對(duì)*-素環(huán)Jordan理想上廣義導(dǎo)子性質(zhì)的研究

楊 悅

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

1976年, I.N.Herstein[1]提出了如果R是2-扭自由素環(huán),d為環(huán)上的導(dǎo)子，對(duì)于R中任意的x,y, 若滿足[d(x),d(y)]=0, 則R為交換環(huán).1991年，Brear等[2]提出了更具一般性的導(dǎo)子的概念，豐富了環(huán)上導(dǎo)子的相關(guān)研究成果.受Brear的啟發(fā),(θ,φ)-導(dǎo)子、(θ,θ)-導(dǎo)子等衍生導(dǎo)子相繼出現(xiàn).

在本篇論文中R是結(jié)合環(huán), 在環(huán)R中, 所有與R的全體元素可交換的元素的集合, 稱為環(huán)R的中心, 記為Z(R).設(shè)R是素環(huán)，如果對(duì)于aRb=0，有a=0或b=0，a,b∈R，則稱R為素環(huán).設(shè)R是結(jié)合環(huán), 若aRa=0,a∈R有a=0，則R是半素環(huán).設(shè)R是結(jié)合環(huán),d是R到R的加性映射，若對(duì)任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，則d是R上的導(dǎo)子.若環(huán)R的可加子群U, 滿足[u,r]∈U,u∈U,r∈R, 則稱U為環(huán)R的Lie理想.若環(huán)R的可加子群J, 滿足u°r∈U,u∈J,r∈R, 則稱J為環(huán)R的Jordan理想.設(shè)F是環(huán)R上的可加映射，若存在R上的導(dǎo)子d，使得對(duì)任意的x,y∈R, 均有F(xy)=F(x)y+xd(y)，則稱可加映射F為R上的廣義導(dǎo)子，d為R上的伴隨導(dǎo)子.?x,y∈R有x°y=xy+yx,[x,y]=xy-yx，設(shè)R是環(huán)，若映射φ：R→R滿足：

(ⅰ)φ(a)?R,a∈R;

(ⅱ)φ(a+b)=φ(a)+φ(b),a,b∈R;

(ⅲ)φ(ab)=φ(a)φ(b),a,b∈R,

則稱φ是R的自同構(gòu).令θ，φ是環(huán)R的自同態(tài)映射，若滿足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y)任意的x,y∈R, 則可加映射成為(θ，φ)-導(dǎo)子.若(θ，φ)-導(dǎo)子存在的情況下，滿足F(x,y)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y)，d:R→R, 任意x,y∈R, 可稱可加映射F:R→R為廣義(θ，φ)-導(dǎo)子.設(shè)R是結(jié)合環(huán),δ:R→R是加性映射,θ是R上的自同構(gòu).若存在R上導(dǎo)子δ, 對(duì)任意的x,y∈R, 都滿足δ(xy)=θ(x)δ(y)+θ(y)δ(x), 則稱δ為R上的左(θ,θ)-導(dǎo)子.設(shè)R是結(jié)合環(huán),δ:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構(gòu).若存在R上導(dǎo)子δ, 對(duì)任意的x,y∈R, 都滿足δ(xy)=θ(x)δ(y)+φ(y)δ(x), 則稱δ為R上的左(θ,φ)-導(dǎo)子.

一些學(xué)者發(fā)表了許多素環(huán)上導(dǎo)子和廣義導(dǎo)子的研究成果，Brear和Vukman[2]證明了特征不為2, 3的素環(huán)的非零若當(dāng)左導(dǎo)子，使R是可交換的.近期，許多素環(huán)的著名結(jié)果由Oukhtite[3]等人推廣到了*-素環(huán)，本文將這一結(jié)果推廣到*-素環(huán)上*-Jordan理想的廣義導(dǎo)子上來(lái)研究.

引理1[3]設(shè)R是2-扭自由*-素環(huán),J是R的非零*-Jordan理想，若aJb=aJb*=0, 則a=0或b=0.

引理2[3]設(shè)R是2-扭自由*-素環(huán),J是R的非零*-Jordan理想，若[J,J]=0, 則J?Z(R).

引理3[4]設(shè)R是2-扭自由*-素環(huán),J是R的非零*-Jordan理想，若J?Z(R), 則R是可交換的.

引理4一個(gè)群不可能是它的兩個(gè)真子群的并.

引理5[1]設(shè)R是2-扭自由素環(huán),J是R的非零Jordan理想，θ，φ是R的自同構(gòu)，若R上(θ,φ)-導(dǎo)子d使d(J)=0, 則d=0或J?Z(R).

定理設(shè)R是2-扭自由*-素環(huán)，J是R的非零*-Jordan理想，并且是R的子環(huán)，若F和G是R的廣義導(dǎo)子，d和g是F和G的伴隨導(dǎo)子，導(dǎo)子g與*可交換，若滿足(F(u)v+F(v)u)±(uG(v)+vG(u))=0，u,v∈J，則R是可交換的.

證明

由假設(shè)我們有

(F(u)v+F(v)u)=uG(v)+vG(u)u,v∈J

(1)

在(1)中用uv替換u，我們得到

(F(uv)v+F(v)uv)=uvG(v)+vG(uv)

u,v∈J

即(F(u)v+ud(v))v+F(v)uv

=uvG(v)+v(G(u)v+ug(v))

u,v∈J

在(1)右乘v，我們得到

(F(u)vv+F(v)uv)=uG(v)v+vG(u)v

所以u(píng)d(v)v=vug(v)+u[v,G(v)]u,v∈J

(2)

在(2)中用wu替換u，我們得到

wud(v)v=vwug(v)+wu[v,G(v)]u,v,w∈J

在(2)中左乘w，可得

wud(v)v=wvug(v)+wu[v,G(v)]u,v,w∈J

結(jié)合上式可得

[v,w]ug(v)=0u,v,w∈J

因此[v,w]Jg(v)=0v∈J

(3)

因?yàn)镴是R的非零*-Jordan理想, 可得

[v,w]*Jg(v)=0

w∈J，v∈J∩Sa*(R)

因此我們得到

[v,w]Jg(v)=[v,w]*Jg(v)=0

w∈J，v∈J∩Sa*(R)

由引理1我們得到

[v,w]=0或g(v)=0

w∈J，v∈J∩Sa*(R)

v，v+v*,v-v*∈J∩Sa*(R)

且[v±v*，w]=0，w∈J，v∈J∩Sa*(R)

或g(v±v*)=0v∈J∩Sa*(R)

因此我們得出[v,w)=0或g(v)=0

v,w∈J.

我們知道J是U兩個(gè)可加子群的并, 使K={v∈J|g(v)=0}，L={v∈J|[v,w]=0}.

另外，一個(gè)群不可能是兩個(gè)真子群的并，因此K=J或L=J.

在第一種情況下，由引理5可得R是可交換的.

在后一種情況下，[J,J]=0, 即由引理2可得，

J?Z(R), 再由引理3可得R是可交換的.