基于貝葉斯參數(shù)優(yōu)化的無模型自適應(yīng)硅單晶直徑控制

林光偉，王 珊，張西亞，彭 鑫，高俊偉，高德東

(1.青海大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西寧 810016； 2.陽光能源(青海)有限公司，西寧 810000)

0 引 言

直拉法硅單晶的制備直接推動了電子信息產(chǎn)業(yè)與光伏發(fā)電產(chǎn)業(yè)的飛速發(fā)展，但高新技術(shù)的突飛猛進(jìn)對硅單晶提出了更高的品質(zhì)要求，包括更大的晶體尺寸以及更均勻的直徑[1-2]。由于生產(chǎn)條件的限制，目前所生產(chǎn)的大尺寸硅單晶的有效直徑受到極大影響，因此解決這一問題是非常重要的。考慮到直拉硅單晶的生長過程涉及多場多相耦合與復(fù)雜的物理化學(xué)變化，有研究者發(fā)現(xiàn)在晶體生長過程中工藝參數(shù)不穩(wěn)定容易引起硅單晶直徑波動，導(dǎo)致最終晶體的有效直徑減小。為此，研究人員進(jìn)一步對影響硅單晶直徑波動的因素進(jìn)行分析。Brown等[3]研究發(fā)現(xiàn)，坩堝上升速度以及籽晶棒的拉速不匹配會影響硅晶體的結(jié)晶速率，導(dǎo)致直徑不穩(wěn)定。Gevelber等[4-5]提出，晶轉(zhuǎn)與堝轉(zhuǎn)速度差異較大，熔體渦流中心會與籽晶軸軸心偏離，導(dǎo)致硅晶體生長發(fā)生偏移，使硅晶體產(chǎn)生內(nèi)部缺陷從而影響晶體直徑。Galazka等[6]通過分析直拉法制備硅單晶的熱傳導(dǎo)過程，發(fā)現(xiàn)不均衡的熱場溫度分布也會影響結(jié)晶速率，導(dǎo)致晶體的直徑大小受到一定的影響。國內(nèi)學(xué)者劉丁等[7-8]總結(jié)提出，直徑均勻性與硅晶體內(nèi)部的缺陷位錯有重要關(guān)系，直徑變化越大，晶體內(nèi)部產(chǎn)生缺陷和位錯的可能性越大，導(dǎo)致硅晶體的品質(zhì)下降，因此相對于追求更大尺寸的晶體，如何制備出均勻的直徑晶體更為重要。

直拉法制備硅單晶是在高溫高壓的環(huán)境中，持續(xù)通氬氣將高純度的多晶硅原料熔化，在單晶爐中完成引晶、放肩、等徑及收尾等過程[9]，最終形成硅晶體。但在具有多時變、大時滯、非線性及多場相互耦合的生長環(huán)境下，存在信息獲取難、測量難等問題，要制備出均勻的晶體直徑，就需要研究硅晶體生長過程中關(guān)鍵工藝參數(shù)的控制問題。因此，研究者分別從生長機(jī)理和PID控制原理出發(fā)，建立了晶體生長過程的控制基礎(chǔ)。生長機(jī)理控制是在對整個生長過程都研究分析透徹的基礎(chǔ)上建立的，因此Abdollahi等[10-12]就從基礎(chǔ)的晶體生長機(jī)理過程進(jìn)行研究，建立了晶體生長過程中提拉速度影響晶體直徑變化的動力學(xué)幾何模型，并基于該模型設(shè)計了以提拉速度為輸入、晶體直徑為輸出的控制器，最后實現(xiàn)了通過調(diào)節(jié)提拉速度來控制晶體直徑的目的。而Winkler等[13-16]在分析前人提出的基于模型的多回路系統(tǒng)控制晶體直徑上，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)用于控制時參數(shù)未知量太多，控制模型所達(dá)到的精度不夠，因此提出一種試圖克服這些局限性的控制系統(tǒng)，即通過忽略晶體生長過程中熱動力學(xué)過程的影響，僅主要考慮流體力學(xué)產(chǎn)生的重要作用，建立幾何模型，設(shè)計了針對晶體直徑和生長速度的雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，通過控制工藝參數(shù)最終實現(xiàn)對晶體直徑的有效控制。但以上兩個具有重要影響力的學(xué)者所提出的控制過程及方法都涉及龐大的數(shù)學(xué)演算和推理，同時求解其中的數(shù)值解需要耗費(fèi)大量的時間。而PID直徑控制是目前廣泛應(yīng)用的控制手段，主要是通過控制加熱功率與提拉速度兩個工藝參數(shù)來實時調(diào)節(jié)晶體直徑。如圖1所示，當(dāng)PID控制系統(tǒng)監(jiān)測到設(shè)定直徑值與實際測量的晶體直徑值存在偏差時，會通過調(diào)節(jié)提拉速度控制晶體直徑，但在這個過程中響應(yīng)速度會影響控制的精準(zhǔn)性，因此利用溫度控制系統(tǒng)去對比實際溫度，適當(dāng)彌補(bǔ)溫度之間的偏差進(jìn)而與提拉速度共同控制晶體直徑[17-18]。但在實際的PID控制晶體生長過程中，監(jiān)測的不準(zhǔn)確以及反饋存在時滯是導(dǎo)致直徑控制效果降低的重要原因，因此學(xué)者們?yōu)樘岣咦罱K的晶體品質(zhì)，對PID直徑控制也進(jìn)行研究分析。在使用CCD相機(jī)進(jìn)行直徑檢測時存在較大的檢測誤差[19-20]，喬朝暉[21]將無味卡爾曼濾波技術(shù)應(yīng)用于直拉法晶體生產(chǎn)過程中彎月面的高度估計，進(jìn)而計算出晶體的直徑，并將此計算值用于替代CCD相機(jī)所反饋的晶體直徑，提高了控制精度。而張晶等[22]在利用熱場溫度進(jìn)行PID控制的基礎(chǔ)上，設(shè)計廣義預(yù)測控制器重新對晶體的直徑進(jìn)行控制，該控制器對直徑的檢測不準(zhǔn)確方面有很好的改善。姜艦等[23]通過實驗分析不同PID控制參數(shù)對晶體生長的影響，并選取最優(yōu)的PID控制參數(shù)進(jìn)行實驗得到了更大更均勻的晶體直徑。以上學(xué)者對PID的直徑控制研究工作已經(jīng)取得較大進(jìn)展，但依然存在當(dāng)硅單晶生長過程發(fā)生微小變動時，PID參數(shù)需要重新整定以及對生長過程復(fù)雜及參數(shù)眾多的硅單晶生長系統(tǒng)控制響應(yīng)延遲的問題，因此，目前廣泛應(yīng)用于直拉法制備硅單晶中的PID控制系統(tǒng)對直徑波動問題依舊沒有很好解決。

綜上，為實現(xiàn)均勻的晶體直徑所研究的直徑控制方法有基于機(jī)理模型的控制，也有在機(jī)理模型不準(zhǔn)確、不確定性大時采用的PID直徑控制。然而硅單晶生長過程是一個集總參數(shù)的大系統(tǒng)，任何微小參數(shù)的波動都會影響晶體生長，導(dǎo)致最終的晶體直徑仍發(fā)生較大的波動。因此，針對生長機(jī)理控制以及PID直徑控制存在的缺陷，本文采用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的無模型自適應(yīng)(model-free adaptive control, MFAC)方法進(jìn)行直徑控制，通過分析晶體生長過程中復(fù)雜的生長環(huán)境及多參數(shù)共同作用的情況，將晶體生長過程中的工藝參數(shù)，即加熱器功率與坩堝上升速度作為輸入，晶體直徑數(shù)據(jù)作為輸出建立非線性系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)晶體直徑的控制。雖然MFAC直徑控制能解決晶體生長模型未知以及大時變、大時滯的問題，但在控制模型的建立過程中引入的超參數(shù)也會影響直徑的控制過程，因此為實現(xiàn)硅單晶生長過程中直徑的準(zhǔn)確控制，本文提出基于貝葉斯參數(shù)優(yōu)化的MFAC直徑控制模型，并通過MATLAB仿真實驗結(jié)果證明了控制模型的有效性和優(yōu)越性。

圖1 PID控制晶體生長系統(tǒng)演示Fig.1 Demonstration of PID control crystal growth system

1 硅單晶直徑控制模型建立

要實現(xiàn)對硅單晶直徑的控制，需要先明確控制的工藝參數(shù)。在硅單晶生長過程中，影響晶體直徑的工藝參數(shù)較多，在PID控制時常采用提拉速度與加熱器的功率作為控制參數(shù)，這是因為這兩個參數(shù)易于監(jiān)測，如圖1所示，加熱器的功率輸出可以通過電壓電流控制，提拉速度可以通過伺服電機(jī)控制。但通過分析發(fā)現(xiàn)，提拉速度的監(jiān)測裝置安裝在與籽晶軸連接的伺服電機(jī)上，在硅單晶生長過程中籽晶軸會受到氬氣吹拂從而影響監(jiān)測數(shù)據(jù)，同時當(dāng)籽晶軸提拉的晶體處于硅熔體中時，晶體旋轉(zhuǎn)中心與硅熔體的旋轉(zhuǎn)中心處于不同軸心時也會導(dǎo)致所監(jiān)測的提拉速度發(fā)生偏差。因此，結(jié)合上述原因，考慮同樣易于監(jiān)測與控制的坩堝上升速度來代替提拉速度。這是由于坩堝中的硅熔體在生長過程中會不斷轉(zhuǎn)化為固態(tài)而被籽晶提起，液面在坩堝中的位置也會不斷下降，所以當(dāng)給予合適的堝升速度來保持液面在熱場中的相對位置不變時，能穩(wěn)定固液界面處的溫度梯度，進(jìn)一步實現(xiàn)硅單晶生長的平穩(wěn)進(jìn)行，避免硅單晶直徑出現(xiàn)大的波動，同時控制坩堝上升速度的伺服電機(jī)安裝在坩堝堝幫的底部，在伺服電機(jī)的工作中受到的影響相對提拉位置更小。因此在本文中為提高控制參數(shù)的準(zhǔn)確性，選擇坩堝上升速度與加熱器功率作為控制參數(shù)，建立硅單晶直徑控制模型。

1.1 控制算法

硅單晶的生長是個復(fù)雜的非線性離散系統(tǒng)，通過機(jī)理控制以及PID控制都存在難題，因此，避開對硅晶體生長過程分析，考慮選取坩堝上升速度與加熱器的功率數(shù)據(jù)作為控制的輸入，硅單晶直徑作為輸出。根據(jù)侯忠生教授等[24-26]所提出的MFAC控制，引入偽雅克比矩陣(pseudo Jacobian matrix, PJM)將上述明確的以坩堝上升速度與加熱器的功率作為輸入、硅單晶直徑作為輸出的非線性離散系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)化為虛擬的、動態(tài)的線性數(shù)值模型，進(jìn)一步實現(xiàn)對硅晶體生長未知系統(tǒng)的MFAC控制。

首先，對雙輸入、多輸出非線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析。

(1)

假設(shè)1：f(·)關(guān)于當(dāng)前控制輸入信號u(k)的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

Δy(k+1)=ΦTΔU(k)

(2)

u(k)=u(k-1)+[y*(k+1)-y(k)]·ρΦ(k)/(λ+Φ2(k))

(3)

(4)

(5)

式中：ε為無窮小的數(shù)，表示該重置算法的引入能進(jìn)一步保證在時變系統(tǒng)中依然保持很強(qiáng)的控制能力；u(k)為k時刻硅單晶生長中坩堝上升速度與加熱器的功率的輸入；y(k)為k時刻晶體直徑的輸出，通過設(shè)定初始時刻的工藝參數(shù)及晶體直徑數(shù)值可實現(xiàn)對晶體直徑的控制。

1.2 穩(wěn)定性分析

對于硅單晶直徑控制模型，在滿足y(k+1)關(guān)于y(k)和坩堝上升速度與加熱器功率u(k)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足廣義Lipschitz的條件下，當(dāng)y*(k+1)和y(k+1)相等且為一個定值常量時，控制算法式(5)達(dá)到穩(wěn)定，此時存在a>0保證系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂且輸入輸出均有界，穩(wěn)定性分析證明如下。

(6)

(7)

存在步長因子η∈(0,1]，μ>0，此時有

由e(k)=y*(k)-y(k)為控制輸出的誤差值，則

(8)

1.3 動態(tài)控制過程

式(5)建立了硅單晶直徑的控制算法，同時證明了該算法的穩(wěn)定性，但在硅單晶生長中，對于控制的輸入輸出數(shù)據(jù)都要實時產(chǎn)生的，因此為了模擬實時控制的條件，在上述MFAC控制算法的基礎(chǔ)上需引入實時的硅單晶生長中直徑變化值。

考慮到直接采用實際拉晶過程中的直徑數(shù)據(jù)時，數(shù)據(jù)量過于龐大同時很難導(dǎo)入控制算法中，因此本文根據(jù)CL120-97爐的已有數(shù)據(jù)，建立了以堝升速度與加熱器功率作為輸入，晶體直徑作為輸出的擬合函數(shù)，該函數(shù)能為控制過程提供連續(xù)的直徑變化數(shù)據(jù)，并且將該擬合函數(shù)嵌入MFAC算法中更容易實現(xiàn)。本文中選取了1 200組實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)，在表1中只顯示部分?jǐn)?shù)據(jù)。由于擬合的精確度對控制過程沒有影響，對于2個自變量與1個因變量的擬合函數(shù)中常采用的是二次非線性擬合，因此，得到擬合函數(shù)表達(dá)式為：

(9)

式中：u1代表坩堝的上升速度；u2代表加熱器的輸出功率；y代表晶體直徑。通過該表達(dá)式，模擬出了在實際晶體生長中會出現(xiàn)的直徑變化情況。同時在結(jié)合式(3)的基礎(chǔ)上，將式(9)中模擬出的直徑值作為y(k)的變化值，進(jìn)一步實現(xiàn)對實時硅單晶直徑的控制。

表1 晶體生長數(shù)據(jù)Table 1 Crystal growth data

因此，在式(5)MFAC控制算法的基礎(chǔ)上，令u=[u1u2]，Φ=[φ1φ2]T，得到雙輸入、單輸出MFAC動態(tài)控制算法為：

(10)

在硅單晶直徑控制過程中，用簡化的示意圖表示算法過程，如圖2所示。在給定初始k=1時刻的偽偏導(dǎo)數(shù)Φ(1)，控制輸入u1(1)u2(1)及k=1,2時刻硅單晶直徑y(tǒng)(1)y(2)的前提下，可以計算出k=3時刻的硅單晶直徑y(tǒng)(3)，此時對比設(shè)定的晶體直徑與控制輸出直徑的差值，即y*-y(3)的大小，來調(diào)節(jié)k=2時刻的偽偏導(dǎo)數(shù)Φ(2)與控制輸入u1(2)u2(2)，進(jìn)一步計算下一時刻k=4時刻的硅單晶直徑y(tǒng)(4)，上述過程不斷迭代計算，最終計算到k時刻，y*-y(k)的值接近0或等于0時，晶體直徑達(dá)到設(shè)定值，此時控制算法穩(wěn)定運(yùn)行，實現(xiàn)了對晶體直徑的有效控制。

圖2 直徑控制算法動態(tài)演示Fig.2 Dynamic demonstration of diameter control algorithm

2 基于貝葉斯的超參數(shù)優(yōu)化

2.1 超參數(shù)的影響

在硅單晶直徑控制模型中存在的超參數(shù)ρ、η、μ、λ需要進(jìn)行初始設(shè)定，這些超參數(shù)對于控制模型的性能都有影響，并且不同的初始設(shè)定參數(shù)會帶來不同的計算量與時間成本，但滿足控制要求的合理設(shè)定范圍卻很難獲得。

在MFAC參數(shù)整定的研究[29-30]中發(fā)現(xiàn)四個超參數(shù)的敏感程度依次為λ>η>μ>ρ，因此為了降低超參數(shù)調(diào)整的復(fù)雜度，選取敏感程度較高的λ,η兩個超參數(shù)進(jìn)行MATLAB仿真實驗，以驗證本文中超參數(shù)對硅單晶直徑控制的影響。

在進(jìn)行仿真實驗前，設(shè)定目標(biāo)晶體直徑為230 mm，并根據(jù)實際數(shù)據(jù)設(shè)定以下初始值：

y(1)=224.7,y(2)=223.1,u1(1)=0.161 0,Δu1(1)=-0.012,u2(1)=45.19,Δu2(1)=-0.05

而對于超參數(shù)的初始設(shè)定是根據(jù)參數(shù)整定研究中所得到的有效值并進(jìn)行隨機(jī)組合，并且λ∈(0,2],η∈(0,1]，因此初始設(shè)定值為：

λ=0.5,η=0.5,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15;λ=1.0,η=0.2,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15;λ=1.1,η=0.8,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15;λ=1.3,η=0.2,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15;λ=1.5,η=0.3,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15

通過仿真實驗，得到實驗結(jié)果如圖3～5所示。圖3是在不同的超參數(shù)組合下，硅晶體直徑的控制結(jié)果，可以看出晶體直徑最終都達(dá)到均勻穩(wěn)定的狀態(tài)，但超參數(shù)對整個控制過程有重要影響。同時從圖3中可發(fā)現(xiàn)，超參數(shù)不同的取值會影響直徑達(dá)到穩(wěn)定的迭代次數(shù)，也會影響控制過程中的波動情況，也就是說用于實際晶體生長控制時，晶體達(dá)到穩(wěn)定直徑的耗時較長，并且在晶體生長的初始階段，晶體的直徑變動范圍較大。

圖4是 MFAC控制模型對堝升速度與加熱器功率的控制結(jié)果?？梢钥闯鲈?60次迭代后，對于硅單晶生長過程中輸入的控制均達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。但此時由于超參數(shù)的取值不同，最大的加熱器功率輸入達(dá)到了57.347 1 kW，最小的加熱器功率輸入為39.847 5 kW，兩者相差較大，表明超參數(shù)對生長過程中的輸入功率也有較大影響，用于實際生產(chǎn)時一定會影響成本的波動。同時從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，最大的坩堝上升速度輸入在合理的范圍，但最小的坩堝上升速度輸入小于0，表明此時的控制效果很差，維持最小的坩堝上升速度輸入時對整個晶體生長過程都有負(fù)面影響。

圖3 控制晶體直徑的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of controlling crystal diameter

圖5是直徑誤差結(jié)果，可以看出存在最大誤差與最小誤差的比值達(dá)到40倍的情況，也存在500次迭代過程中還沒收斂的情況。表明采用硅單晶直徑控制的效果與超參數(shù)的取值有密切關(guān)系，如何調(diào)整超參數(shù)會直接影響到硅單晶生長過程中的直徑波動范圍，以致影響最終的硅晶體品質(zhì)。

圖4 控制輸入的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of controlling input

圖5 控制晶體直徑的誤差結(jié)果Fig.5 Error results of controlling crystal diameter

從圖3～5中可以得出，MFAC硅單晶直徑控制模型達(dá)到了控制晶體直徑的作用，在數(shù)次迭代后都維持了穩(wěn)定的控制，但也同樣得出超參數(shù)對控制的重要影響?？偨Y(jié)以上結(jié)果，如表2所示。

表2 仿真結(jié)果數(shù)據(jù)Table 2 Simulation result data

從表2中可以得出，硅單晶直徑控制模型能夠?qū)崿F(xiàn)對于晶體直徑的均勻控制，同時穩(wěn)定硅晶體生長過程，但在實際的晶體生長過程中，坩堝的上升速度是0.1～0.3 cm/min，加熱器功率是44～48 kW，表明由于超參數(shù)的存在，控制輸入的數(shù)據(jù)已經(jīng)超出合理的工藝參數(shù)范圍，必定會影響整個硅晶體生長過程。另外，直徑控制模型中超參數(shù)的取值不同，仿真過程的迭代次數(shù)太多，耗費(fèi)的時間也會增加，導(dǎo)致在晶體生長的初始階段，晶體的直徑也會產(chǎn)生較大的波動從而影響最終的晶體品質(zhì)。因此，在對MFAC硅單晶直徑控制模型進(jìn)行仿真實現(xiàn)后得出，控制模型中涉及的超參數(shù)λ、η對整個硅單晶生長過程有重要影響。

2.2 貝葉斯參數(shù)優(yōu)化

硅單晶直徑控制模型中的超參數(shù)是影響最終控制效果的重要因素，優(yōu)化超參數(shù)λ,η來降低迭代次數(shù)并將輸入?yún)?shù)控制在一定范圍內(nèi)，是實現(xiàn)硅單晶品質(zhì)的提升過程中需要解決的問題。

在超參數(shù)優(yōu)化的研究中，基礎(chǔ)的方法是手動調(diào)參、網(wǎng)格搜索及隨機(jī)搜索調(diào)參，其原理都是窮舉法，而在深度學(xué)習(xí)迅速發(fā)展后，許多研究者開始采用模擬退火算法、遺傳算法及粒子群優(yōu)化算法等進(jìn)化算法進(jìn)行調(diào)優(yōu)，另外還有基于梯度的參數(shù)優(yōu)化算法等[31-32]。在本文中，采用以上優(yōu)化方法迭代次數(shù)多、效率低，同時需要大規(guī)模的數(shù)據(jù)集，花費(fèi)的代價太大。因此，選用迭代過程簡單、目標(biāo)函數(shù)少、效率更高的貝葉斯優(yōu)化對以上超參數(shù)進(jìn)行調(diào)優(yōu)。

貝葉斯優(yōu)化的核心是先驗函數(shù)(prior function, PF)與采集函數(shù)(acquisition function, AC)。PF主要采用高斯過程回歸，利用高斯過程增加后驗概率的準(zhǔn)確，而AC的函數(shù)中采用目前最為廣泛的EI(expected improvement, EI)，目的是探索方差最大的位置尋找最優(yōu)[33]。

首先將上述5次仿真實驗的數(shù)據(jù)樣本擬合成高斯回歸模型，如式(11)所示：

f(x)=gp(0,k)

(11)

式中：k=(x,x′)為協(xié)方差函數(shù)，而x=[λη]是本文需要優(yōu)化的λ,η兩個超參數(shù)。因此手動設(shè)置5次仿真實驗樣本值{(x1,y1),(x2,y2),…,(x5,y5)}，得到的協(xié)方差矩陣為式(12)：

(12)

Pm+1～N(μ,σ2)
μ=kTK-1fm(x)
σ2=k(xm+1,xm+1)-kTK-1k

(13)

根據(jù)上述高斯過程得到的后驗概率，再進(jìn)一步通過采集函數(shù)EI決定下一個采樣點(diǎn)xm+1的選取。而EI函數(shù)依然采用explore和exploit兩種策略[34]，并求取未知點(diǎn)與f(x)差值的期望來評估是否進(jìn)行選取該點(diǎn)。其準(zhǔn)則函數(shù)表示為式(14)：

(14)

為更加直觀觀測整個優(yōu)化過程，本文中采用三維視角，將需要優(yōu)化的超參數(shù)λ、η設(shè)置為三維坐標(biāo)系中的x軸與y軸，而目標(biāo)位置與設(shè)定直徑差值f(x)-230設(shè)置為z軸。如圖7所示，每個已知點(diǎn)符合高斯過程的正態(tài)分布，進(jìn)而通過計算方差與均值不斷接近理想的位置，最后尋找到最優(yōu)的超參數(shù)范圍。

由于MFAC硅單晶直徑控制模型中需要優(yōu)化的超參數(shù)λ∈(0,2],η∈(0,1]，因此該優(yōu)化過程是連續(xù)的超參數(shù)尋優(yōu)，可假定為二維平面內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)的λ、η選取。然而在本文已經(jīng)手動輸入一部分已知參數(shù)點(diǎn)的情況下，可以直接利用已知點(diǎn)的集合，并根據(jù)EI準(zhǔn)則進(jìn)行下一個點(diǎn)采樣。因此通過MTALAB軟件對上述貝葉斯優(yōu)化過程進(jìn)行仿真，最終得到的優(yōu)化結(jié)果是λ∈[0.94,1.05],η∈(0,0.18]。

圖6 算法流程框圖Fig.6 Algorithm flow diagram

圖7 貝葉斯參數(shù)優(yōu)化過程演示Fig.7 Demonstration of Bayesian parameter optimization process

3 硅單晶直徑控制的仿真實驗

在通過首次仿真實驗后發(fā)現(xiàn)，對超參數(shù)的優(yōu)化是必要的，因此將貝葉斯參數(shù)優(yōu)化得到的結(jié)果進(jìn)行最終的硅單晶直徑控制的仿真實驗。

在進(jìn)行仿真實驗前，設(shè)定目標(biāo)晶體直徑為230 mm，并同樣根據(jù)實際數(shù)據(jù)設(shè)定以下初始值：y(1)=224.7,y(2)=223.1,u1(1)=0.161 0,Δu1(1)=-0.012,u2(1)=45.19,Δu2(1)=-0.05。

根據(jù)超參數(shù)優(yōu)化的合理取值范圍，選取λ,η優(yōu)化區(qū)間的最小值設(shè)定初始值，其他參數(shù)固定不變：λ=0.94,η=0,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15。

通過MATLAB軟件仿真得到優(yōu)化后實驗結(jié)果對比如圖8、圖9所示。

圖8 貝葉斯參數(shù)優(yōu)化后的直徑控制結(jié)果對比Fig.8 Comparison of diameter control results after Bayesian parameter optimization

通過貝葉斯超參數(shù)優(yōu)化后的取值范圍，選取優(yōu)化區(qū)間的最小值，得到直徑控制結(jié)果對比如圖8?？梢园l(fā)現(xiàn)在迭代4次后直徑就達(dá)到了設(shè)定的理想直徑，相對于沒有采用超參數(shù)優(yōu)化前的迭代次數(shù)減少了250次以上，同時所耗費(fèi)的時間成本也為優(yōu)化前的1/100左右，達(dá)到了不錯的優(yōu)化效果。

為了驗證貝葉斯優(yōu)化后超參數(shù)取值范圍的有效性，進(jìn)一步選取優(yōu)化區(qū)間的最大值進(jìn)行軟件仿真。同樣重新進(jìn)行仿真實驗參數(shù)的初始化：y(1)=224.7,y(2)=223.1,u1(1)=0.161 0,Δu1(1)=-0.012,u2(1)=45.19,Δu2(1)=-0.05;λ=1.05,η=0.18,μ=0.5,ρ=0.4,φ1=0,φ2=0.15。

設(shè)定目標(biāo)晶體直徑為230 mm，軟件仿真得到優(yōu)化前后實驗結(jié)果對比如圖9。

圖9 貝葉斯參數(shù)優(yōu)化后的直徑控制結(jié)果對比Fig.9 Comparison of diameter controlling results after Bayesian parameter optimization

通過圖9發(fā)現(xiàn)，選取超參數(shù)優(yōu)化區(qū)間的最大值進(jìn)行仿真，迭代次數(shù)在7次時，晶體的直徑也達(dá)到穩(wěn)定，相對于沒有采用超參數(shù)優(yōu)化前的迭代次數(shù)減少了245次以上。因此表明采用貝葉斯超參數(shù)優(yōu)化后，MFAC硅單晶直徑控制模型降低了計算量，減少了直徑控制時間，達(dá)到了更好的控制效果。

同時采用貝葉斯優(yōu)化超參數(shù)進(jìn)行軟件仿真后的直徑誤差和控制輸入結(jié)果如圖10、圖11。從圖10可以發(fā)現(xiàn)，采用貝葉斯對超參數(shù)優(yōu)化后，整個控制過程中的晶體直徑誤差值最大僅有1.227 6 mm，而最小只有0.168 6 mm，在實際的晶體直徑測量中都可以作為測量誤差忽略，達(dá)到了不錯的直徑控制效果。同時通過圖11對比分析優(yōu)化前后的控制輸入結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在晶體直徑達(dá)到穩(wěn)定值之后，控制輸入?yún)?shù)u1的最大值為0.215 9 cm/min，最小值為0.161 0 cm/min，而控制輸入?yún)?shù)u2最大值為46.623 3 kW，最小值為45.407 2 kW，滿足實際晶體生長中坩堝的上升速度在0.1～0.3 cm/min，加熱器功率在44～47 kW的合理范圍要求，實現(xiàn)了晶體生長過程中工藝參數(shù)得到優(yōu)化的提升，同時降低了生產(chǎn)過程的成本，以較低的加熱器功率和較低的坩堝上升速度生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)的硅單晶，表明整個控制模型在超參數(shù)優(yōu)下，達(dá)到了最佳的直徑控制效果。對比貝葉斯超參數(shù)優(yōu)化區(qū)間的最小值與最大值發(fā)現(xiàn)，晶體直徑控制的迭代次數(shù)有差異，即控制過程中穩(wěn)定晶體直徑的時長存在差異，選取更小的超參數(shù)組合時花費(fèi)的時間更少，達(dá)到穩(wěn)定直徑的過程更快，而值更大的超參數(shù)組合達(dá)到穩(wěn)定直徑的時間更長。同時超參數(shù)的值過小會降低坩堝的上升速度和加熱器功率，反之超參數(shù)的值更大會適當(dāng)?shù)卦龃筵釄宓纳仙俣群图訜崞鞯墓β?。然而，在晶體的生長過程中，更小的坩堝上升速度與加熱器功率會增加晶體生在的整體時長，對于批量生產(chǎn)晶體來說，會累計增加生產(chǎn)成本。因此對于不同的生產(chǎn)要求，在控制晶體生長時，應(yīng)該采用不同的超參數(shù)組合里來滿足要求。

圖10 貝葉斯參數(shù)優(yōu)化后的直徑控制誤差結(jié)果Fig.10 Diameter controlling error results after Bayesian parameter optimization

圖11 貝葉斯參數(shù)優(yōu)化后的控制輸入結(jié)果Fig.11 Controlling input results after Bayesian parameter optimization

針對MFAC控制應(yīng)用于直拉法硅單晶生長過程控制中存在的問題，通過采用貝葉斯參數(shù)優(yōu)化將MFAC硅單晶直徑控制算法進(jìn)行了優(yōu)化，并重新進(jìn)行軟件仿真，解決了控制過程中存在的計算量和迭代時間的問題，得到了更好的控制效果。表明基于貝葉斯參數(shù)優(yōu)化下的MFAC硅單晶直徑控制模型應(yīng)用于解決晶體直徑有不錯的效果，不僅將直徑控制誤差最小降低至0.168 6 mm，同時實現(xiàn)了生產(chǎn)成本的降低。

4 結(jié) 論

硅單晶直徑的均勻性是影響晶體品質(zhì)的重要因素之一，如何更好地實現(xiàn)直拉法硅單晶生長過程的直徑控制，得到更加均勻的直徑一直是晶硅生長領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)。因此通過分析已有的直徑控制方法后，本文提出了MFAC硅單晶直徑控制方法。并在根據(jù)此控制算法進(jìn)行軟件仿真后發(fā)現(xiàn)，控制算法中涉及的超參數(shù)對整個控制過程有一定的影響，進(jìn)而利用貝葉斯參數(shù)優(yōu)化法對超參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，確定了超參數(shù)的合理范圍。對基于貝葉斯參數(shù)優(yōu)化下的MFAC控制算法重新進(jìn)行軟件仿真，驗證優(yōu)化后的超參數(shù)有效提高控制效果。MFAC硅單晶直徑控制模型解決了機(jī)理建?？刂坪蚉ID控制存在的問題，表現(xiàn)出更好的直徑控制能力，而且能夠在算法優(yōu)化后，提高硅單晶生長的穩(wěn)定性，降低硅單晶生產(chǎn)成本，具有良好的應(yīng)用前景。