的擾動，期望的運動軌跡如下：

(30)

AUV的初始位置y(0)為5 m，x(0)為65 m，深度為0 m，初始姿態(tài)θ(0)為0，艏向角ψ(0)為π/2，縱向速度u(0)為0.5 m/s，其他速度都初始化為0 m/s，控制器參數(shù)為k=1,k1=1,k2=1,k3=0.007，該條件下仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 AUV三維軌跡Fig.4 AUV trajectory

圖4是AUV的三維運動軌跡圖，可以看出2種控制器都能夠在有限的時間內(nèi)跟蹤上期望的軌跡。因為是螺旋下潛的運動軌跡，所以AUV會在運動過程中產(chǎn)生橫向漂移的運動現(xiàn)象，在橫向速度的控制器作用下可以將實際的橫向速度穩(wěn)定在期望值附近。從圖6可以看出使用NASM控制方法AUV的垂向速度w和縱傾角速度q會出現(xiàn)連續(xù)的周期性的抖振,而LASM能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定平滑的控制。通過仿真驗證了非線性系統(tǒng)設計的控制器設計的缺陷，如收斂速度慢，抖振以及控制器設計復雜和控制參數(shù)繁多等問題；設計的可變參自適應線性滑?？刂破髂軌蚩焖賹ξ蛔撕退俣日`差進行鎮(zhèn)定，具有調(diào)節(jié)時間短和設計簡單等優(yōu)點。

圖5 AUV 姿態(tài)角和速度狀態(tài)Fig.5 AUV attitude angle and velocity state

圖6 AUV縱向速度和角速度Fig.6 AUV longitudinal velocity and angular velocity

3.2 仿真實驗2：定常海流以及未知環(huán)境干擾下的AUV三維軌跡跟蹤

針對定常海流和外界未知干擾下的AUV三維軌跡跟蹤控制問題，使用基于自適應可變參滑?？刂破?adaptive sliding mode control，ASM)和常規(guī)滑?？刂破?sliding mode control，SM)以及常規(guī)反步法控制器(backstepping control, BS)進行仿真實驗對比?？紤]仿真的海流環(huán)境為海流大小為0.2 m/s,海流方向為30°，加入的未知環(huán)境干擾量為ud=[ud1ud2ud3ud4ud5]T，每個方向的干擾分布在[0，0.5]。AUV的期望運動軌跡如下:

(31)

(32)

式中300

AUV的初始狀態(tài)為：初始位置x(0)為10 m，y(0)為10 m，z(0)為-3 m，初始姿態(tài)θ(0)為0.18 rad，艏向角ψ(0)為π，縱向速度u(0) 0.5 m/s，其他速度都初始化為0 m/s，控制器參數(shù)為k=1,k1=0.4,k2=0.7,k3=0.017，比例積分觀測器增益矩陣為:

仿真結(jié)果如圖7～11所示。從圖中可以看出3種控制方法都能實現(xiàn)期望的軌跡跟蹤，但滑?？刂破骱妥赃m應可變參滑模控制器的收斂速度快于反步控制器。從圖8中可以看出在t=300時進行勻速螺旋下潛，下潛速度為0.112 m/s，縱傾角保持在-4°左右，3種控制器下的AUV能跟蹤上期望的運動軌跡。

圖7 未知干擾下的AUV三維軌跡Fig.7 Three-dimensional trajectory of AUV under unknown interference

圖8 未知干擾下的AUV狀態(tài)Fig.8 AUV status under unknown interference

圖9 未知干擾下的AUV角速度狀態(tài)Fig.9 AUV angular velocity state under unknown interference

此次仿真實現(xiàn)加入了海流以及環(huán)境的未知干擾，因此在初始時刻AUV的速度量控制會產(chǎn)生較大超調(diào)；并且從仿真圖中可以看出，反步控制器下的AUV縱向速度、橫向速度和縱傾角速度的超調(diào)量明顯大于滑?？刂破骱妥赃m應可變參滑?？刂破飨碌乃俣瘸{(diào)量，但滑模控制器在系統(tǒng)穩(wěn)定時會出現(xiàn)周期性抖振。速度超調(diào)量始終在控制器的調(diào)控范圍內(nèi)，在控制器的控制作用下這些速度量能夠快速穩(wěn)定到期望值處，且速度誤差最終收斂到0。圖10和11是未知環(huán)境連續(xù)可微干擾ud的仿真圖，圖12是使用文中觀測器對高斯白噪聲的觀測。從仿真圖中可看出本文設計的比例積分觀測器能夠快速、高效地完成對未知干擾的觀測。

圖12 高斯白噪聲干擾的真實值與估計值Fig.12 True and estimated values of gaussian white noise interference

綜合來說，設計的自適應可變參滑模控制器能夠?qū)崿F(xiàn)無抖的AUV三維軌跡運動控制，并且控制器具有快速鎮(zhèn)定位置誤差和速度誤差的功能，能夠?qū)崿F(xiàn)未知擾動環(huán)境下的復雜期望軌跡的無抖振控制。

4 結(jié)論

1)可以使用精確反饋線性化的方法將非線性、強耦合的全驅(qū)動AUV模型轉(zhuǎn)化為精確線性化的模型。

2)可以使用比例積分觀測器對復雜海洋環(huán)境中的有界未知干擾進行精準觀測。

3)設計的自適應可變參滑?？刂破髂軌蛴行б种苽鹘y(tǒng)滑?？刂破髦械亩墩駟栴}。

4)仿真結(jié)果表明所設計的控制器誤差收斂速度快，能夠有效克服非線性系統(tǒng)為控制系統(tǒng)帶來系統(tǒng)誤差的問題，能較好地實現(xiàn)AUV在復雜海洋未知干擾環(huán)境下的三維時變軌跡的精準控制。

對于AUV的復雜系統(tǒng)，本文研究的是全驅(qū)動的AUV模型，欠驅(qū)動的AUV同樣存在著強耦合、非線性等共性問題，更有著高階速度量不能積分的問題，對于這些復雜的AUV模型進行精確反饋線性化或者部分線性化無疑是復雜、困難的。此外真實的海洋中AUV模型存在不確定性，本文采取的是未知有界的時變周期函數(shù)模擬海洋的未知干擾，后續(xù)研究將會考慮真實情況欠驅(qū)動AUV在存在不確定性和有界未知多變的海洋干擾下的軌跡精準控制。

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