基于2.5維有限元法的有限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)模態(tài)密度計算

張淑敏， 圣小珍， 楊世均

(1.山東職業(yè)學(xué)院 鐵道學(xué)院，濟南 250104;2.上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620;3.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

統(tǒng)計能量分析(statistical energy analysis,SEA)方法[1-2]作為研究復(fù)雜系統(tǒng)高頻動態(tài)聲振響應(yīng)的一種重要方法，已廣泛應(yīng)用于飛機、輪船、高速列車等行業(yè)。模態(tài)密度作為統(tǒng)計能量分析子系統(tǒng)的主要參數(shù)之一，定義為單位頻率下結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)，能夠表征結(jié)構(gòu)對外界寬頻激勵產(chǎn)生共振響應(yīng)的能力。模態(tài)密度越大，結(jié)構(gòu)越容易從寬帶激勵中吸收能量。文獻(xiàn)[3]表明，子系統(tǒng)模態(tài)密度的精度對SEA模型的預(yù)測結(jié)果有較大影響。

簡單子系統(tǒng)(如桿、梁、板、圓柱殼等)的模態(tài)密度可通過系統(tǒng)的頻率方程進(jìn)行求解。Lyon等指出，當(dāng)頻率較高時，子系統(tǒng)的模態(tài)密度與邊界條件無關(guān)。Xie等[4]基于波數(shù)積分法和相位閉合原理研究了邊界條件對一維和二維結(jié)構(gòu)模態(tài)密度的影響。對曲板、三明治板、蜂窩板等結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度獲取，Langley等[5-8]分別給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過程和計算公式。

不同于簡單結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度一般通過試驗測試獲取。根據(jù)測試手段的不同，可將其分為模態(tài)計數(shù)法和點導(dǎo)納法[9-10]。模態(tài)計數(shù)法是對結(jié)構(gòu)導(dǎo)納的峰值進(jìn)行計數(shù)，相對比較簡單，但由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)在高頻區(qū)域的模態(tài)重疊數(shù)較大，因此該方法對高頻不再適用[11]。點導(dǎo)納法是基于結(jié)構(gòu)激勵點導(dǎo)納實部的平均值(對測點進(jìn)行平均)來計算模態(tài)密度，但該方法容易受到諸如激勵形式，傳感器附加質(zhì)量等因素的影響，需進(jìn)行一定的修正或者改進(jìn)[12-14]。

此外，工程中還存在很多典型結(jié)構(gòu)，如周期性結(jié)構(gòu)和波導(dǎo)結(jié)構(gòu)等，獲取這類結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度時，可從波動角度進(jìn)行考慮。針對周期性結(jié)構(gòu)，Langley[15]通過與傳播波相關(guān)聯(lián)的相位常數(shù)推導(dǎo)了一維和二維結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度一般表達(dá)式；Cotoni等[16]綜合應(yīng)用周期結(jié)構(gòu)理論、有限元法、和部件模態(tài)綜合法(CMS)給出了周期性結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度表達(dá)式。

波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的主要特點是它在長度(x)方向上不論是材質(zhì)還是幾何形狀都是均勻的，但橫截面的形狀可以是任意的。這種結(jié)構(gòu)可以允許特定的結(jié)構(gòu)波(特征波)在長度方向上自由傳播。Aalami[17]研究波在任意截面桿中的傳播特性時提出了2.5維有限元法(波數(shù)有限元法)，隨后該方法被廣泛應(yīng)用于鋼軌[18]、復(fù)合板[19]、型材[20]等結(jié)構(gòu)上。Renno等[21-22]利用2.5維有限元法計算了波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的受迫響應(yīng)。Finnvede[23]利用2.5維有限元法推導(dǎo)了波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的群速度和模態(tài)密度的表達(dá)式，以組合梁結(jié)構(gòu)和風(fēng)洞結(jié)構(gòu)為例，計算了結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度。

本文在文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上，以單板和高速列車鋁型材為例，利用2.5維有限元法計算了結(jié)構(gòu)的群速度和模態(tài)密度，通過提出波形置信度的概念，對波導(dǎo)結(jié)構(gòu)頻散曲線的特征波進(jìn)行了分類，計算了不同特征波的群速度和模態(tài)密度。以薄板為例，從2.5維有限元法的模態(tài)密度公式出發(fā)，推導(dǎo)得到了經(jīng)典薄板的模態(tài)密度理論公式，驗證了利用2.5維有限元法計算有限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)模態(tài)密度的合理性。

1 無限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)特征波的頻散方程

沿x方向無限長的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖1所示，那么結(jié)構(gòu)的自由振動微分方程一般可表示為[24]

(1)

圖1 沿x方向的無限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，其中曲線箭頭表示沿+x和-x傳播的振動波

式中：M和K2為3n×3n正定對稱矩陣;K0為3n×3n對稱非負(fù)矩陣;K1為3n×3n反對稱矩陣。

假設(shè)結(jié)構(gòu)在x方向存在波數(shù)為β，頻率為ω的簡諧波(即在空間和時間上均是簡諧的振動波)，即假定上述微分方程存在如下形式的解

(2)

將式(2)代入式(1)，可得

(3)

det[-ω2M+K0+iβK1+β2K2]=0

(4)

2 無限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)頻散曲線和群速度

2.1 特征波頻散曲線的分類

(5)

WAC矩陣的各元素代表兩個波形之間的相關(guān)程度，其值位于[0,1]之間，越接近于1，說明兩種波的波形越相似，可定義為同一類型的波。

2.2 波導(dǎo)結(jié)構(gòu)特征波群速度的一般表達(dá)式

為求解無限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)特征波的群速度，對式(5)兩邊關(guān)于波數(shù)求導(dǎo)，得：

(6)

(7)

由于矩陣A=-ω2M+K0+iβK1+β2K2為Hermit矩陣，則由式(5)可得

(8)

此時，式(7)可寫為

(9)

進(jìn)一步得到結(jié)構(gòu)的群速度為

(10)

特別地，第m條頻散曲線(其與頻率的關(guān)系記為gj(ω))對應(yīng)的群速度為

ω≥ωj0

(11)

3 有限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度

3.1 結(jié)構(gòu)總的模態(tài)密度

對于長度為L的桿、軸或梁結(jié)構(gòu)，其振動模態(tài)可以看成是該結(jié)構(gòu)為無限長時的兩個特征波的干涉結(jié)果。這兩個特征波幅值相同，相位滿足特定關(guān)系，沿相反方向傳播。高頻時第j個特征波的波數(shù)βj與相應(yīng)的模態(tài)階數(shù)Nj近似滿足如下關(guān)系

(12)

那么頻帶[ω1,ω2]間的平均模態(tài)密度可近似表示為

(13)

其中，Ntot(ω)可根據(jù)下式計算

(14)

而βj(ω)通過頻散方程得到。

需要說明的是，該公式在頻率ω1和ω2處的模態(tài)密度變化平穩(wěn)時成立，如果頻率ω1和ω2恰好位于結(jié)構(gòu)截止頻率附近，那么模態(tài)密度的計算可參考3.2節(jié)。

通過式(13)可以看出，結(jié)構(gòu)總的模態(tài)密度可以通過求解特定頻率下總的模態(tài)數(shù)得到，而SEA模型大多數(shù)是在三分之一倍頻程內(nèi)進(jìn)行計算，因此只需對三分之一倍頻程的上下頻率進(jìn)行模態(tài)數(shù)的計算即可。

3.2 結(jié)構(gòu)特征波的模態(tài)密度

建立SEA預(yù)測模型的首要工作是對子系統(tǒng)進(jìn)行合理的劃分，振型相似準(zhǔn)則是劃分SEA子系統(tǒng)的準(zhǔn)則之一，即將結(jié)構(gòu)的一群具有相似共振的模態(tài)劃分成一個子系統(tǒng)，這就有必要對結(jié)構(gòu)內(nèi)存在的不同波形進(jìn)行劃分。按照模態(tài)密度的定義

(15)

式中，cg為上述特征波的群速度。

對于長度為L的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，其振動模態(tài)可以看成是該結(jié)構(gòu)為無限長時的一系列成對特征波的干涉結(jié)果。每一對特征波幅值相同，相位滿足特定關(guān)系，沿相反方向傳播。那么對于第m種特征波來說，其模態(tài)密度可表示為

(16)

式中，cgm為第m種特征波的群速度。

此外，結(jié)構(gòu)中可能存在某些振型相似的特征波，在SEA中，可將這些相似的特征波劃分為一個子系統(tǒng)。假設(shè)結(jié)構(gòu)中存在M條振型相似的特征波，那么，這種特征波的模態(tài)密度可表示為

(17)

可以看出：群速度較低的部分對模態(tài)密度貢獻(xiàn)比較大，尤其是當(dāng)群速度為零時，模態(tài)密度變得無窮大，這時對應(yīng)一個新的特征波的出現(xiàn)(cut-on)。換句話說，按照式(17)，在截止頻率處的模態(tài)密度總是為無窮大。因為群速度可以為負(fù)值，而模態(tài)密度不能為負(fù)，因此可把式(17)寫成

(18)

將式(11)代入式(18)，可得

(19)

3.3 有限頻帶內(nèi)的平均模態(tài)密度

對于第m種特征波來說，其模態(tài)密度由式(16)給出。假定在頻帶[ω1,ω2]內(nèi)該特征波存在一個截止頻率ω0，那么在頻帶[ω1,ω2]上的平均模態(tài)密度由下式給出

(20)

其中，Δω是一個小的正數(shù)。式(20)中的第二個積分的被積函數(shù)是連續(xù)的，因此積分是有限的。第一個積分的被積函數(shù)在ω0處為無窮大，但該積分依然是可積的。因為cgm(ω0)=0，而當(dāng)ω∈[ω0,ω0+Δω]時，cgm(ω)是光滑連續(xù)的，因此cgm(ω)可以近似為cgm(ω)≈μ(ω-ω0)α,μ,α(0<α<1)是正常數(shù)。

(21)

由式(21)可以看出，該積分是有限的。這說明即使結(jié)構(gòu)在截止頻率處的模態(tài)密度為無窮大，但其有限頻帶內(nèi)平均模態(tài)密度仍然是一個有限值。

3.4 長方形薄板的模態(tài)密度

對于面積為S的薄板，其模態(tài)密度通常按如下公式計算

(22)

式中：k為同材質(zhì)同厚度無限大板的特征波數(shù)；cg為特征波的群速度。下面從薄板的振動微分方程出發(fā)，推導(dǎo)得到式(22)。

考慮寬為b、在x方向無限長的薄板。薄板的兩邊假定為簡支邊界條件，頻率為ω時的傳播波可表示為

(23)

將式(23)代入板的運動微分方程，即可得到板的頻散方程

(24)

式中：β為波數(shù)；D為板的彎曲剛度；ρ為密度；h為厚度。

通過式(24)可解得對應(yīng)的波數(shù)β為

(25)

進(jìn)而求得板的群速度為

(26)

對于給定頻率ω，板內(nèi)特征波的數(shù)量就是使得式(24)為實數(shù)的最大m(記為M(ω))

(27)

根據(jù)式(24)，對于長度方向為L的有限長薄板來說，此時模態(tài)密度可表示為

(28)

將上述求和用積分代替，可得

(29)

可以看出，上面的求和用積分來代替了，相當(dāng)于將M(ω)個波的模態(tài)密度的求和均分到[0，M(ω)]區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，進(jìn)而消除了模態(tài)密度在截止頻率處的奇異性，使得所求出的模態(tài)密度是頻率的連續(xù)光滑函數(shù)。

4 算 例

本節(jié)以工程中常見的鋁板和高速列車用鋁型材為例，計算結(jié)構(gòu)的頻散曲線，分析其波動特性。根據(jù)頻散曲線對不同特征波進(jìn)行分類，計算結(jié)構(gòu)的群速度和模態(tài)密度。

4.1 鋁單板

均質(zhì)鋁板的截面如圖2所示，寬1 m，厚0.01 m，密度為2 700 kg/m3，泊松比為0.33，彈性模量為7.1×1010Pa。網(wǎng)格采用四節(jié)點實體單元，單元長度為0.01 m。板兩邊的邊界條件為自由邊界條件。

圖2 單板橫截面示意圖

圖3給出了根據(jù)式(4)計算得到的單板的頻散曲線，曲線上的某點(對應(yīng)的波數(shù)為β、頻率為ω)表示結(jié)構(gòu)內(nèi)存在波數(shù)為β、頻率為ω的特征波。圖 4給出了當(dāng)波數(shù)為4 rad/m時對應(yīng)的不同頻率(43 Hz，59 Hz，435 Hz，1 627 Hz，2 469 Hz，4 167 Hz)下板的二維和三維波形圖。從圖中可以看出，板內(nèi)存在很多不同種類的波，如壓縮波，剪切波，彎曲波等。

圖3 單板的頻散曲線

圖4 波數(shù)為4 rad/m時不同波對應(yīng)的波形

根據(jù)2.1節(jié)中提出的WAC值對不同種類的特征波頻散曲線進(jìn)行分類，圖5給出了識別后的頻散曲線和MAC值，其中圖5(a)和(c)中的點劃線代表識別后的第1和第5種波的頻散曲線，圖5(b)和(d)表示對應(yīng)的WAC值?？梢钥闯觯琖AC值基本都在0.9以上，說明該方法可以很好的區(qū)分結(jié)構(gòu)內(nèi)存在的不同類型的波。

(a)

圖6 板的面外波和面內(nèi)波的群速度

圖7給出了板在自由邊界條件下，長度方向為1 m時，分別根據(jù)有限元-模態(tài)計數(shù)法、2.5維有限元法和板的模態(tài)密度的近似公式(即式(22))得到的板的總模態(tài)密度?？梢钥闯觯瑢τ?00 Hz和160 Hz這兩個頻帶，采用有限元-模態(tài)計數(shù)法得到的頻帶內(nèi)的模態(tài)密度為零(即板在這兩個頻帶內(nèi)事實上是沒有模態(tài)的)，而基于2.5維有限元法得到的模態(tài)密度和近似公式得到的值相差不大。這是因為，雖然這兩個頻帶的頻率比較低，但后兩者都對板的振動場均做了混響的假定。隨著頻率的增大，三種方法得到的模態(tài)密度吻合較好。而2.5維有限元法只需對結(jié)構(gòu)的橫截面方向進(jìn)行有限元離散，通過計算三分之一頻帶上下限處的模態(tài)數(shù)，即可快速計算結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度。

圖7 長度為1 m時的板的總模態(tài)密度

根據(jù)圖6給出的不同特征波的群速度，可根據(jù)式(11)求出板內(nèi)不同特征波的模態(tài)密度，如圖8所示，可以看出，第14和19個波存在負(fù)的模態(tài)密度。此外，圖中的峰值對應(yīng)于每個波的截止頻率。頻率一旦跨過此截止頻率，一個新的模態(tài)波將出現(xiàn)，理論上截止頻率處的模態(tài)密度為無窮。同時，根據(jù)對板的面內(nèi)波和面外波的分類，可分別得到面內(nèi)波和面外波的模態(tài)密度，如圖9所示?？梢钥闯觯宓拿嫱獠ǖ哪B(tài)密度要遠(yuǎn)大于板的面內(nèi)波的模態(tài)密度。

圖8 單板不同特征波的模態(tài)密度

圖9 單板面外和面內(nèi)波的模態(tài)密度

前面已經(jīng)指出，在結(jié)構(gòu)的截止頻率處，群速度為零，模態(tài)密度為無窮大。在截止頻率處，頻率間隔的不同可能會導(dǎo)致模態(tài)密度不同。圖10給出了不同頻率間隔(0.5 Hz，1 Hz，10 Hz)的模態(tài)密度相對于頻率間隔為0.1 Hz的模態(tài)密度的相對誤差，可以看出，隨著頻率的增加，相對誤差減小，在[100，10 000] Hz內(nèi)，相對誤差基本控制在5%以內(nèi)。

圖10 不同頻率間隔對模態(tài)密度的影響

4.2 鋁型材

本節(jié)以某高速列車地板鋁型材為例，其截面如圖11所示，可以看出，該型材由上下面板和22個加筋板組成，截面尺寸為0.970 m×0.050 m，上下兩個面板厚度均為4.2 mm，筋板厚度為2.5 mm，實測密度為2 752 kg/m3，彈性模量為7.1×1010Pa，泊松比為0.33。截面網(wǎng)格采用四面體實體單元，單元長度不超過8 mm。兩端設(shè)置為自由邊界條件。

圖11 型材截面示意圖

圖12為根據(jù)式(4)計算得到的該型材的頻散曲線?？梢钥闯?，相對于單板，型材的頻散曲線更為復(fù)雜。圖13給出了波數(shù)為4 rad/m時對應(yīng)的不同頻率下的波形圖，可以看出，頻率較低時，型材表現(xiàn)為整體變形，隨著頻率的增加，型材開始出現(xiàn)局部變形。

圖12 鋁型材頻散曲線

根據(jù)2.1節(jié)中給出的WAC準(zhǔn)則，可對圖11的頻散曲線進(jìn)行特征波的分類，結(jié)果如圖14(a)所示。與單板不同的是，型材不同的頻散曲線之間存在很多交叉點。圖14(b)給出了頻散曲線的某一部分區(qū)域，可以看出，放大后頻散曲線有些是交叉在一起的，如圖14(b)中的1和2點，這些交叉點的相速度相同，而群速度不同。有些曲線之間并沒有交叉在一起，如圖14(b)中的3點，這種點一般稱之為聚散點(veering point)，聚散點處的群速度會發(fā)生突變，如圖15所示。文獻(xiàn)[27]中指出，結(jié)構(gòu)的聚散點對結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性有重要影響。在對該點附近的特征波進(jìn)行分類時，可通過增加波數(shù)間隔來實現(xiàn)。

(a)

圖15 波形2和和波形11對應(yīng)的群速度

圖16給出了分別用本文方法和用有限元-模態(tài)計數(shù)法得到的長為0.985 m的鋁型材的模態(tài)密度，其中模態(tài)計數(shù)法是通過在ANSYS中對型材進(jìn)行模態(tài)分析(單元類型為solid 45，單元尺寸不超過5 mm，邊界條件定義為自由邊界)得到固有頻率，之后通過模態(tài)計數(shù)法計算三分之一倍頻程內(nèi)的模態(tài)數(shù)得到，有限元模型在文獻(xiàn)[28]中給出。可以看出，基于有限元-模態(tài)計數(shù)法的模態(tài)密度在某些頻帶內(nèi)為0，但基于2.5維有限元法計算得到的模態(tài)密度則不為0。隨著頻率的增加，兩種方法得到的模態(tài)密度吻合越來越好。造成這種差異的原因在于用2.5維有限元法計算結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度時，利用了梁的群速度和模態(tài)密度的近似關(guān)系。

圖16 長度為0.985 m的鋁型材的模態(tài)密度

為了對比兩種方法的計算效率，在相同配置的計算機上計算了該型材[0,10 000] Hz內(nèi)的模態(tài)密度，結(jié)果表明，有限元-模態(tài)計數(shù)法用時為8 703 s，而2.5維有限元法用時為1 427 s，由此可以看出本文的方法具有較高的計算效率。

5 結(jié) 論

本文基于2.5維有限元法研究了有限長波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的波動特性和模態(tài)密度，給出波導(dǎo)結(jié)構(gòu)群速度和模態(tài)密度的表達(dá)式。以單板和型材分析為例，得到以下結(jié)論：

(1) 2.5維有限元法從結(jié)構(gòu)的波動特性出發(fā)，通過對結(jié)構(gòu)的特征波進(jìn)行分類，能夠?qū)崿F(xiàn)不同特征波的模態(tài)密度的計算。

(2) 頻散曲線上波數(shù)為零的點為結(jié)構(gòu)的截止頻率，一旦超過該頻率，一個新的波將出現(xiàn)。截止頻率處群速度為零，模態(tài)密度為無窮大，但在任何一個有限的頻率區(qū)間內(nèi)的積分是有限的。

(3) 在某些截止頻率附近，結(jié)構(gòu)的某些特征波可能存在負(fù)的群速度和模態(tài)密度，這意味著波的傳播方向和波所攜帶的能量的傳播方向相反。

(4) 基于2.5維有限元法推導(dǎo)單板模態(tài)密度的公式，將有限個波的模態(tài)密度疊加變換到有限區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，可消除模態(tài)密度在截止頻率處的奇異性，使得所求出的模態(tài)密度是頻率的連續(xù)光滑函數(shù)。

(5) 隨著頻率的增加，本文方法計算得到的模態(tài)密度和其他方法吻合較好，驗證了本文方法的有效性。