數(shù)形結(jié)合 凸顯本質(zhì)
——論小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)

■福建省莆田市城廂區(qū)東海東蔡小學(xué) 王順清

直觀想象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，指通過空間想象能力和幾何直觀表現(xiàn)，感知事物的發(fā)展變化規(guī)律，利用空間形式，尤其是圖形的理解力解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，其中直觀想象能力就包含幾何直觀能力，因此，幾何直觀能力是小學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要能力。小學(xué)高年級(jí)是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的起點(diǎn)，這個(gè)階段的學(xué)生處于具體運(yùn)算時(shí)期向形式運(yùn)算時(shí)期的轉(zhuǎn)變過程，學(xué)生的抽象思維在逐步萌芽階段，結(jié)合其直觀思維已經(jīng)能獨(dú)立地利用具體事物進(jìn)行運(yùn)算。在直觀思維充分發(fā)展的前提下，部分高年級(jí)學(xué)生抽象思維能超過萌芽階段。在小學(xué)階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何直觀能力培養(yǎng)，有助于其將復(fù)雜的數(shù)學(xué)幾何問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單明了的邏輯思維問題。此外，幾何直觀能力不只是在數(shù)學(xué)學(xué)科考試中占有較大比重，也會(huì)隨著課程的增加會(huì)逐步滲透各個(gè)學(xué)科中，尤其是以物理、化學(xué)兩門自然學(xué)科，這才有了“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”的認(rèn)知。教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到幾何直觀能力培養(yǎng)的重要性，這不僅有助于學(xué)生將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，也關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等能力的發(fā)展，還影響著學(xué)生的成績(jī)。

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的影響因素較為多元，包括學(xué)生因素、教師因素、家庭因素、學(xué)校因素等，其中最主要的是學(xué)生因素中的非智力因素和學(xué)習(xí)策略因素。為了真正提升小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的幾何直觀能力，教師需不忘初心，讓幾何落地生根，注重激活非智力因素，以及尊重學(xué)生主體。

一、幾何直觀能力的核心概念界定

對(duì)幾何直觀能力的分析解答，要先認(rèn)識(shí)到其概念的復(fù)合性，將其拆分為基本概念認(rèn)知梳理，最后再總結(jié)。

第一是對(duì)“幾何”的闡述，“幾何”即“幾何學(xué)”，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一門分支，意為對(duì)物體位置關(guān)系，大小比較，形狀變化進(jìn)行研究的學(xué)科。2000年美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）則認(rèn)為幾何是“三維空間存在的幾何概念的簡(jiǎn)單認(rèn)知，并探究簡(jiǎn)單幾何圖形性質(zhì)，從而識(shí)別實(shí)物異同的過程”?？梢钥吹?，美國(guó)教師協(xié)會(huì)的幾何定義在知識(shí)概念的基礎(chǔ)上加入了技能，是一個(gè)綜合性的概念，這同新課標(biāo)規(guī)定的幾何概念界定不謀而合。

第二是對(duì)“直觀”的認(rèn)知。顧名思義，“直”意為直接、直達(dá)，“觀”則是感觀，總結(jié)起來，“直觀”是人通過感受器官與外界直接接觸事物后，不經(jīng)過任何間接加工手段，產(chǎn)生感受、知覺、表達(dá)等反映形式的過程。這一過程可以借助經(jīng)驗(yàn)、測(cè)試和聯(lián)想延伸，也可以直接觀察；可以感性也可以理性；可以抽象也可以具體，并無一個(gè)具體明確的要求。反映到幾何直觀上，就不能單純地認(rèn)為只是一種“幾何圖形帶來的感性認(rèn)知”，它更強(qiáng)調(diào)了人腦在識(shí)別客觀事物發(fā)展和猜想聯(lián)系的一種狀態(tài)摸索，進(jìn)而對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式整體把握的統(tǒng)籌觀念與能力。這一總結(jié)也貼近教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生現(xiàn)狀，從更高的著眼點(diǎn)定義幾何直觀。

第三解釋“能力”這一概念，指人在完成一項(xiàng)界定目標(biāo)或任務(wù)中體現(xiàn)綜合素質(zhì)，尤其強(qiáng)調(diào)了推進(jìn)任務(wù)順利完成的心理特征作用，以其活動(dòng)領(lǐng)域分為一般能力、特殊能力、創(chuàng)造能力、超能力等。有學(xué)者簡(jiǎn)單地把能力高低歸結(jié)為智力高低，這種總結(jié)是片面的。能力與智力應(yīng)該是相互依存，共生互補(bǔ)，放在數(shù)學(xué)層面上，以數(shù)學(xué)核心六內(nèi)涵為基礎(chǔ)，囊括一切直觀元素和表征現(xiàn)象，深入思考后解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問題的一種能力，稱為“數(shù)學(xué)直觀能力”。

綜上所述，可以給出幾何直觀能力的定義：運(yùn)用聯(lián)想或直接觀察所得的圖形、實(shí)物、標(biāo)志，加以分析和思考后得出數(shù)學(xué)問題，并加以解決后進(jìn)行歸納、總結(jié)、提升的能力。對(duì)此定義的認(rèn)知也為后續(xù)現(xiàn)狀分析和策略提出提供理論依據(jù)。

二、小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)現(xiàn)狀

（一）水平、要素及內(nèi)容現(xiàn)狀

現(xiàn)階段，小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力整體處于中等偏上的水平，且受性別影響，具體到水平、要素及內(nèi)容現(xiàn)狀，卻存在較大的差異。就水平維度說，大部分學(xué)生能利用幾何直觀感知問題、表現(xiàn)問題，但能利用幾何直觀分析問題的不多。就要素維度說，由于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活接觸的幾何圖形直觀問題較多，因此，對(duì)幾何圖形直觀問題解決的程度強(qiáng)于圖片直觀和符號(hào)直觀。具體而言，在涉及圖片直觀時(shí)，存在思維的連貫性較為欠缺的問題；在涉及符號(hào)直觀時(shí)，存在作圖習(xí)慣差、作圖不嚴(yán)謹(jǐn)、作圖不靈活等問題，學(xué)生以數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力還有待加強(qiáng)。就內(nèi)容維度說，在圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合運(yùn)用四個(gè)部分中，統(tǒng)計(jì)與概率、圖形與幾何兩部分學(xué)生的答題正確率最高，原因在于相關(guān)知識(shí)大量以圖形、圖表呈現(xiàn)，直觀性很強(qiáng)，數(shù)與代數(shù)、綜合運(yùn)用兩部分則較為抽象，學(xué)生使用幾何直觀方法解決相應(yīng)問題的意識(shí)、能力都相對(duì)薄弱。

（二）五六年級(jí)的差異性

從整體上看，五六年級(jí)幾何直觀能力不存在顯著的差異。但具體到幾何直觀知識(shí)和方法掌握的熟練度上，六年級(jí)學(xué)生是強(qiáng)于五年級(jí)的。在水平維度上，相比五年級(jí)，六年級(jí)學(xué)生無論是在知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)還是學(xué)習(xí)心理上，都是明顯占優(yōu)的。但在五年級(jí)學(xué)習(xí)剛剛學(xué)習(xí)的新知識(shí)中，六年級(jí)學(xué)生的優(yōu)勢(shì)并不明顯，這也說明及時(shí)復(fù)習(xí)對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的重要意義。在要素維度上，六年級(jí)學(xué)生無論在數(shù)學(xué)知識(shí)還是技能方面，都是明顯占優(yōu)勢(shì)的，但在圖片直觀上，六年級(jí)學(xué)生的優(yōu)勢(shì)并不明顯，這需要教師進(jìn)行額外的關(guān)注。在要素維度上，六年級(jí)學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能上比五年級(jí)學(xué)生強(qiáng)，而且已經(jīng)深入學(xué)習(xí)了如何運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘除法解決問題，在數(shù)與代數(shù)等方面是遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于五年級(jí)學(xué)生的。五六年級(jí)的差異性，需要教師采取差異化的教法和引導(dǎo)方式，幫助學(xué)生補(bǔ)齊短板，提升綜合能力。

三、小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的影響因素

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的影響因素有學(xué)生因素、教師因素、家庭因素、學(xué)校因素等，下文將詳細(xì)闡述學(xué)生因素、教師因素兩個(gè)部分。

（一）學(xué)生因素

學(xué)生因素是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的最主要因素，畢竟，幾何直觀能力培養(yǎng)的主體是學(xué)生。在學(xué)生因素中，非智力因素和學(xué)習(xí)策略因素的占比較大。對(duì)前者，分為元認(rèn)知策略、認(rèn)知策略、尋求支持策略、策略意識(shí)和策略情感五部分，上述策略越高，學(xué)生幾何直觀能力就越強(qiáng)，反之亦然。對(duì)后者，主要涉及學(xué)生的興趣、情感、意志、動(dòng)機(jī)，比如，學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)課、喜歡了解幾何直觀方面的知識(shí)甚至希望在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得一定成就，那么幾何直觀能力就越強(qiáng)。這種正相關(guān)現(xiàn)象也是學(xué)生能力培養(yǎng)的最大內(nèi)在動(dòng)因，這也側(cè)面印證了“興趣是最好的老師”這一觀點(diǎn)。

（二）教師因素

教師是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的引路人。教師采用怎樣的教法方法、對(duì)幾何直觀能力的認(rèn)知程度以及與學(xué)生的關(guān)系等，都會(huì)深入影響學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)。以師生關(guān)系為例，如果一個(gè)班上的學(xué)生都喜歡數(shù)學(xué)教師、喜歡上數(shù)學(xué)教師的課，那么就越能對(duì)教師的畫圖分析等教學(xué)方法產(chǎn)生進(jìn)一步的理解和感知，教師也愿意將更多的理論和思考傳遞給學(xué)生，而不是僅僅給出一個(gè)正確答案。反之，如果一個(gè)班上很多的學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)教師、不喜歡上數(shù)學(xué)教師的課，那么學(xué)生就不愿理解教師培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的具體教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和措施，從而導(dǎo)致教學(xué)失去了針對(duì)性。另外，隨著二十一世紀(jì)互聯(lián)網(wǎng)和大數(shù)據(jù)的興起，形形色色的多媒體教學(xué)工具逐漸進(jìn)入教師的視野，教師要能利用這些科技帶來的便利，并將其轉(zhuǎn)化為幫助學(xué)生理解幾何課程的助力，更形象、更生動(dòng)地涵蓋所要傳授的內(nèi)容知識(shí)。要注意的是，教師利用多媒體教學(xué)不代表要全權(quán)依靠多媒體教學(xué)，對(duì)一些傳統(tǒng)的優(yōu)良教學(xué)方法也要結(jié)合著用，雙管齊下，教學(xué)效果才會(huì)有明顯提升。

四、對(duì)策與建議

為了真正提升小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的幾何直觀能力，必須從“教”與“學(xué)”兩方面入手，對(duì)此，筆者提出以下幾點(diǎn)對(duì)策。

（一）不忘初心，讓幾何落地生根

學(xué)校應(yīng)該看到幾何直觀能力是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，認(rèn)識(shí)到幾何直觀能力培養(yǎng)對(duì)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的重要作用，不忘初心，讓幾何落地生根。第一，學(xué)校應(yīng)積極開發(fā)培養(yǎng)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力的新課程，強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的應(yīng)用性和形式的多元性。比如，針對(duì)六年級(jí)學(xué)習(xí)的“比例和圖形”，教師可以設(shè)計(jì)一堂“我來畫學(xué)?！钡幕顒?dòng)課，讓學(xué)生通過畫草圖、實(shí)地測(cè)量和比例換算，最終完成一幅學(xué)校的地圖，讓其在動(dòng)手動(dòng)腦中實(shí)現(xiàn)幾何直觀能力的提升。此外，要加強(qiáng)教師隊(duì)伍對(duì)幾何直觀的認(rèn)知程度，正如上文所述，盡管當(dāng)前小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力整體處于中等偏上的水平，卻在水平、要素及內(nèi)容上存在明顯的差異性。因此，學(xué)校應(yīng)從學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展出發(fā)，讓教師對(duì)這種差異性保持清醒的認(rèn)知，加強(qiáng)自身的理論修養(yǎng)和實(shí)踐能力，并提供相關(guān)的規(guī)劃課題，帶動(dòng)整個(gè)教師隊(duì)伍。第二，應(yīng)強(qiáng)調(diào)教師主導(dǎo)發(fā)揮作用。一是要加強(qiáng)理論知識(shí)學(xué)習(xí)，明晰幾何直觀的內(nèi)涵，理解幾何直觀的意義。教師要利用好新課標(biāo)和各種參考文獻(xiàn)，從自身教學(xué)實(shí)際出發(fā)，關(guān)注和研究學(xué)生在幾何直觀上存在的問題，進(jìn)行分析、思考，然后研讀新課標(biāo)和各種參考文獻(xiàn)中的解決辦法、具體案例及實(shí)施意見，再將其實(shí)踐與平日的課堂教學(xué)中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用幾何直觀的方式解決問題，進(jìn)而理解“幾何直觀能力的意義是什么？”“過往教學(xué)存在的問題是什么？”“教師應(yīng)該怎樣教？”二是加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。教師要有在平日的教學(xué)中有意識(shí)地滲透、體現(xiàn)幾何直觀能力，比如，在講授“長(zhǎng)方體的表面積”一課時(shí)，教師可以借助教學(xué)用具、紙盒紙箱等實(shí)物讓學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體表面積組成有一個(gè)初步的認(rèn)知，再讓學(xué)生動(dòng)手“分解”一個(gè)長(zhǎng)方體，利用幾何直觀分析問題。

（二）注重激活非智力因素

非智力因素對(duì)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的影響很大。為此，教師必須充分重視起學(xué)生的興趣、情感、意志、動(dòng)機(jī)等，既讓學(xué)生對(duì)幾何直觀感興趣，又要對(duì)教師有親近感。這就要求教師要提升教學(xué)素養(yǎng)，古語(yǔ)有云：“身正為師”“十年樹木，百年樹人”。學(xué)生學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)周期的過程，教師的一言一行規(guī)范與否都會(huì)對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。誠(chéng)然在當(dāng)今推行素質(zhì)教育的大背景下，一線教師的教學(xué)素養(yǎng)有了極大提升，但對(duì)形成閉環(huán)的素養(yǎng)框架還仍有差距。教師必須時(shí)刻反思，發(fā)揮良好的示范作用，引導(dǎo)學(xué)生時(shí)時(shí)刻刻養(yǎng)成規(guī)范良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。例如，在畫圖過程中，教師規(guī)范使用直尺、圓規(guī)等作圖工具，用自己的實(shí)際行動(dòng)影響學(xué)生。這種影響可以有助于提升學(xué)生的學(xué)科成績(jī)和加強(qiáng)學(xué)生能力的培養(yǎng)，還能影響學(xué)生之后的人生軌跡，帶來的好處毋庸置疑。同時(shí)，教師可以增強(qiáng)自己的人格魅力，提升在學(xué)生心目中的影響力、感召力，從而使每一節(jié)課都事半功倍。比如，在執(zhí)教的“圓的周長(zhǎng)”這堂課時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)實(shí)物情境，帶來瓶蓋、膠帶、鐘表等有圓形的實(shí)物，讓學(xué)生進(jìn)行觀察和測(cè)量，對(duì)學(xué)生的突發(fā)奇想，對(duì)身邊的看起來不算規(guī)范圓形物體進(jìn)行測(cè)量，要持有包容的態(tài)度，提醒他們這些不是標(biāo)準(zhǔn)的圓形，測(cè)量的誤差可能會(huì)比較大，既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性。

（三）尊重學(xué)生主體

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)中，教師只是引路人，學(xué)生才是真正的主體。為此，教師必須給予學(xué)生充分的理解和尊重。首先，要意識(shí)到“教育是慢的藝術(shù)”，小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而需要一段時(shí)間的堅(jiān)持。因此，教師需在每次教學(xué)中設(shè)定一個(gè)主題，給學(xué)生一定的時(shí)間觀察、想象和思考。比如，在“圓柱的認(rèn)識(shí)”這堂課中，教師可以先給定“圓柱體”這一主題，讓學(xué)生觀察、想象并動(dòng)手畫一畫，提升學(xué)生對(duì)其的感知力。其次，要充分利用多媒體課件等手段，不僅要突出其直觀性、便捷性，更要標(biāo)準(zhǔn)、耐心地示范，不能因課件方便就進(jìn)行“快餐式”“填鴨式”教學(xué)，以使學(xué)生跟上教師的思維節(jié)奏。再次，要重視學(xué)生本身的發(fā)展。筆者在課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，一些教師存在急于推進(jìn)課程，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)、發(fā)展規(guī)律的問題。比如，在“圓柱的認(rèn)識(shí)”這堂課中，有些教師雖然采用了符號(hào)，幫助學(xué)生直觀地理解知識(shí)，但沒有留給學(xué)生充分的時(shí)間觀察、動(dòng)手作圖、理解和思考。對(duì)此，教師必須重視學(xué)生本身的發(fā)展，在課堂教學(xué)中，應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)、耐心地示范。比如，在繪制線段圖分析解決問題時(shí)，應(yīng)把握好學(xué)生的思維節(jié)奏，注意學(xué)生出現(xiàn)次數(shù)較多的問題，盡量避免“直接給答案”或直奔方法講解，而應(yīng)“啟發(fā)再啟發(fā)”，為學(xué)生留足夠的時(shí)間動(dòng)手作圖、理解數(shù)量關(guān)系、感受用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)信息的過程。

五、結(jié)語(yǔ)

總之，幾何直觀能力是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成。本文從小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)現(xiàn)狀出發(fā)，提出非智力因素和學(xué)習(xí)因素是影響這一能力的主要因素，并從“教”與“學(xué)”兩方面提出針對(duì)性建議，以真正提升小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。