借助幾何畫板探究對勾函數(shù)

張偉俊

九年級下學(xué)期，同學(xué)們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后，又研究了二次函數(shù). 此時的你已經(jīng)積累了一定的研究函數(shù)的方法和經(jīng)驗. 但是，當(dāng)大家面對一個陌生的函數(shù)時，你能否運用已有的研究函數(shù)的方法和經(jīng)驗去研究它呢？這是一個非常有意義的問題！為此，筆者設(shè)計了一節(jié)數(shù)學(xué)綜合與實踐課《借助幾何畫板探究對勾函數(shù)的圖像和性質(zhì)》，讓同學(xué)們認(rèn)識到“面對任何一個陌生的函數(shù)，都可以運用已有的思路、方法去研究它”.

具體的探究方案如下：

1. 學(xué)前先思，激活經(jīng)驗

回顧學(xué)習(xí)研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的過程，總結(jié)研究函數(shù)的思路和方法，思考：面對一個陌生的函數(shù)，你將從哪些方面對它展開研究？你的方法是什么？

（設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)新知之前，以問題的形式，引導(dǎo)大家回顧總結(jié)研究函數(shù)的一般思路和方法，激活已有知識和經(jīng)驗，生成解決問題的新智慧. ）

2. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

（1） 問題背景：若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值. 我們可以設(shè)矩形的一邊長為x，面積為S，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=-x2+x（x>0），利用函數(shù)的圖像或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.

（2） 提出問題：若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（?。┲凳嵌嗌?？

（設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓同學(xué)們在運用已有知識、經(jīng)驗解決問題的過程中提出新問題，并為類比原有解決問題的策略解決新問題埋下伏筆.）

3. 類比學(xué)習(xí)，建立模型

若設(shè)該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+，且x>0. 于是，問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（?。┲盗?

（設(shè)計意圖：期望同學(xué)們能類比原有解決問題的策略，從實際問題中抽象建立數(shù)學(xué)模型，努力通過對數(shù)學(xué)模型的求解而解決實際問題. ）

4. 自主探究，分析問題

（1） 實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數(shù)y=2x+（x>0）的圖像：

（2） 觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖像，猜想當(dāng)x=______時，函數(shù)y=2x+（x>0）有最______值（填“大”或“小”），是______.

（3） 推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)S=-x2+x（x>0）的最大值. 你能通過配方求函數(shù)y=2x+（x>0）的最大（小）值嗎？

（設(shè)計意圖：以問題為載體，引領(lǐng)大家從“形”與“數(shù)”兩個角度，自主探索，獨立求解新函數(shù)的最值.）

5. 合作探究，解決問題

（1） 小組合作交流，分享經(jīng)驗，共探疑難. 小組成員先分別介紹自主探究過程中的收獲，提出自主探究過程中的疑問，然后共同分析疑難問題.

（2） 全班展示交流，相互補充，共同完善. 各小組代表匯報小組交流達成的共識，以及還未解決的問題，然后共同解決疑難問題.

（3） 同學(xué)們在交流的過程中，還可以通過引發(fā)深思的追問，觸及問題的本質(zhì)，激發(fā)思考，并有意識將問題拓展延伸.

（設(shè)計意圖：通過小組合作學(xué)習(xí)，互相追問，深化同學(xué)們對問題的本質(zhì)理解.）

6. 運用技術(shù)，拓展研究

借助幾何畫板探究對勾函數(shù)y=ax+（a，b為常數(shù)，且a≠0，b≠0）的圖像和性質(zhì).

（1） 按照從特殊到一般的順序，用控制變量法探究對勾函數(shù)的圖像，感受a，b對函數(shù)圖像和性質(zhì)的影響.

（2） 用極限的思想，體會對勾函數(shù)y=ax+（a，b為常數(shù)，且a≠0，b≠0）與正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，且a≠0）、反比例函數(shù)y=（b為常數(shù)，且b≠0）之間的關(guān)系.

（3） 當(dāng)a>0，b>0時，作出對勾函數(shù)y=ax+的圖像，并寫出你發(fā)現(xiàn)的性質(zhì).

（設(shè)計意圖：當(dāng)大家在借助幾何畫板探究陌生函數(shù)的性質(zhì)時，應(yīng)按照從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的順序展開，逐步觸及問題的本質(zhì). 同時，也滲透了研究問題的方法和思路.）

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學(xué)）