小學(xué)階段數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)
——“簡單的周期”教學(xué)與思考

沈紅萍 江蘇省蘇州市吳中區(qū)人民教育出版社附屬實(shí)驗(yàn)小學(xué)

模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。本文中逐一闡述了模型思想的內(nèi)涵、培養(yǎng)學(xué)生模型思想的意義和培養(yǎng)的路徑?；谏钋榫?，實(shí)現(xiàn)模型的起始；提倡多元表征，促進(jìn)模型生成；采用多次對比，不斷修正和完善模型；設(shè)計(jì)變式，應(yīng)用模型解決實(shí)際問題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》將“初步形成模型思想”作為學(xué)生的十大核心素養(yǎng)之一，并明確指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！蹦Ｐ退枷胱鳛閿?shù)學(xué)的三大基本思想之一，它是每個(gè)學(xué)生必備的，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和生活有深遠(yuǎn)的影響。

一、模型思想的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是通過對具體問題和研究對象的基本屬性、功能和特征進(jìn)行理解和認(rèn)識，用簡潔的語言抽象出描述客觀現(xiàn)象的運(yùn)動變化規(guī)律。數(shù)學(xué)模型具備了原型對象的本質(zhì)屬性，但是不能反映原型的所有方面。數(shù)學(xué)中的各種概念、數(shù)學(xué)公式和具體算法等都可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)模型，它們都有各自具體的原型。但是，從狹義的理解看，只有用于反映一個(gè)特定問題和一個(gè)特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫作數(shù)學(xué)模型。比如，“速度×?xí)r間=路程”是用來研究行程問題的數(shù)學(xué)模型。在具體的實(shí)際運(yùn)用中，還可能會把這個(gè)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成：“路程÷時(shí)間=速度”“路程÷速度=時(shí)間”。

數(shù)學(xué)建模就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中明確指出：“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義?！睌?shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

二、小學(xué)階段模型思想培養(yǎng)的意義

（一）有利于為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

模型思想的建立是一個(gè)長期的過程，從小學(xué)、初中到高中各個(gè)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容和建模的要求都不相同，它是循序漸進(jìn)發(fā)展的。而小學(xué)階段是培養(yǎng)模型思想的關(guān)鍵時(shí)期，對以后的學(xué)習(xí)有重要的影響。學(xué)生在剛開始接觸數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)到的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是簡單的、零散的。但是只有掌握了這些基礎(chǔ)知識，才能為后續(xù)學(xué)習(xí)提供可能。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，小學(xué)階段的學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，他們已經(jīng)發(fā)展出思維的完整性、邏輯性的體系，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的重要時(shí)期。當(dāng)學(xué)習(xí)到一定程度后，學(xué)生會主動對知識進(jìn)行重組和建構(gòu)，形成知識體系。這樣從簡單到復(fù)雜，從片面到系統(tǒng)，螺旋上升，符合學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展的特點(diǎn)。

（二）有利于綜合素養(yǎng)的提高

“讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，達(dá)到了這樣的要求，才真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的。其中，數(shù)學(xué)的語言就是數(shù)學(xué)模型。利用數(shù)學(xué)建模把數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活緊密地聯(lián)系在一起，使得學(xué)生切切實(shí)實(shí)感受到數(shù)學(xué)來源于生活，利用模型解決問題實(shí)際上就是把這些數(shù)學(xué)知識很好地應(yīng)用到生活中，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值，也就是培養(yǎng)了學(xué)生熱愛生活的思想和情感。

數(shù)學(xué)模型是學(xué)生在經(jīng)歷了觀察、分析、假設(shè)、歸納等充分的探索活動后，抽象出的相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系。所以，模型思想建立的過程也是學(xué)生綜合素養(yǎng)提高的過程。利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題就是應(yīng)用意識的培養(yǎng)。如今，小學(xué)階段的學(xué)生普遍存在數(shù)學(xué)應(yīng)用意識比較弱、應(yīng)用能力比較差的現(xiàn)象，而數(shù)學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)這一目的的有效方法。同時(shí)，學(xué)生在建模的活動中也培養(yǎng)了創(chuàng)新思維，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)的路徑

小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)是學(xué)生在面對現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律，通過數(shù)學(xué)活動建構(gòu)合理的數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解答與檢驗(yàn)具體情境中的數(shù)學(xué)問題。小學(xué)數(shù)學(xué)的建模包括模型起始、模型生成、模型完善和模型的應(yīng)用。筆者將以蘇教版教材數(shù)學(xué)四年級上冊“簡單的周期”為例，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的模型思想。

（一）基于具體情境，實(shí)現(xiàn)模型起始

數(shù)學(xué)學(xué)科是與生活聯(lián)系最緊密的學(xué)科，它來源于生活，并服務(wù)于生活。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，重視教學(xué)內(nèi)容與具體的生活情境相結(jié)合，挖掘生活中的數(shù)學(xué)因子，讓學(xué)生在生活化的情境中探索數(shù)學(xué)知識，通過自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)活動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)知識和內(nèi)容一旦脫離了具體情境，就會變得枯燥、乏味，難以激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)，數(shù)學(xué)內(nèi)容具有一定的抽象性，如果不加以具體化，也不容易被學(xué)生接受或理解。所以，數(shù)學(xué)建模要從生活原型出發(fā)，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。只有這樣的具體情境，才能讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴，激活已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，真正提高課堂教學(xué)效率。

數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是從一些復(fù)雜的問題或現(xiàn)象中，抽象出數(shù)學(xué)模型，這些模型是具有普適性的，能應(yīng)用其解決與之相關(guān)的一系列實(shí)際問題。教師創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境應(yīng)符合數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容展開。以內(nèi)容為核心的情境，才有利于模型的順利建構(gòu)，大大提升教學(xué)的效果。實(shí)踐表明，有效的具體情境，能讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模的意識，并為后續(xù)的進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

片段1：課件出示兩種盆花擺放的情境圖，一種雜亂無章地?cái)[放，一種有規(guī)律地?cái)[放。提出：國慶節(jié)快到了，王大叔和張大叔準(zhǔn)備用盆花布置校園。同學(xué)們，你們更喜歡哪種擺法？學(xué)生的想法是一致的，都喜歡有規(guī)律的盆花擺放。

教師提供盆花的兩種不同擺放形式，給了學(xué)生強(qiáng)烈的視覺沖擊，讓他們初步感受到了周期現(xiàn)象的特點(diǎn)，像這樣擺放，是有規(guī)律的，是有一定的研究價(jià)值的。在這樣的具體情境中，教師適時(shí)地提問，激發(fā)了學(xué)生探究的欲望，初步產(chǎn)生了數(shù)學(xué)建模的意識。

（二）多元表征，生成模型

小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征是數(shù)學(xué)表征能力多樣化的表現(xiàn)，有效的表征可以將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀、簡單地呈現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)的多元表征包括外在表征和內(nèi)在表征，其中外在表征的形式包括語言、文字、符號、圖形、具體活動等。學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平各不相同，面對同一個(gè)問題時(shí)，思考的角度不同，得到的結(jié)果也不一定相同。教育面向的是全體學(xué)生，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。所以，教師在課堂上要鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方法解決問題，只有這樣，才能有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的生成。

片段2：盆花的排列規(guī)律。

師：同學(xué)們，你喜歡用什么方式表示王大叔擺放盆花的規(guī)律呢？把你們想到的記錄下來。

生1：藍(lán)黃紅，藍(lán)黃紅，藍(lán)黃紅……

師追問：盆花是按怎樣的規(guī)律排列的？

生1：每3 盆為1 組，每組按藍(lán)花、黃花、紅花的順序，依次重復(fù)出現(xiàn)。

師：對比以上兩種表示方法，它們有什么不同？

生3：第二種加了方框，把“藍(lán)黃紅”為1 組表示得更清楚了！

師追問：這里的“△”“○”“□”分別表示什么？

生4：“△”表示藍(lán)花，“○”表示黃花，“□”表示紅花。

師追問：你又是怎樣想的？

……

小結(jié)：不管用文字、符號還是字母等，它們都表示相同的規(guī)律。

師：按照這樣的排列規(guī)律，第19 盆花是什么顏色？

學(xué)生用到了文字列舉、符號列舉，也想到了列算式。

生1：19÷3=6（組）……1（盆）。

師追問：第19 盆是第幾組的第幾盆？

生1：第19 盆花是第7 組的第1 盆，是藍(lán)花。

生2：每3 盆為1 組，第1 盆都是藍(lán)花，第2 盆都是黃花，第3 盆都是紅花。

師：觀察這個(gè)除法算式，你覺得余數(shù)還可能是幾？

生3：除數(shù)是3，余數(shù)還可能是2，表示某組的第2盆，是黃花。

師：第42 盆花是什么顏色？

學(xué)生都感受到了畫一畫帶來的困難，所以選擇用除法算式。

生4：42÷3=14（組）。

師追問：這個(gè)算式表示什么意思？

生4：有42 盆花，每3 盆為1 組，共有14 組。

師追問：是什么顏色呢？

生4：第42 盆是第14 組的最后一盆，是紅花。

小結(jié)：用除法算式判斷，可能出現(xiàn)有余數(shù)和沒有余數(shù)這兩種情況。

教師在學(xué)生動手操作、合作交流的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在不同表征下，表示盆花的擺放規(guī)律是一樣的，逐步建立起周期規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。這樣不同的表征符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)了學(xué)生的發(fā)展，把學(xué)生的思維打開了。求“第19 盆花是什么顏色”時(shí)，學(xué)生也想到了這樣的多元表征，更有學(xué)生想到了用除法算式，此時(shí)教師并沒有指出不同表征的優(yōu)劣性，而是都認(rèn)可。但是，在求“第42 盆花是什么顏色”時(shí)，學(xué)生自然而然都用了除法算式，感受到了除法算式解決這類問題的普適性，初步建立了解決盆花問題的數(shù)學(xué)模型。這樣的過程是由具體到抽象的一次重大飛躍，學(xué)生的建模能力得到了真正的提升。

（三）多次對比，完善模型

模型完善是教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識體系，從不同的角度分析和理解知識，從部分到整體，達(dá)到解決問題的過程。著名教育家烏申斯基說過：“比較乃是各種認(rèn)識和各種思維的基礎(chǔ)?！边@種比較就是把兩種或兩種以上的同類知識或有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識放在一起研究，從差異中找相同，從相同中又分辨差異，從而掌握知識的本質(zhì)。通過這樣的比較，能幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識，進(jìn)一步促進(jìn)模型的完善。

片段3：彩燈和彩旗也有這樣的周期現(xiàn)象。

師：照這樣排下去，第21 盞彩燈和第21 面彩旗分別是什么顏色？

生1：21÷4=5（組）……1（盞），21÷4=5（組）……1（面），它們的第21 個(gè)都是紅色。

師追問：彩燈和彩旗的排列不同，為什么都除以4？

生1：因?yàn)樗鼈兌际敲? 個(gè)為1 組依次重復(fù)出現(xiàn)。

變式：彩燈前面加1 盞紫色彩燈。

師：這樣的擺法還存在周期現(xiàn)象嗎？

生2：存在。每4 盞為1 組，每組按“紫紅紫綠”的順序依次重復(fù)。

師：第21 盞是什么顏色？

生2：21÷4=5（組）……1（盞），第21 盞是紫色的彩燈。

師追問：為什么都是余1 盞，一種是紅色，另一種是紫色？

生2：因?yàn)榕帕械囊?guī)律不同。第一種是每組按“紅紫綠紫”的順序排列，第二種是按“紫紅紫綠”的順序排列。

生3：余1 表示每組中的第1 盞，它們的顏色不同。

小結(jié)：研究周期現(xiàn)象，不僅要關(guān)注每幾個(gè)為1 組，更要關(guān)注每組是按怎樣的順序排列的。

研究彩燈和彩旗的周期現(xiàn)象時(shí)，教師進(jìn)行了兩次對比：彩燈和彩旗的排列不同，為什么都除以4？為什么都是余1 盞，一種是紅色，另一種是紫色？對比的過程中，進(jìn)一步讓學(xué)生感受到，對于周期現(xiàn)象，不僅要關(guān)注幾個(gè)為1組，也要關(guān)注排列的順序，進(jìn)而完善數(shù)學(xué)模型，能在以后的模型應(yīng)用中做到游刃有余。課堂教學(xué)中，教師要把握節(jié)奏，由淺入深，由個(gè)例到一般，層層遞進(jìn)，螺旋上升。

（四）設(shè)計(jì)變式，應(yīng)用模型

學(xué)生真正理解了數(shù)學(xué)模型，主動將其他知識與建構(gòu)的模型聯(lián)系起來，有效地解決并呈現(xiàn)問題結(jié)果，最終解決或檢驗(yàn)了現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題。教學(xué)中，問題的設(shè)計(jì)要符合數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在新的情境中，嘗試用已有模型解決問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，問題的設(shè)計(jì)要具有創(chuàng)新性，避免簡單的重復(fù)，只有形式多樣的、極具挑戰(zhàn)性的問題，才能引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高綜合解決問題的能力。

片段4：自己設(shè)計(jì)一個(gè)周期排列的活動。

你能用△、□和○這三種圖形設(shè)計(jì)一個(gè)按周期規(guī)律排列的圖形序列嗎？

（1）你準(zhǔn)備設(shè)計(jì)幾個(gè)圖形為1 組？

（2）如何讓其他同學(xué)一眼看出你的周期規(guī)律？

通過這樣開放性的問題，嘗試用符號表示周期現(xiàn)象，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)。從模型的起始到建立模型，再到完善模型，最后到應(yīng)用模型解決問題，這是一個(gè)從具體到抽象，又從抽象到具體的過程。學(xué)生在設(shè)計(jì)的過程中，進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識，靈活地運(yùn)用模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的重組與建構(gòu)。學(xué)生應(yīng)用模型解決問題的過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到了提升。

學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型起始、模型生成、模型完善、應(yīng)用模型解決問題的過程，感受到了數(shù)學(xué)建模與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)了模型思想。同時(shí)，更有效地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了學(xué)生的應(yīng)用意識，提升了學(xué)生的核心素養(yǎng)。在教學(xué)中，模型思想不能作為一個(gè)具體知識點(diǎn)或數(shù)學(xué)內(nèi)容。它的構(gòu)建滲透到整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)活動中通過自主探究、合作交流、動手操作等逐漸感悟，從而獲得數(shù)學(xué)思想。這是一個(gè)長期的、連續(xù)的、復(fù)雜的過程，需要教師在日常教學(xué)中逐漸培養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。