工科專業(yè)《計算方法》課程教學(xué)改革探索

黃姣茹，陳超波，高嵩

（西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，陜西西安 710021）

數(shù)值計算在科學(xué)研究、工程實(shí)踐中被廣泛應(yīng)用，特別是在計算機(jī)時代，適應(yīng)計算機(jī)的新算法大量涌現(xiàn)，可以說數(shù)值計算進(jìn)入了研究、應(yīng)用和發(fā)展的新時期[1]?！队嬎惴椒ā纷鳛橐婚T講授數(shù)值計算基本理論和方法的課程，研究的是如何利用計算機(jī)求實(shí)際工程中各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解。因其較強(qiáng)的實(shí)用性，該課程已經(jīng)成為各高校數(shù)學(xué)專業(yè)與計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、自動化等工科專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)必修課。

隨著應(yīng)用型人才培養(yǎng)工作的逐步推進(jìn)，面向工科專業(yè)的課程重在培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際工程科學(xué)問題的能力[2-4]?！队嬎惴椒ā纷鳛橐婚T理論與實(shí)踐結(jié)合的課程，需要學(xué)生能夠通過分析實(shí)際工程問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，能夠根據(jù)不同算法的適用范圍，選取合適的算法對構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解，能夠通過編寫算法的相關(guān)程序運(yùn)用計算機(jī)進(jìn)行求解。目前，針對工科專業(yè)學(xué)生開設(shè)的《計算方法》課程，主要涉及“非線性方程求根”“線性方程組求解”“牛頓插值法”“數(shù)值積分”“一階微分方程的初值問題求解”等算法的基本理論及程序設(shè)計。由于現(xiàn)有課程教學(xué)內(nèi)容涉及過多基本理論和算法的推導(dǎo)，在教學(xué)過程中出現(xiàn)了注重課堂理論教學(xué)忽略實(shí)踐應(yīng)用的情況，偏離了工科專業(yè)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)[5-7]。本文通過對目前課程教學(xué)現(xiàn)狀的分析，以淡化理論推導(dǎo)強(qiáng)化實(shí)踐應(yīng)用為指導(dǎo)思想，嘗試在《計算方法》課程的理論教學(xué)與實(shí)踐教學(xué)兩方面進(jìn)行改革。

1 課程教學(xué)現(xiàn)狀

為順應(yīng)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的要求，《計算方法》需要工科專業(yè)的學(xué)生能夠理解各種數(shù)值方法提出的工程背景，掌握重要數(shù)值計算方法的設(shè)計思路，并能利用軟件編程解決實(shí)際工程問題，然而，當(dāng)前的課程教學(xué)現(xiàn)狀如下：

1.1 理論教學(xué)與實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)，教學(xué)手段單一

《計算方法》中涉及的各類數(shù)值計算方法本身具有很強(qiáng)的工程背景，而現(xiàn)有課程教學(xué)過程中重在講解常用數(shù)值計算方法的基本原理和具體實(shí)現(xiàn)步驟，在公式推導(dǎo)、定理證明及程序?qū)崿F(xiàn)上花費(fèi)了過多的時間，對各類數(shù)值算法的問題來源、應(yīng)用范圍和優(yōu)勢及不足的分析不夠具體，對如何根據(jù)實(shí)際情況選擇合適算法以及改善算法性能等實(shí)際運(yùn)用重視不夠，導(dǎo)致工科專業(yè)領(lǐng)域涉及的數(shù)值計算問題在課堂中沒有得到充分體現(xiàn)，學(xué)生在課程學(xué)習(xí)結(jié)束之后，只會生搬硬套用公式做題，卻不知道如何運(yùn)用數(shù)值計算方法去解決本專業(yè)以及工程中實(shí)際的計算問題，存在理論教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系不緊密的問題。另一方面，由于課程教學(xué)內(nèi)容多而學(xué)時分配少，在教學(xué)過程中教師通常是“滿堂灌”，缺少相應(yīng)的啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生往往處于被動接受的狀態(tài)，而且整個理論教學(xué)環(huán)節(jié)主要通過板書和多媒體課件的形式完成，課本上的例題也多數(shù)通過講授直接給出結(jié)果，教學(xué)手段略顯單一，導(dǎo)致學(xué)生感覺上課過程十分枯燥，課堂參與的積極性和主動性都不高。

1.2 實(shí)驗內(nèi)容陳舊，實(shí)驗手段落后

《計算方法》是利用計算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的課程，在工科專業(yè)開設(shè)重在鍛煉學(xué)生利用數(shù)值計算方法編程解決實(shí)際工程問題能力。現(xiàn)有實(shí)驗內(nèi)容的設(shè)置較為陳舊，還停留在對算法本身的理論驗證方面，沒有很好地結(jié)合工程案例。以筆者所在學(xué)院為例，目前開設(shè)的實(shí)驗有：“非線性方程求根”“線性方程組求解”“牛頓插值法”“數(shù)值積分”“一階微分方程的初值問題求解”等，雖然分配了較多課時，但學(xué)生只是按照指定算法完成編程。然而在解決實(shí)際工程問題中，往往需要先將具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即建立了能描述或等價代替實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型后，才能繼而為該數(shù)學(xué)問題選擇合適的計算方法，最后才是編程實(shí)現(xiàn)。此外，實(shí)驗手段的選取也較為落后，目前所用仍是一些數(shù)學(xué)處理功能較弱、語言結(jié)構(gòu)復(fù)雜的高級語言，如C語言等。一方面，這些編程語言不能很好地通過可視化的圖形直觀地展示各種算法的優(yōu)劣勢。另一方面，學(xué)生在程序設(shè)計時，往往會因為一些小小的語法錯誤導(dǎo)致程序無法正常執(zhí)行，從而花費(fèi)更多時間在代碼形式上的糾錯方面，而忽略了算法自身的性能分析和改進(jìn)。

2 教學(xué)改革措施

針對以上教學(xué)現(xiàn)狀結(jié)合課程自身的特點(diǎn)，從理論教學(xué)和實(shí)踐環(huán)節(jié)兩方面提出如下改革措施。

2.1 理論教學(xué)方面

（1）以實(shí)際案例驅(qū)動教學(xué)。

《計算方法》作為專業(yè)基礎(chǔ)課，為了更好為以后的專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，需要充分結(jié)合本專業(yè)實(shí)際，從工程背景出發(fā)，采取實(shí)際案例驅(qū)動教學(xué)的模式，將學(xué)生學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)放到對實(shí)際的案例分析和求解上，通過對問題的分析，引出相應(yīng)數(shù)值計算方法的工程由來（出發(fā)點(diǎn)）、主要解決思路和基本實(shí)現(xiàn)流程，同時為了增加算法講授的直觀性，每個算法都引入流程圖，以軟件編程演示算法，淡化教材中復(fù)雜、繁瑣的理論證明和公式推導(dǎo)，側(cè)重在實(shí)際中如何使用算法解決問題，讓學(xué)生在應(yīng)用的同時完成對算法原理的學(xué)習(xí)，避免了枯燥、繁雜的理論說教。這樣，不僅增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且有利于提升學(xué)生的綜合分析和解決實(shí)際問題的能力，同時也從根本上回答“學(xué)習(xí)這門課有什么用”的問題。

以插值法為例，筆者在教學(xué)的過程中從汽車安全剎車距離的問題出發(fā)，引出車速和安全剎車距離之間函數(shù)關(guān)系具體表達(dá)式未知的實(shí)際情況，讓學(xué)生討論如何確定任意給定車速對應(yīng)的安全剎車距離。隨后，給出一組車速和對應(yīng)剎車距離的實(shí)際采集數(shù)據(jù)，引入插值法的由來，講述Lagrange插值法，通過演示運(yùn)行算法程序，發(fā)現(xiàn)如果增加一個車速-剎車距離的采樣數(shù)據(jù)，對應(yīng)的Lagrange插值基函數(shù)要重新計算，進(jìn)一步引入具有繼承性的牛頓差商插值法，在后續(xù)在講述中，考慮等間隔車速-剎車距離的數(shù)據(jù)采集情況，引出牛頓差分插值法，考慮到代數(shù)插值階次過高導(dǎo)致龍格現(xiàn)象，講授分段插值法。在整個插值法章節(jié)內(nèi)容的講解過程中，始終圍繞最初的汽車安全剎車距離問題，講述各種插值算法，并分析它們各自的優(yōu)劣性和適用范圍，使學(xué)生了解插值法能夠解決哪些實(shí)際問題的同時，還能夠根據(jù)具體情況從多種方案中選取最合適的解決方案，課堂的實(shí)際反饋效果良好。

（2）采用靈活多樣的教學(xué)手段。

充分發(fā)揮線上+線下混合式教學(xué)的優(yōu)勢。考慮到課堂時間有限，對部分復(fù)雜的算法推導(dǎo)及數(shù)學(xué)證明，可以提前以文檔或視頻的形式發(fā)放到線上教學(xué)平臺供學(xué)生學(xué)習(xí)，這樣學(xué)生可以在課前主動參與到課程學(xué)習(xí)中。在線下的課堂教學(xué)中，可以通過與學(xué)生交流溝通，了解其線上學(xué)習(xí)后的難點(diǎn)，從而進(jìn)行有針對性的講授，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。這種混合式教學(xué)方式表面上看教師課堂上講的部分減少了，實(shí)際上卻能夠更好地解決學(xué)生的困惑，起到了事半功倍的效果。

以實(shí)際的操作演示為主。在算法設(shè)計和性能分析過程中，避開單純枯燥的理論講解，教師可以提前編好程序(可預(yù)設(shè)一些常見的小錯誤)，在課堂上運(yùn)行演示，學(xué)生可以直觀地看到算法運(yùn)行的結(jié)果，此時可以從結(jié)果出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生分析各種算法的適用條件、優(yōu)勢劣勢以及改進(jìn)思路。同時，通過故意設(shè)置的一些錯誤，可以激發(fā)學(xué)生共同參與解決問題的興趣和熱情，學(xué)生在此過程中更好地領(lǐng)會了算法程序編寫過程中應(yīng)注意的技巧和細(xì)節(jié)。

改變傳統(tǒng)的教師“滿堂灌”。教師在課堂上作為引導(dǎo)者，嘗試讓學(xué)生作為角參與到整個教學(xué)環(huán)節(jié)中。比如，每章內(nèi)容教師可以只講授其中的一到兩種經(jīng)典方法，其他的算法由學(xué)生以分組匯報的形式完成。匯報過程中，由組長講授算法原理，副組長演示程序，在演示過程中，提問其他組員。這樣，學(xué)生在課前會主動查閱文獻(xiàn)，完成算法理論的學(xué)習(xí)和整理，準(zhǔn)備講授需要的資料。這個過程讓學(xué)生對課程內(nèi)容有更深入地理解，同時也能更好地參與到課堂中。

2.2 實(shí)踐環(huán)節(jié)方面

（1）層次化的實(shí)驗內(nèi)容設(shè)置。

為了加強(qiáng)學(xué)生對常用數(shù)值方法的理解與掌握，提高學(xué)生應(yīng)用算法編程解決實(shí)際工程問題的能力，將上機(jī)實(shí)驗內(nèi)容分為兩大模塊：側(cè)重數(shù)值計算方法理論驗證的基礎(chǔ)性實(shí)驗和側(cè)重解決實(shí)際工程問題的綜合性實(shí)驗。

前者主要針對理論教學(xué)中涉及的某些特定算法，進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗內(nèi)容的設(shè)置。實(shí)驗題目主要來源于課本中的例題，或者課后的練習(xí)題。這類實(shí)驗屬于數(shù)值方法的純理論仿真驗證，要求每個學(xué)生單獨(dú)完成實(shí)驗內(nèi)容。目的是讓學(xué)生掌握課堂上講授的理論知識，熟悉編程軟件中涉及的相關(guān)命令、函數(shù)，能夠逐漸掌握基本算法的編程實(shí)現(xiàn)。

后者主要針對常用數(shù)值算法在實(shí)際中的應(yīng)用，進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗內(nèi)容的設(shè)置。收集設(shè)計實(shí)驗題目的途徑多樣，可以結(jié)合本專業(yè)實(shí)際的工程項目，可以源自教師負(fù)責(zé)的科研項目，也可以從其他專業(yè)的經(jīng)典數(shù)值計算案例和以往的數(shù)學(xué)建模比賽題目中挑選，設(shè)計適用于本課程的實(shí)驗項目。這類實(shí)驗內(nèi)容具有一定的綜合性，采取小組合作的方式完成實(shí)驗，同時為避免一人包攬的情況，要求每個組員有明確的分工。目的在于讓學(xué)生了解《計算方法》課程的實(shí)際工程應(yīng)用，鍛煉學(xué)生分析實(shí)際問題、建立數(shù)學(xué)模型、選擇合適算法、編寫程序和結(jié)果分析等方面的能力。同時，有利于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作能力及溝通交流的能力，能夠最大化發(fā)揮實(shí)驗的效果。

（2）選用專業(yè)的數(shù)值計算軟件。

在軟件選取上，可以考慮使用具有完善的數(shù)據(jù)可視化功能、簡單易學(xué)的語法結(jié)構(gòu)、調(diào)試方便實(shí)用、易于擴(kuò)充等優(yōu)勢的專業(yè)軟件代替C語言等。一方面，可以很好地通過可視化的圖形直觀地展示各種算法的結(jié)果，分析算法的適用條件和優(yōu)劣勢；另一方面，學(xué)生在程序設(shè)計時不會再因為一些小小的語法錯誤而花費(fèi)更多時間在糾錯上，能夠?qū)⒐?jié)省下來的上機(jī)實(shí)踐時間用于算法自身的性能分析和改進(jìn)。MATLAB作為一種數(shù)值計算、分析能力強(qiáng)大的專業(yè)類應(yīng)用軟件，擁有豐富的數(shù)據(jù)類型和結(jié)構(gòu)、友好的面向?qū)ο?、快速的可視圖形、眾多的數(shù)學(xué)和數(shù)據(jù)分析資源及應(yīng)用開發(fā)工具。在工程計算與數(shù)值分析、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等工程領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，已成為國際公認(rèn)的優(yōu)秀工程應(yīng)用開發(fā)環(huán)境。但MATLAB的符號計算能力較弱，其符號計算來自另一個通用數(shù)學(xué)工具軟件MAPLE，并且可以在MATLAB中很方便地實(shí)現(xiàn)MAPLE的調(diào)用。同樣MAPLE具有很強(qiáng)大的符號計算功能，而數(shù)值計算能力弱，但在MAPLE中能很方便地實(shí)現(xiàn)MATLAB的調(diào)用。如果學(xué)生能同時掌握這兩個常用的軟件工具，就可以在MATLAB和MAPLE的交互平臺上解決一般的數(shù)學(xué)計算問題，從而為解決復(fù)雜的工程應(yīng)用問題和研究問題提供一種有效的手段。

3 結(jié)語

針對《計算方法》課程教學(xué)現(xiàn)狀，從理論教學(xué)與實(shí)踐教學(xué)兩方面提出一些改革措施，強(qiáng)調(diào)算法的實(shí)際應(yīng)用，淡化相關(guān)理論證明和公式推導(dǎo)，目的在于提升工科專業(yè)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)理論知識綜合分析和解決實(shí)際工程問題的能力。