案例與實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在泊松過程教學(xué)中應(yīng)用

王沁 唐家銀 趙春明

[摘 要] 本文探討了案例教學(xué)法和實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在泊松過程教學(xué)中的應(yīng)用。案例教學(xué)法從四個(gè)維度上進(jìn)行設(shè)計(jì)，形成由一般到特殊，再從特殊到一般的教學(xué)模式，從而避免傳統(tǒng)教學(xué)方式的枯燥，實(shí)現(xiàn)知識由“點(diǎn)”到“線”的思維過程，最終達(dá)到由“線”到“面”的思維升華；實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在設(shè)計(jì)上，從課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)，到個(gè)性化實(shí)驗(yàn)，再到綜合性實(shí)驗(yàn)，形成從簡單到復(fù)雜，從基礎(chǔ)到應(yīng)用，再到創(chuàng)新，層次遞進(jìn)，逐層展開，從而潛在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力。

[關(guān)鍵詞] 泊松過程；案例教學(xué)法；實(shí)驗(yàn)教學(xué)法

[基金項(xiàng)目] 2021—2023年四川省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（JG2021-261）；2020—2022年度中國交通教育研究會交通教育科學(xué)研究課題項(xiàng)目（JTYB20-77）；2021年度西南交通大學(xué)本科教育教學(xué)研究與改革項(xiàng)目（2103113）

[作者簡介] 王 沁（1973—），女，四川夾江人，博士，西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)學(xué)教育、隨機(jī)過程教學(xué)研究。

[中圖分類號] G642.4 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）06-0121-04 [收稿日期] 2021-06-11

引言

“隨機(jī)過程”是應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)專業(yè)學(xué)生的一門最重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是交通運(yùn)輸、機(jī)械工程、電子信息等工科專業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，該課程綜合性強(qiáng)、難度大、內(nèi)容抽象，公式較多，理論推導(dǎo)有一定深度。無論對于研究生還是本科生來說，要學(xué)好這門課程，不僅需要概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面的基礎(chǔ)知識，而且還需要具有高等數(shù)學(xué)方面的基礎(chǔ)知識，所以此門課程令很多學(xué)生感到枯燥頭疼，對學(xué)好“隨機(jī)過程”這門課的信心不足。

泊松過程是隨機(jī)過程中最重要的一類過程，被稱為隨機(jī)過程的基石，在整個(gè)“隨機(jī)過程”課程的教學(xué)課時(shí)中占了40%的比例。而且泊松過程在經(jīng)濟(jì)、金融、交通運(yùn)輸?shù)榷喾矫娑季哂袕V泛的應(yīng)用。掌握好泊松過程的基本知識、基本定理和知識點(diǎn)之間的層次關(guān)系，有利于觸類旁通學(xué)好馬爾科夫過程、平穩(wěn)過程等隨機(jī)過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)數(shù)學(xué)意識，并以泊松過程的基本知識、基本定理為基礎(chǔ)開展一些拓展性的研究。鑒于此，本文結(jié)合教學(xué)改革的要求和教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，以及學(xué)生在學(xué)習(xí)泊松過程中表現(xiàn)出的不足，探討案例教學(xué)法和實(shí)驗(yàn)教學(xué)法在泊松過程的應(yīng)用和實(shí)踐，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生能夠較快較好地掌握泊松過程的所有知識點(diǎn)，并在實(shí)踐中靈活準(zhǔn)確的應(yīng)用，以期拋磚引玉，推動本專業(yè)教學(xué)改革的發(fā)展與創(chuàng)新。

一、原有教學(xué)環(huán)節(jié)概況

在傳統(tǒng)教學(xué)實(shí)踐中，大多數(shù)教師通常圍繞泊松過程的定義、泊松過程的分布及有關(guān)概率的求法、泊松過程的數(shù)字特征、泊松過程相伴的等待過程的分布、兩質(zhì)點(diǎn)到達(dá)時(shí)間間隔的分布函數(shù)，以及泊松過程的疊加、泊松過程的分解、復(fù)合泊松過程和非齊次泊松過程四種泊松過程的擴(kuò)展來展開教學(xué)。因此，由概念入手，圍繞定理、性質(zhì)的證明來層層遞進(jìn)展開，并組織學(xué)生進(jìn)行各類計(jì)算的方式，看起來符合學(xué)生的思維特征，具有邏輯上的合理性，但由于基本概念較多，內(nèi)容抽象，數(shù)學(xué)推導(dǎo)較多，這些抽象的定義、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)證明，對大多數(shù)學(xué)生來說，往往難以深入理解和掌握。在此過程中，大多是以教師的講解為主，學(xué)生更多的被“灌輸”泊松過程的相關(guān)知識，而不是帶著問題或目的學(xué)習(xí)，必然導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高、學(xué)習(xí)效果較差的結(jié)果。不光教師教得累，學(xué)生聽得更累。這就需要對課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行不斷更新，積極探索“以學(xué)習(xí)者為中心”“以案例教學(xué)為驅(qū)動”的教學(xué)模式。

在傳統(tǒng)泊松過程的教學(xué)中，基本不設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，大多通過課前預(yù)習(xí)、課堂講授、課后作業(yè)三大環(huán)節(jié)來展開教學(xué)。即在課程開始階段，要求學(xué)生復(fù)習(xí)概率論知識、復(fù)習(xí)上一節(jié)課所學(xué)知識點(diǎn)；在課程講解相應(yīng)的階段，要求學(xué)生認(rèn)真聽課，做好筆記；在課程結(jié)束階段，要求學(xué)生做完上一節(jié)課的作業(yè)，整理筆記。通過三大環(huán)節(jié)加深學(xué)生對抽象定義和理論知識的理解，但由于概率論知識的遺忘，泊松過程的概念、定理的抽象性，以及知識點(diǎn)較多，作業(yè)題目的局限性，學(xué)生往往覺得泊松過程難學(xué)，“隨機(jī)過程隨機(jī)過”，使學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)過程的積極性深受打擊，這不僅不利于激發(fā)學(xué)生對泊松過程的學(xué)習(xí)興趣，也大大限制了學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)隨機(jī)過程學(xué)科知識的積極性和有效性，影響了課程的教學(xué)質(zhì)量。需要積極探索“以課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)為中心”“以個(gè)性化實(shí)驗(yàn)為驅(qū)動”“以綜合性實(shí)驗(yàn)為引導(dǎo)”的教學(xué)模式[1-5]，通過實(shí)驗(yàn)教學(xué)法使學(xué)生有效掌握泊松過程的知識，并將所學(xué)的知識應(yīng)用于實(shí)踐。

二、案例教學(xué)改革思路

根據(jù)泊松過程特點(diǎn)，圍繞泊松過程這一章節(jié)的課程教學(xué)目標(biāo)和核心知識點(diǎn)融入案例，以案例教學(xué)法驅(qū)動泊松過程的課程教學(xué)改革，具體思路如下。

（一）由生活中常見的計(jì)數(shù)過程案例入手

在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多“計(jì)數(shù)”的案例，比如，自2020年1月23日武漢封城以來，我國新型冠狀病毒感染的肺炎累計(jì)確診人數(shù)，當(dāng)日新型冠狀病毒感染的肺炎確診人數(shù)，當(dāng)日新型冠狀病毒感染的肺炎疑似病例數(shù)，武漢封城以來我國新型冠狀病毒感染的肺炎累計(jì)死亡人數(shù)等。又比如，自2018年1月1日以來，到達(dá)北京西站的乘客人數(shù)，北京西站每天客流量的變化，北京西站每天進(jìn)站總?cè)藬?shù)，北京西站每天進(jìn)站的出租車數(shù)，北京西站乘務(wù)員每天接警次數(shù)，自2018年1月1日以來，北京西站累計(jì)出站人數(shù)等，引導(dǎo)學(xué)生從生活中常見的“計(jì)數(shù)”案例入手，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，理清以累計(jì)為基礎(chǔ)的隨機(jī)過程才是計(jì)數(shù)過程，理順如何將非累積“計(jì)數(shù)”轉(zhuǎn)化為以累計(jì)為基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)過程，并引導(dǎo)學(xué)生在“計(jì)數(shù)”的案例中記錄隨機(jī)事件第i次發(fā)生時(shí)間，學(xué)會用充分小的時(shí)間段來分析計(jì)數(shù)過程的特征，從而清楚認(rèn)識到泊松過程是計(jì)數(shù)過程中最特別、最重要的一類，將抽象的定義與生活中的案例結(jié)合。

（二）從關(guān)系入手融入案例

圍繞指數(shù)分布與埃爾朗分布的關(guān)系，二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系，指數(shù)分布與泊松過程的關(guān)系，泊松分布與泊松過程的關(guān)系，泊松過程的可加性，融入案例，理解泊松過程的屬性；圍繞條件分布與條件期望的關(guān)系，數(shù)字特征與特征函數(shù)的關(guān)系，一維分布函數(shù)與多維分布函數(shù)的關(guān)系，分布函數(shù)與特征函數(shù)的關(guān)系，融入案例，層次遞進(jìn)地掌握泊松過程的本質(zhì)特征；圍繞泊松過程與更新過程的關(guān)系，泊松過程與非齊次泊松過程的關(guān)系，融入案例，從一般的計(jì)數(shù)過程到齊次泊松過程，再到非齊次泊松過程，再到更新過程，形成整個(gè)計(jì)數(shù)過程的知識框架結(jié)構(gòu)；圍繞泊松過程與馬爾科夫過程的關(guān)系，泊松過程與平穩(wěn)過程的關(guān)系，將泊松過程的馬氏性，潛在平穩(wěn)性融入案例，從一般的計(jì)數(shù)過程到齊次泊松過程，再到馬爾科夫過程，再到平穩(wěn)過程，形成整個(gè)隨機(jī)過程的知識框架結(jié)構(gòu)；拓展一維泊松過程到二維泊松過程，拓展泊松過程到更新過程，并理清一維泊松過程和二維泊松過程關(guān)系，泊松過程和更新過程的關(guān)系，形成系統(tǒng)的關(guān)于泊松過程的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。圍繞隨機(jī)過程的均方微積分與泊松過程的隨機(jī)微積分的關(guān)系，圍繞泊松過程的隨機(jī)微積分與伊藤積分的關(guān)系，從一般均方微積分，過渡到隨機(jī)微積分，形成用隨機(jī)微分方程方法探討隨機(jī)過程特征的知識脈絡(luò)。

（三）從相對復(fù)雜案例入手

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可以記錄從A入口進(jìn)入商場的人數(shù)，記錄從B入口進(jìn)入商場的人數(shù)，同時(shí)也可以記錄進(jìn)入商店的總?cè)藬?shù)，購物的總?cè)藬?shù)，還可以記錄到女士服飾、兒童用品等不同商業(yè)區(qū)域的人數(shù)，還可以分析比較上下午不同時(shí)段進(jìn)入商店人數(shù)的變化，分析各種商品銷售的零售額，這樣一個(gè)復(fù)雜的案例，就可能涉及非齊次泊松過程、泊松過程的疊加、泊松過程的分解，以及復(fù)合泊松過程等。這樣的復(fù)雜案例在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，比如，記錄從早晨8：00開始手機(jī)累計(jì)收到的呼叫次數(shù)，呼叫的時(shí)長、呼叫的費(fèi)用、呼叫人的性別等；記錄從早晨9：30開市股票市場中累計(jì)買進(jìn)或賣出股票的次數(shù)，累計(jì)成交金額等；這樣一來，將泊松過程的擴(kuò)展融入實(shí)例，圍繞泊松過程的本質(zhì)特征展開了整個(gè)泊松過程知識體系的教學(xué)。

（四）從問題入手融入案例

在課堂教學(xué)中選取教學(xué)難點(diǎn)和教學(xué)重點(diǎn)時(shí)，以學(xué)生常常遇到的某個(gè)問題為切入點(diǎn)，比如，復(fù)合泊松過程在何種情況下與泊松過程的分解等價(jià)，復(fù)合泊松過程在何種情況下與齊次泊松過程等價(jià)，泊松過程的獨(dú)立增量性是否是泊松過程最本質(zhì)的特征，兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程之差是否可以看作復(fù)合泊松過程，泊松過程的均分積分過程是否具有獨(dú)立增量性特征，如何將泊松過程轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過程等，以拋磚引玉，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識，通過查閱資料和課堂討論，思考解決問題，使得泊松過程的擴(kuò)展緊緊圍繞泊松過程的內(nèi)在特征展開，從而掌握整個(gè)泊松過程的知識體系。

圍繞四個(gè)維度的案例教學(xué)，形成由一般計(jì)數(shù)過程到特殊計(jì)數(shù)過程泊松過程，由泊松過程到特殊的更新過程、馬爾科夫過程、平穩(wěn)過程，由泊松過程到泊松過程疊加、泊松過程分解、復(fù)合泊松過程等泊松過程的擴(kuò)展，又由泊松過程的擴(kuò)展（泊松過程疊加、泊松過程的分解、復(fù)合泊松過程、非齊次的泊松過程）再回到一般的泊松過程的邏輯過程，使得泊松過程的知識體系立體化，使得泊松過程、馬爾科夫過程、平穩(wěn)過程融合在一起，而不是獨(dú)立地存在隨機(jī)過程課程教學(xué)的各個(gè)章節(jié)中，從而使學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)理論知識，形成系統(tǒng)深入的專業(yè)知識，培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維能力。

三、實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容的項(xiàng)目設(shè)計(jì)

針對泊松過程現(xiàn)有教學(xué)中實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)的缺失，根據(jù)教學(xué)創(chuàng)新思路，設(shè)計(jì)課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)、個(gè)性化實(shí)驗(yàn)和綜合性實(shí)驗(yàn)，從而使學(xué)生弄清泊松過程的本質(zhì)，掌握相關(guān)定理，掌握泊松過程的特點(diǎn)，更好地引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題。實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)計(jì)說明如下。

（一）課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是針對泊松過程的基本知識和基本定理，教師確定并設(shè)計(jì)題目，要求所有學(xué)生都需要掌握和完成的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，包括泊松過程的蒙特卡洛模擬，泊松過程數(shù)字特征的驗(yàn)證、泊松過程的泊松強(qiáng)度的估計(jì)、泊松過程獨(dú)立增量性的驗(yàn)證、泊松過程疊加的實(shí)現(xiàn)、泊松過程分解的實(shí)現(xiàn)、泊松過程的構(gòu)成和檢驗(yàn)、復(fù)合泊松過程的蒙特卡洛模擬、非齊次泊松過程的蒙特卡洛模擬等，這樣一來使教學(xué)過程對學(xué)生始終有一種吸引力，使學(xué)生享受到學(xué)習(xí)的樂趣，有利于使抽象、煩瑣、復(fù)雜的定理得到直觀的展示，有利于泊松過程知識點(diǎn)之間的層次關(guān)系形象直觀地呈現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，從而使學(xué)生掌握泊松過程的理論和思想，以及相關(guān)的定理。

課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)板塊，鼓勵學(xué)生采用不同的軟件，比如R軟件、Python軟件、EViews軟件等，來完成同一實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，這樣一來避免了學(xué)生的抄襲，也可以引導(dǎo)學(xué)生掌握不同類型統(tǒng)計(jì)軟件，了解不同軟件在泊松過程上的適用度，從而讓學(xué)生借助軟件的使用，較為便捷地學(xué)習(xí)泊松過程的相關(guān)知識點(diǎn)[6，7]。

（二）個(gè)性化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

個(gè)性化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是指在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生團(tuán)隊(duì)獨(dú)立完成的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，比如，物料訂單的規(guī)劃，道路交通信號燈的設(shè)計(jì)，交通事故預(yù)測，齊次泊松過程與復(fù)合泊松過程在保險(xiǎn)業(yè)風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用，泊松過程在證券投資分析中的應(yīng)用，泊松過程在供應(yīng)鏈中的應(yīng)用，服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)的非齊次泊松過程仿真等，圍繞現(xiàn)實(shí)生活中的泊松過程案例，完成個(gè)性化實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)目的、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和系統(tǒng)性的報(bào)告，這樣一來有利于學(xué)生弄清泊松過程的本質(zhì)，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)隨機(jī)過程的興趣，培養(yǎng)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想。

（三）綜合性實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在綜合性實(shí)驗(yàn)上，要求學(xué)生跨章節(jié)，將泊松過程與馬爾科夫過程、與平穩(wěn)過程等隨機(jī)過程的知識融合在一起進(jìn)行實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)。比如，鋼琴銷售的存貯策略問題，一個(gè)星期內(nèi)累計(jì)購買鋼琴的人數(shù)是一個(gè)泊松過程，同時(shí)根據(jù)一個(gè)星期銷售量設(shè)置進(jìn)貨量的策略是一個(gè)馬爾科夫過程，將泊松過程與馬爾科夫過程融合在一起；再比如，基于非齊次泊松過程及其參數(shù)化模型用于可靠性工程，基于復(fù)合泊松過程的某公司經(jīng)濟(jì)狀況的分析，排隊(duì)論和泊松過程在小區(qū)物業(yè)管理中的應(yīng)用，一維泊松過程和二維泊松過程在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用，馬氏調(diào)節(jié)泊松過程在系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用，泊松過程和維納過程共同驅(qū)動的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析等，這樣一來了解泊松過程在物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、金融、交通運(yùn)輸和管理科學(xué)等領(lǐng)域中的廣泛的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的興趣、拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用泊松過程、平穩(wěn)過程、馬爾科夫過程等隨機(jī)過程分析問題和解決問題的能力，發(fā)揮學(xué)生的自主能力，綜合運(yùn)用多學(xué)科知識，理論與實(shí)踐相融合，培養(yǎng)創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力。

結(jié)語

泊松過程是“隨機(jī)過程”課程中最重要的一個(gè)教學(xué)章節(jié)，本文主要針對在泊松過程的教學(xué)過程中如何結(jié)合案例教學(xué)法和實(shí)驗(yàn)教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，作了簡單的探討。首先通過實(shí)際生活中的案例引入計(jì)數(shù)過程，再拓展到泊松過程一般性的定義，然后通過泊松過程、等待時(shí)間過程、時(shí)間間隔過程之間的關(guān)系，點(diǎn)明泊松過程的分布和本質(zhì)特征，最后通過泊松過程的擴(kuò)展，掌握泊松過程各個(gè)層面的知識點(diǎn)。這種由一般到特殊，再由特殊到一般的教學(xué)方式，同時(shí)由具體案例引入得到抽象公式，既能避免公式推導(dǎo)、定理證明的繁雜和枯燥，又遵循了思維發(fā)展規(guī)律，由淺入深地幫助學(xué)生較為輕松地掌握泊松過程。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)上，以課堂內(nèi)容實(shí)驗(yàn)、個(gè)性化實(shí)驗(yàn)、綜合性實(shí)驗(yàn)為載體，整合理論知識和實(shí)踐知識，探索“理實(shí)一體”的教學(xué)模式，不僅可以消除學(xué)生“枯燥”學(xué)習(xí)后“沒有用武之地”的想法，更能讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動力，積極主動地學(xué)習(xí)“隨機(jī)過程”課程，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，潛在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力。

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Application of Case and Experimental Teaching Method in the Teaching of Poisson Process

WANG Qin， TANG Jia-yin， ZHAO Chun-ming

（School of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu， Sichuan 611756， China）

Abstract： This paper discusses the application of case and experimental teaching in Poisson process teaching. On the one hand， the case teaching method of Poisson process teaching is designed from four dimensions， which forms a teaching model from general to special， and then from special to general， so as to avoid the boredom of traditional teaching methods and realize the thinking process of knowledge from “point” to “l(fā)ine”， and finally achieve the thinking sublimation from “l(fā)ine” to “plane”. On the other hand， the experimental teaching of Poisson process teaching is designed from classroom content experiment to personalized experiment， and then to comprehensive experiment. The process of experimental teaching is to teach progressively form simple to complex， from basic to application， and then to innovation， so as to imperceptibly cultivate students’ innovative spirit and innovation ability.

Key words： Poisson process； case teaching method； experimental teaching method

3356500589218