廣義拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

孫民敬，潘 顥

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

初等數(shù)論中有關(guān)特殊函數(shù)的研究，一直以來(lái)是數(shù)論學(xué)家研究的重要課題之一.而特殊函數(shù)中的拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式依據(jù)Gamma分布密度函數(shù)的正交多項(xiàng)式在物理的量子力學(xué), 統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)其他學(xué)科等方面有著非常重要的應(yīng)用.對(duì)n≥0 拉蓋爾多項(xiàng)式Ln(x)定義為

(1)

前幾項(xiàng)的拉蓋爾多項(xiàng)式為

首先,Ln(x)是拉蓋爾微分方程

(2)

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解.其次，拉蓋爾多項(xiàng)式還是重要的正交多項(xiàng)式, 其滿足正交關(guān)系

(3)

我們知道, 拉蓋爾多項(xiàng)式的生成函數(shù)為

(4)

由(4)不難得到, 拉蓋爾多項(xiàng)式可以表示成組合和的形式：

(5)

特別地, 拉蓋爾多項(xiàng)式滿足一些遞推關(guān)系.例如, 對(duì)n≥1, 有

(n+1)Ln+1(x)=(2n+1-x)Ln(x)-nLn-1(x).

(6)

另一個(gè)涉及導(dǎo)數(shù)的遞推關(guān)系是

(7)

關(guān)于拉蓋爾多項(xiàng)式的更多性質(zhì)及其在數(shù)學(xué)物理中的應(yīng)用, 可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

2016年，T.Kim、D.S.Kim、Hwang[2]與Seo借助微分方程, 給出了拉蓋爾多項(xiàng)式的一個(gè)新的遞推關(guān)系.對(duì)非負(fù)整數(shù)m, 定義a0(m)=m!.而對(duì)j≥1, 定義

2k-2)ik-1

這里的(x)n:=x(x-1)…(x-n+1).T.Kim等人證明，對(duì)n≥0與m≥1, 有

(8)

遞推關(guān)系式(8)的優(yōu)點(diǎn)在于, 可以利用下標(biāo)較小的Ln-m(x),Ln-m+1(x), …,Ln(x)表示出下標(biāo)較大的

Ln-m(x).

另一方面，拉蓋爾多項(xiàng)式的一個(gè)自然且重要推廣形式是廣義拉蓋爾多項(xiàng)式.對(duì)k≥0, 定義

(9)

xy″+(k+1-x)y′+ny=0

(10)

的標(biāo)準(zhǔn)解.已知廣義拉蓋爾多項(xiàng)式的生成函數(shù)為

(11)

首先，我們要介紹一下系數(shù)aj(m,k).對(duì)1≤j≤m定義

此外, 定義a0(m,k)=(m+k)m.本文中, 我們的主要結(jié)果如下

(12)

在本文的余下部分, 我們將給出定理的證明.先給出一個(gè)關(guān)鍵性引理.

1 關(guān)鍵引理與定理的證明

固定x, 定義

(13)

容易驗(yàn)證g(t)滿足微分方程

一般地, 我們給出證明定理的關(guān)鍵引理.

引理對(duì)任何m≥1，我們有

(14)

證明我們把g(t)的m階導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成如下形式

顯然我們只要證明

bj(m,k)=aj(m,k)

(15)

即可.

現(xiàn)在

由此可以推出bj(m,k)滿足遞推關(guān)系

b0(m+1,k)=(k+1+m)b0(m,k),

(16)

bm+1(m+1,k)=-bm(m,k),

(17)

bi-m-1(m+1,k)=(k+i)bi-m-1(m,k)-bi-m-2(m,k).

(18)

這里m+2≤i≤2m+1.

顯然遞推關(guān)系式(18)可以改寫(xiě)成

bj(m+1,k)=(k+m+j+1)bj(m,k)-bj-1(m,k).

(19)

這里1≤j≤m.因此我們有

bj(m+1,k)=-bj-1(m,k)+(m+j+1+k)bj(m,k)

=-(bj-1(m,k)+(m+j+1+k)bj-1(m-1,k))+(m+j+1+k)(m+j+k)bj(m-1,k)

注意到根據(jù)(17), 有bj(j,k)=-bj-1(j-1,k), 這樣我們得到

(20)

另一方面，根據(jù)aj(m,k)的定義, 顯然對(duì)j≥2, 我們有

將m換成m+1得到如下形式:

(21)

此外, 根據(jù)a0(m,k)與a1(m,k)定義, 顯然式(21)在j=1時(shí)也成立.

因此由(20)與(21),bj(m,k)與aj(m,k)滿足相同的遞推關(guān)系.而當(dāng)j=0時(shí), 由遞推關(guān)系式(16)與b0(0,k)=1, 通過(guò)歸納法不難得到

b0(m,k)=(m+k)m,

即a0(m,k)=b0(m+k).

因此結(jié)論(15)得證.

顯然引理1對(duì)任何m≥1, 給出了g(t)滿足的一個(gè)m階線性微分方程.現(xiàn)在借助(14), 我們已經(jīng)準(zhǔn)備完成定理1的證明.

定理的證明根據(jù)廣義拉蓋爾多項(xiàng)式的生成函數(shù)(11), 我們有

將上式兩邊對(duì)t求m階導(dǎo)數(shù)并運(yùn)用引理, 我們得到

(22)

而

(23)

比較(22)與(23)兩邊tn的系數(shù)，我們就得到(12).從而定理成立.

2 結(jié)語(yǔ)

本文給出了關(guān)于廣義拉蓋爾多項(xiàng)式的一個(gè)新的遞推關(guān)系，從而拓展了T.Kim、D.S.Kim、Hwang與Seo的工作，進(jìn)一步深化了相關(guān)方向的研究.