因“說(shuō)理”而“深度”讓“說(shuō)理”成為撬開(kāi)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的杠桿

■福建省龍巖市長(zhǎng)汀縣童坊長(zhǎng)壩小學(xué) 曹景慧

《建寧府建陽(yáng)縣長(zhǎng)灘社倉(cāng)記》寫(xiě)道，“蒙惠者雖知其然，而未必知其所以然也”，是現(xiàn)代俗語(yǔ)“知其然，知其所以然”之源。同樣，《朱子語(yǔ)類(lèi)》卷九《論知行》篇中有言，“不可去名上理會(huì)，須求其所以然”。跟隨新課程改革腳步創(chuàng)新小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系，在“說(shuō)理”中落實(shí)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，是新時(shí)期小學(xué)數(shù)學(xué)教師的主要工作方向，也是本文的主要研究?jī)?nèi)容。通過(guò)優(yōu)化教法、升級(jí)學(xué)法課程活動(dòng)之變革，基于教師、學(xué)生在數(shù)學(xué)課程活動(dòng)中的不同角色與作用，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)“說(shuō)理”視角下的深度學(xué)習(xí)策略展開(kāi)研究并提出了一些教學(xué)建議，以期深化“說(shuō)理”杠桿作用，助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)。探究知識(shí)，需先探究其原理、本質(zhì)，將此觀念滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動(dòng)中，教師不僅應(yīng)講授知識(shí)，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)原理，“說(shuō)理”教學(xué)思維由此形成。將“說(shuō)理”思維合理運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動(dòng)中，能有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，本文便對(duì)此展開(kāi)了討論。

一、優(yōu)化教法，引領(lǐng)“說(shuō)理”學(xué)習(xí)

教師向?qū)W生講解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在原理與應(yīng)用道理，是小學(xué)數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的“說(shuō)理”現(xiàn)象，直接影響學(xué)生基于“說(shuō)理”的深度學(xué)習(xí)效果。因此以“說(shuō)理”撬開(kāi)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的杠桿，教師應(yīng)以?xún)?yōu)化教法為先，引領(lǐng)學(xué)生“說(shuō)理”學(xué)習(xí)。

（一）“說(shuō)理”的基點(diǎn)：課標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確規(guī)定了教學(xué)目標(biāo)并嘗試提出了一些教學(xué)建議，可以為教師“說(shuō)理”教學(xué)提供理論和思想支持，因此打造因“說(shuō)理”而“深度”的課程活動(dòng)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以先對(duì)課標(biāo)展開(kāi)研讀，在課標(biāo)中尋找“說(shuō)理”的基點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想。

無(wú)論以上任何一項(xiàng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)形成的素養(yǎng)，“說(shuō)理”都與之存在不容割裂的聯(lián)系。其中，“推理能力”與“說(shuō)理”的關(guān)聯(lián)最為突出。而推理主要分為演繹推理與合情推理兩部分。綜合以上分析，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動(dòng)中，可分別優(yōu)化“演繹推理”“合情推理”教法，帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)相關(guān)推理過(guò)程分析知識(shí)原理。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)“克和千克”教學(xué)，應(yīng)用“合情推理”手段向?qū)W生講解“1千克=1000克”知識(shí)點(diǎn)。在學(xué)生理解“表示物品有多重，可以用質(zhì)量單位克或千克”概念性知識(shí)后，探究“克”與“千克”之間的聯(lián)系，教師可以在黑板上分別寫(xiě)下“1 千克”與“1000 克”信息，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)取直觀經(jīng)驗(yàn)、憑借直覺(jué)分析二者聯(lián)系。在直覺(jué)與經(jīng)驗(yàn)調(diào)取中，學(xué)生向教師提出“1千克可以寫(xiě)為1000克，所以1千克=1000克”想法，推斷正確數(shù)學(xué)結(jié)果，發(fā)展類(lèi)比推理思維。隨后，由教師肯定并重復(fù)學(xué)生觀點(diǎn)，說(shuō)出“1 千克=1000 克”質(zhì)量單位換算原理，落實(shí)高效教學(xué)，豐富學(xué)生深度學(xué)習(xí)收獲。

而演繹推理，需要經(jīng)過(guò)從“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”到“數(shù)學(xué)知識(shí)”的演繹過(guò)程，要求師生在已有事實(shí)中挖掘知識(shí)規(guī)律并推斷其原理。立足于此優(yōu)化教法，教師可設(shè)計(jì)動(dòng)手操作教學(xué)環(huán)節(jié)，先通過(guò)操作演繹數(shù)學(xué)現(xiàn)象、形成推理事實(shí)，再根據(jù)操作過(guò)程與結(jié)論“說(shuō)理”。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”教學(xué)，應(yīng)用“演繹推理”手段引導(dǎo)學(xué)生探究平行四邊形面積計(jì)算公式，教學(xué)過(guò)程如下。

1.回顧公式。通過(guò)媒體課件出示長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式：S長(zhǎng)方形= 長(zhǎng)× 寬，引導(dǎo)學(xué)生回憶長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法，使其主動(dòng)思考長(zhǎng)方形與平行四邊形之聯(lián)系。

2.動(dòng)手操作。教師向?qū)W生提供由四根長(zhǎng)短不一的小棒組合而成的平行四邊形學(xué)具，啟發(fā)他們調(diào)整四根小棒位置，將平行四邊形調(diào)整為其他圖形。

【學(xué)生操作】

調(diào)整平行四邊形上下底邊與側(cè)邊小棒的接觸方式，讓側(cè)面兩根小棒與上下兩根小棒垂直，平行四邊形變?yōu)殚L(zhǎng)方形。

1.推理公式。在不增加或減少小棒數(shù)量的情況下改變?cè)行“粑恢?，可以讓平行四邊形變?yōu)殚L(zhǎng)方形，提問(wèn)：“這說(shuō)明變化前后的圖形面積是……”學(xué)生可以得出“面積是不變的”這一結(jié)論，教師進(jìn)一步總結(jié)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式也可以用來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積，同時(shí)進(jìn)一步說(shuō)明：將平行四邊形底邊看作長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也不能將它的側(cè)面邊長(zhǎng)看作長(zhǎng)方形的寬，因?yàn)樗皇谴怪钡摹；趧?dòng)手操作所得圖形展開(kāi)“說(shuō)理”，學(xué)生在教師循循善誘下發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形與平行四邊形面積計(jì)算潛在關(guān)系，同時(shí)提出合理問(wèn)題，為深度“說(shuō)理”創(chuàng)造條件。

2.繪圖演繹。為解答學(xué)生疑問(wèn)，教師可借助信息化教學(xué)工具繪制數(shù)學(xué)圖形，在繪圖事實(shí)中解釋平行四邊形底和高與長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的聯(lián)系（用PPT 展示平行四邊形）。教師通過(guò)將這個(gè)平行四邊形中的高向右平移，使其與平行四邊形上底右側(cè)端點(diǎn)相交，與下底右側(cè)延長(zhǎng)線垂直。同時(shí)將平行四邊形左側(cè)位置向右平移，補(bǔ)充到右側(cè)出現(xiàn)的空白位置上，便能形成長(zhǎng)方形，進(jìn)一步引發(fā)思考：“當(dāng)面積相同且平行四邊形底邊長(zhǎng)度與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相同時(shí)，平行四邊形的高就相當(dāng)于……”學(xué)生會(huì)得出“長(zhǎng)方形的寬”，通過(guò)S長(zhǎng)方形= 長(zhǎng)× 寬，平行四邊形面積計(jì)算公式就可推理出S平行四邊形= 底× 高。梳理上述過(guò)程，深度“說(shuō)理”伴隨公式回顧、動(dòng)手操作、繪圖、圖形分析、公式推理一一展開(kāi)。通過(guò)演繹推理平行四邊形底和高與長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬之間的聯(lián)系，學(xué)生在教師指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)二者面積計(jì)算公式的關(guān)聯(lián)，輕松理解并掌握平行四邊形面積計(jì)算公式，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。

（二）“說(shuō)理”的關(guān)鍵：時(shí)機(jī)

過(guò)往小學(xué)數(shù)學(xué)“說(shuō)理”教學(xué)嘗試并未取得預(yù)期效果，與教師對(duì)時(shí)機(jī)的把控不當(dāng)有關(guān)，部分教師在組織課程活動(dòng)的每時(shí)每刻都在“說(shuō)理”，導(dǎo)致學(xué)習(xí)氛圍枯燥，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏深度。因此優(yōu)化教法，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握“說(shuō)理”教學(xué)時(shí)機(jī)，在必要時(shí)“說(shuō)理”、在核心處“說(shuō)理”、在學(xué)生思維阻礙處或知識(shí)好奇處“說(shuō)理”，減少長(zhǎng)篇大論，防止激發(fā)學(xué)生消極厭學(xué)情緒。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)，基于“角”抽象特點(diǎn)與學(xué)生思維形象化之間的矛盾，教師選擇借助含有角的實(shí)物優(yōu)化教學(xué)，如張開(kāi)的剪刀、三角板教具、平鋪的紅領(lǐng)巾、鐘表表盤(pán)上停下的指針等，組織學(xué)生對(duì)實(shí)物展開(kāi)觀察。學(xué)生通過(guò)觀察對(duì)實(shí)物共性“都有一個(gè)尖尖的角”產(chǎn)生好奇，這便是“說(shuō)理”機(jī)會(huì)。這些物品中都有角的存在，并且每個(gè)角都是尖尖的。教師引導(dǎo)學(xué)生再次對(duì)實(shí)物展開(kāi)觀察，發(fā)現(xiàn)每個(gè)尖尖的角旁邊都有兩個(gè)直直的東西，如剪刀的“刀”、表盤(pán)上直直的指針。通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，一般來(lái)說(shuō)，在“角”中，我們看到的“尖”稱(chēng)作頂點(diǎn)，將“直直的線”稱(chēng)作邊。角就是由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊組成的。如此，將學(xué)生基于實(shí)物觀察視為“說(shuō)理”重要時(shí)機(jī)，牢牢把握此時(shí)機(jī)，根據(jù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、表述與好奇說(shuō)角之理，教學(xué)效率獲得極大提升，學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量提高。并且，在實(shí)物觀察與分析學(xué)習(xí)模式下，把抽象問(wèn)題形象化，學(xué)生幾何直觀思維得到鍛煉，更加促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)。

二、升級(jí)學(xué)法，引發(fā)深度學(xué)習(xí)

作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主人公，“說(shuō)理”既是學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路，也是他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中理所應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的責(zé)任，而傳統(tǒng)學(xué)法約束了小學(xué)生“說(shuō)理”行為，將其放在了“聽(tīng)理”位置上。所以以“說(shuō)理”撬開(kāi)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的杠桿，教師應(yīng)以升級(jí)學(xué)法為輔，并借此引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

（一）猜想：“說(shuō)理”的起點(diǎn)

“說(shuō)理”要求學(xué)生說(shuō)出知識(shí)原理與應(yīng)用道理，即：是什么、怎樣用、為什么，而將此類(lèi)信息表達(dá)出來(lái)，需要學(xué)生在頭腦中對(duì)可能是什么、可能為什么、可能怎樣用形成一定想法，這便是猜想的重要意義。教師在升級(jí)學(xué)法基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主“說(shuō)理”，可以先使其對(duì)知識(shí)展開(kāi)猜想，再指導(dǎo)他們根據(jù)猜想進(jìn)行“說(shuō)理”。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)，遵循學(xué)生自主原則，在“說(shuō)理”課程活動(dòng)中，教師可靈活應(yīng)用案例教學(xué)法，通過(guò)媒體課件出示“145 × 12”算式及其部分筆算計(jì)算過(guò)程，形成案例。

基于此案例，學(xué)生主動(dòng)對(duì)剩余部分“積”的計(jì)算方式展開(kāi)思考，并借助“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“兩位數(shù)乘一位數(shù)”等乘法學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出“讓12的十位與145分別相乘，將所得之積與12的十位對(duì)齊落下來(lái)”猜想。而后，教師便可引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出如此猜想的道理，使其在猜想下闡述計(jì)算原理。學(xué)生分析算式已有部分，是145 與12 中個(gè)位數(shù)字2 的乘積，因?yàn)槭桥c個(gè)位數(shù)相乘得到的，積得到后與12 的個(gè)位對(duì)齊。并且，通過(guò)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的乘法，學(xué)生已經(jīng)知道了豎式筆算乘法的要點(diǎn)就是“先用乘數(shù)個(gè)位乘被乘數(shù)，得數(shù)末位和乘數(shù)的個(gè)位對(duì)齊，再用乘數(shù)十位上的數(shù)乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的十位對(duì)齊”。接下來(lái)的計(jì)算，讓145與12中的十位數(shù)字1相乘，并在寫(xiě)下得數(shù)時(shí)使其末位與12十位對(duì)齊。這樣的計(jì)算方法，在所有“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算中都是通用的。以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與結(jié)果為佐證，學(xué)生猜想與算理表達(dá)更有說(shuō)服力，更加準(zhǔn)確。通過(guò)“說(shuō)理”將運(yùn)算思維內(nèi)化于心，學(xué)生加強(qiáng)對(duì)案例的認(rèn)知，加深對(duì)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”運(yùn)算方法的掌握，深度學(xué)習(xí)隨之實(shí)現(xiàn)。

（二）實(shí)踐：“說(shuō)理”的通道

紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行，深度學(xué)習(xí)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)杜絕“紙上談兵”問(wèn)題，讓學(xué)生將知識(shí)運(yùn)用在實(shí)踐中，培養(yǎng)其實(shí)踐能力。因此教師可以在教學(xué)中通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)建構(gòu)“說(shuō)理”通道，鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)踐中闡述知識(shí)應(yīng)用道理，同時(shí)借助實(shí)踐契機(jī)培養(yǎng)其解決問(wèn)題能力。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“解簡(jiǎn)易方程”教學(xué)，以充分講解“方程的意義”“等式的性質(zhì)”“解方程”等理論原理為前提條件，教師設(shè)計(jì)實(shí)踐應(yīng)用題目并要求學(xué)生進(jìn)行自主解答。在學(xué)生列出正確方程并成功解答題目后，要求他們得列方程、解方程道理說(shuō)出來(lái)。

例如，學(xué)校為舉辦元旦聯(lián)歡會(huì)買(mǎi)了一些水果，其中，橘子有15 千克，蘋(píng)果有21 千克，共花費(fèi)了230.7元。已知每千克蘋(píng)果6.7元，那么每千克橘子的價(jià)格是多少？（請(qǐng)列方程進(jìn)行解答）

1.審題，找出未知數(shù)，即：每千克橘子的價(jià)格，設(shè)未知數(shù)為x；2.分析題目數(shù)量關(guān)系，找出等量信息——橘子與蘋(píng)果的總價(jià)是230.7元；3.根據(jù)等量關(guān)系列出方程21 × 6.7 + 15x = 230.7；4.利用“解方程”知識(shí)解方程，得出未知數(shù)；5.檢驗(yàn)、整理答案并回答問(wèn)題：每千克橘子的價(jià)格是6元；6.“說(shuō)理”解釋實(shí)踐過(guò)程。

學(xué)生根據(jù)“實(shí)際問(wèn)題與方程”學(xué)習(xí)成果可知，列方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要先找出未知數(shù)并將其用字母x進(jìn)行表示，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程，最后運(yùn)用“移項(xiàng)”方法解方程。當(dāng)解出未知數(shù)結(jié)果后，為保證答案的準(zhǔn)確性，還應(yīng)將其代入原等量關(guān)系中進(jìn)行檢驗(yàn)。如此，再一次將“列方程解決實(shí)際問(wèn)題”的原理與道理說(shuō)出來(lái)，同時(shí)回顧、應(yīng)用“解方程”基本原理，學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步掌握“簡(jiǎn)易方程”知識(shí)點(diǎn)，提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

（三）質(zhì)疑：“說(shuō)理”的創(chuàng)新

質(zhì)疑是小學(xué)生寶貴的思維品質(zhì)，在其數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，若學(xué)生能主動(dòng)對(duì)知識(shí)質(zhì)疑，以釋疑為導(dǎo)向，他們自然能加深關(guān)于質(zhì)疑內(nèi)容的思考，進(jìn)而通過(guò)此過(guò)程提高學(xué)習(xí)效果。所以在因“說(shuō)理”而“深度”的小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動(dòng)中，教師還可以嘗試創(chuàng)新質(zhì)疑教學(xué)方法，先有意設(shè)計(jì)矛盾引發(fā)學(xué)生關(guān)于知識(shí)的質(zhì)疑，再組織他們探究質(zhì)疑相關(guān)問(wèn)題，闡述質(zhì)疑與釋疑之理。例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體的表面積”教學(xué)，教師一邊在講臺(tái)上展示長(zhǎng)、寬、高不同的長(zhǎng)方體實(shí)物，一邊提出“計(jì)算它的表面積，可以直接用長(zhǎng)×寬×6”想法。由此，學(xué)生困惑被引發(fā)，對(duì)教師質(zhì)疑，并在合理質(zhì)疑基礎(chǔ)上展開(kāi)“說(shuō)理”學(xué)習(xí)。

學(xué)生1：“老師，你這樣計(jì)算是不對(duì)的，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是不同的，長(zhǎng)×寬是底面和頂面的面積，無(wú)法代表兩個(gè)側(cè)面和前后面的面積，所以長(zhǎng)×寬×6的計(jì)算方法應(yīng)該是錯(cuò)誤的?！睂W(xué)生2：“在長(zhǎng)×寬×6的啟發(fā)下，我認(rèn)為上下兩面的面積計(jì)算方法是長(zhǎng)×寬×2，左右兩面的面積可以通過(guò)長(zhǎng)×寬×2進(jìn)行計(jì)算，前后兩個(gè)面的面積是長(zhǎng)×寬×2?！睂W(xué)生3：“長(zhǎng)方體的表面積是它所有表面的面積和，所以，整個(gè)表面積的計(jì)算方法就是2 長(zhǎng)×寬+2 寬×高+2 長(zhǎng)×高，也就是2（長(zhǎng)×寬+寬×高+長(zhǎng)×高）?！?/p>

形成困惑前提下，學(xué)生合作形成。在合作中探究長(zhǎng)方體表面積與不同面的面積關(guān)系、不同面的面積計(jì)算方法，而后整合所得結(jié)論，分析其內(nèi)在原理，學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)“長(zhǎng)方體表面積計(jì)算”的自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)合作意識(shí)，提升邏輯思維水平，均促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

三、結(jié)語(yǔ)

“說(shuō)理”在小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的地位，是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思維的重要手段，是教師落實(shí)深度教學(xué)的必然趨勢(shì)，需要教師有意實(shí)踐，更需要學(xué)生的有意參與。新時(shí)期以深度學(xué)習(xí)為導(dǎo)向的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，教師與學(xué)生應(yīng)深化“說(shuō)理”研討與嘗試，多維分析打破刻板教學(xué)思維定式、深化“說(shuō)理”的突破口，為課程活動(dòng)注入“說(shuō)理”深意，為學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)動(dòng)力。