線性變換的幾何意義

雍龍泉，李翠霞，吳世良

（1.陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723001；2.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

線性代數(shù)課程具有概念多、定理性質(zhì)多、抽象程度高等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生在課程學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到各種各樣的困難.線性代數(shù)課程知識(shí)之間的聯(lián)系較為密切，可以說(shuō)是環(huán)環(huán)相扣的，如講授行列式以及矩陣的逆是為了給特征值和特征向量等內(nèi)容做鋪墊.線性代數(shù)教學(xué)一般都是大班上課，特別是目前學(xué)校普遍壓縮線性代數(shù)課時(shí)，導(dǎo)致課時(shí)緊張，教師無(wú)法實(shí)時(shí)了解到每位學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和教學(xué)效果.由于目前教材舉例較少，圖解也比較少，因此需要學(xué)生在課前多準(zhǔn)備，多去預(yù)習(xí)，查閱相關(guān)的資料，課中保持認(rèn)真聽(tīng)講和做好筆記的習(xí)慣，課后不斷鞏固和學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，及時(shí)與教師溝通和去圖書館拓展知識(shí)內(nèi)容.只有這樣才有可能學(xué)好這門課程.

線性變換是線性代數(shù)中重要的知識(shí)內(nèi)容，線性變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖像處理、現(xiàn)代光學(xué)等學(xué)科中具有重要的應(yīng)用.目前線性代數(shù)教材缺少與幾何圖形的有機(jī)融合，線性代數(shù)教師在講授線性變換內(nèi)容時(shí)常常忽略線性變換的幾何意義、特征向量與特征值的幾何意義以及正交線性變換的幾何意義[1-7].本文以二階矩陣為例，闡述線性變換的一些幾何意義.

1 非退化的線性變換

方程（2）表示一個(gè)橢圓，其長(zhǎng)軸與短軸不在坐標(biāo)軸上.

應(yīng)用Matlab 程序繪制方程（2）的幾何圖形，結(jié)果見(jiàn)圖1.圖1表明，通過(guò)線性變換y=Ax，單位圓變成了一個(gè)長(zhǎng)軸與短軸不在坐標(biāo)軸上的橢圓.

圖1 線性變換的軌跡

圖2 特征值與特征向量的幾何意義

從二次型的角度來(lái)研究方程（2）.方程（2）表示一個(gè)橢圓（見(jiàn)圖3a），此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸與短軸不在坐標(biāo)軸上.通過(guò)選取一個(gè)正交線性變換[9-10]，使其長(zhǎng)軸和短軸落到坐標(biāo)軸上.

方程（3）便是一個(gè)長(zhǎng)軸和短軸落到坐標(biāo)軸上的橢圓（見(jiàn)圖3b）.

方程（4）也是一個(gè)長(zhǎng)軸和短軸落到坐標(biāo)軸上的橢圓（見(jiàn)圖3c）.

圖3 方程（2）～（4）對(duì)應(yīng)的曲線

圖3b 相當(dāng)于對(duì)圖3a 做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，圖3c 相當(dāng)于對(duì)圖3a 做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°.

2 退化的線性變換

這表明，通過(guò)線性變換y=Ax，單位圓變成了線段y2=2y1，（見(jiàn)圖4）.

圖4 線性變換的軌跡

給出研究線性變換幾何意義的思路（見(jiàn)圖5），以便學(xué)生清晰了解和記憶.

圖5 線性變換的幾何意義

3 結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，但目前多數(shù)線性代數(shù)教材似乎都偏重“代數(shù)”而較少涉及“線性”一詞包含的幾何意義，所以可能給人印象較抽象，不容易讓學(xué)生產(chǎn)生興趣.通過(guò)挖掘線性變換的幾何意義，讓學(xué)生建立“代數(shù)”與“幾何”的統(tǒng)一觀，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)唯物辯證法中“事物的聯(lián)系是普遍的，要用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，防止孤立、片面地看問(wèn)題”這一哲學(xué)思想的理解.講授過(guò)程中從辯證法的角度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，在教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)也潛移默化地對(duì)學(xué)生進(jìn)行了唯物辯證法的教育.