借助函數(shù)思想 指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)解題研究

張海濤

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 221116)

隨著知識(shí)要素在社會(huì)發(fā)展中的日益滲透，教育更加關(guān)注對(duì)于學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的提升.初中數(shù)學(xué)是學(xué)生后期學(xué)習(xí)知識(shí)的重要基礎(chǔ)和工具，然而初中數(shù)學(xué)涉及的方法和知識(shí)點(diǎn)較多，單純的理論學(xué)習(xí)和知識(shí)點(diǎn)的硬性記憶很難滿足學(xué)生后期對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維的培養(yǎng)，要通過(guò)思維方面的訓(xùn)練來(lái)強(qiáng)化其解題思維、解題邏輯，相關(guān)人員應(yīng)該對(duì)此給予足夠重視.

1 函數(shù)思想的相關(guān)含義介紹

1.1 函數(shù)思想

眾所周知，函數(shù)是對(duì)一種映射關(guān)系的反映，其通過(guò)相應(yīng)的符號(hào)表示物之間的基本數(shù)量特征關(guān)系以及制約因素.在初中整個(gè)三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，函數(shù)思想始終與各個(gè)知識(shí)模塊存在著較大的互動(dòng)和緊密聯(lián)系，將諸多獨(dú)立的知識(shí)模塊進(jìn)行系統(tǒng)的串聯(lián)，從而形成系統(tǒng)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

1.2 借助函數(shù)思想指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)解題的含義

應(yīng)用函數(shù)思想來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決的主要含義在于運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)理論來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)和變化的角度對(duì)問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析和研究，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的有效解決.整體而言，函數(shù)的思想方法就是能夠綜合運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，運(yùn)用集合和對(duì)應(yīng)的關(guān)系分析問(wèn)題，并通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化等多種方式來(lái)構(gòu)造函數(shù)，這樣就能夠充分地運(yùn)用函數(shù)的圖像和相關(guān)性質(zhì)，獲得對(duì)問(wèn)題的有效解決辦法.

1.3 在初中階段的主要數(shù)學(xué)思想

在初中階段的教學(xué)中，通過(guò)函數(shù)思想解決問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)的是不僅要用其來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題，也可以通過(guò)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式的方法來(lái)解決非函數(shù)的問(wèn)題，這是函數(shù)思想的核心要素和價(jià)值所在.例如：中學(xué)的數(shù)學(xué)中，涉及到代數(shù)式、方程、數(shù)列、不等式等問(wèn)題都可以將其中介入的函數(shù)思想一一表現(xiàn)，由此可見(jiàn)，函數(shù)思想的應(yīng)用范圍非常廣泛.

2 應(yīng)用函數(shù)思想解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的重要意義

從以上的闡述之中，我們能夠意識(shí)到函數(shù)思想不僅能夠有助于對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立，也有助于對(duì)于學(xué)生解題問(wèn)題能力的提升，對(duì)整體的學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)具有重要意義.同時(shí)，函數(shù)思想能夠體現(xiàn)在以下幾方面的顯著價(jià)值意義：

2.1 函數(shù)思想方法符合新的教學(xué)理念

在實(shí)際的初中教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，越來(lái)越強(qiáng)調(diào)教學(xué)理念與教學(xué)實(shí)踐方法的充分融合，注重對(duì)于學(xué)生思維和素質(zhì)能力的培養(yǎng)，不再僅僅局限于對(duì)于知識(shí)的簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí).因此，將函數(shù)思想運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程當(dāng)中，是符合新的形勢(shì)需要，也符合課程改革和課程理念的深化.因此，其可以為相關(guān)教學(xué)工作的開(kāi)展提供更多的視角.

2.2 進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，僅僅是針對(duì)于不同的模塊而采取單獨(dú)的教學(xué)方法，很容易讓學(xué)生忽略知識(shí)之間的聯(lián)系，而且長(zhǎng)此以往，學(xué)生也很容易覺(jué)得知識(shí)比較枯燥.然而，通過(guò)函數(shù)思想方法的運(yùn)用，能夠讓學(xué)生在另一角度認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中存在的巧妙聯(lián)系，而且用不同的方法來(lái)對(duì)于同一問(wèn)題進(jìn)行解決的過(guò)程當(dāng)中，能夠發(fā)現(xiàn)更多的樂(lè)趣和奇妙之處，將活力元素滲透到課堂氛圍之中，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中產(chǎn)生更多的積極熱情.

2.3 強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維和綜合能力

將函數(shù)思想方法運(yùn)用到解題過(guò)程當(dāng)中，能夠讓學(xué)生加強(qiáng)其自身的自主探究能力，認(rèn)識(shí)和體認(rèn)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中存在的發(fā)展空間，而且在分析問(wèn)題時(shí)也能夠更加深入強(qiáng)化自身的邏輯能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題良好的分析歸納和總結(jié)，這對(duì)于其后期學(xué)習(xí)能力和生活能力的提升都具有重要的價(jià)值和作用.

3 在初中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想對(duì)于問(wèn)題解決的工具要素

3.1 函數(shù)的定義域、值域思想

在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)涉及到“給定定義域，求函數(shù)值的取值范圍”的問(wèn)題.對(duì)于這種類(lèi)型，我們首先需要對(duì)于題目進(jìn)行分析，通常題目會(huì)指定函數(shù)的定義域作為設(shè)定條件，然后讓我們通過(guò)函數(shù)解析式的代入、分析和計(jì)算來(lái)考量自變量的取值范圍，在分析完題目之后，我們可以根據(jù)題目的設(shè)立，來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)討論，實(shí)際上我們可以分段討論，假設(shè)對(duì)任何一段數(shù)值都是有意義的，然后對(duì)此前提進(jìn)行分類(lèi)討論，即當(dāng)其處于什么階段時(shí)，滿足哪些要求.當(dāng)處于另一條件判斷時(shí)，又滿足哪些要求，從而對(duì)于以上結(jié)果進(jìn)行總結(jié).從給定的定義域內(nèi)容進(jìn)行取值，通過(guò)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行數(shù)值的演變，從而能夠?qū)瘮?shù)的取值范圍進(jìn)行最終的整合.

3.2 要充分利用函數(shù)當(dāng)中的單調(diào)性思想

在函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，單調(diào)性是后期集結(jié)實(shí)際的函數(shù)問(wèn)題以及將后期其他問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的重要工具，尤其是對(duì)于求值范圍的確定是非常有效的.例如，在研究二次函數(shù)時(shí)要充分結(jié)合二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸以及給定區(qū)間相應(yīng)的關(guān)鍵要素和前提，對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，充分認(rèn)識(shí)到對(duì)稱(chēng)軸和端點(diǎn)這些關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于數(shù)值確定的價(jià)值作用，從而在解題的過(guò)程當(dāng)中，精準(zhǔn)鎖定相關(guān)取值范圍.當(dāng)然，還可以用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決冪函數(shù)等相應(yīng)問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行精準(zhǔn)的探討.

3.3 掌握函數(shù)的奇偶性性質(zhì)

當(dāng)函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，可以結(jié)合其對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，準(zhǔn)確找到其對(duì)稱(chēng)軸，從而將題干所給的信息進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，然后再結(jié)合圖像在實(shí)際的方向位置，進(jìn)行平移，從而得出相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸.當(dāng)然，還可以從反面來(lái)進(jìn)行分析，當(dāng)其為偶函數(shù)時(shí)，推證其對(duì)稱(chēng)軸有什么特征，以及其對(duì)稱(chēng)軸兩面的數(shù)值有哪些特征，從而進(jìn)一步推理，為整個(gè)邏輯推理的數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)換奠定基礎(chǔ).

3.4 掌握函數(shù)的周期性的思想

在實(shí)際的解題過(guò)程當(dāng)中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)，需要對(duì)于函數(shù)的周期性進(jìn)行分析，從而在探索的過(guò)程當(dāng)中，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，為后期問(wèn)題的分析和解決提供思路.

3.5 利用函數(shù)圖像來(lái)解決問(wèn)題的思想

函數(shù)的圖像能夠憑借其較強(qiáng)的具象化的特征，使問(wèn)題變得更加明朗.例如，在給定條件當(dāng)中設(shè)定某些條件，然后再對(duì)于實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解，將該問(wèn)題進(jìn)行化簡(jiǎn)，具體而言，根據(jù)題干條件，然后由誰(shuí)能得到誰(shuí)不斷地進(jìn)行推理，并且結(jié)合相應(yīng)的區(qū)間和其取值范圍、單調(diào)關(guān)系來(lái)做出相應(yīng)的圖像，這樣能夠進(jìn)一步分析其整體的變化關(guān)系，從而有助于學(xué)生有針對(duì)性地實(shí)現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題的解決.

4 借助函數(shù)思想轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問(wèn)題的案例分析

4.1 運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題

函數(shù)和方程是初中數(shù)學(xué)中尤為關(guān)鍵的兩個(gè)模塊知識(shí)，二者之中存在著較為密切的聯(lián)系和關(guān)系架構(gòu).從某種程度來(lái)說(shuō)，方程與函數(shù)呈現(xiàn)的是局部和整體的關(guān)系，因此，在遇到方程問(wèn)題時(shí)，就可以及時(shí)聯(lián)想到函數(shù)的思想方法.例如：在解方程時(shí)，如果不確定答案是否唯一時(shí)，就可以將方程轉(zhuǎn)換，充分利用函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)，對(duì)方程解的個(gè)數(shù)實(shí)現(xiàn)初步的探索.

4.2 運(yùn)用函數(shù)思想解決不等式問(wèn)題

函數(shù)是反映變量之間關(guān)系的，利用此關(guān)系可以對(duì)不等式問(wèn)題給予進(jìn)一步的探析，即運(yùn)用函數(shù)思想來(lái)對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行有效解決.例如：在銳角三角形ABC中，求證：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.通常在面對(duì)此問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思路是通過(guò)比較復(fù)雜的三角式變形的方式來(lái)對(duì)該不等式加以證明，但是這種途徑的復(fù)雜程度以及準(zhǔn)確性都值得商榷，然而，如果我們能夠利用三角形的函數(shù)關(guān)系加以分析，就可以很快得到答案.因?yàn)?，A、B、C在銳角三角形中，所以三個(gè)角都是小于90度的，并可以結(jié)合正弦函數(shù)的周期單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而可得sinC>cosA，sinA>cosB，sinB>cosC，從而左右各自相加，可以得到最終的結(jié)論.

4.3 運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列從定義的角度來(lái)看，是一種建立在一定正整數(shù)集的子集范圍內(nèi)的特殊函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想分析數(shù)列問(wèn)題.函數(shù)思想介入，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)列的概念、通項(xiàng)、等差數(shù)列、等比數(shù)列的單調(diào)性和最值問(wèn)題深入的理解，有效實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的解決.例如：在等差數(shù)列{an}中，公差d的幾何意義可以從數(shù)列在坐標(biāo)平面中的映射關(guān)系進(jìn)行理解，其就是等差數(shù)列各點(diǎn)所在直線的斜率.

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中函數(shù)思想尤為關(guān)鍵，其不僅能夠幫助學(xué)生直觀解決函數(shù)的基本問(wèn)題，同時(shí)也有助于對(duì)函數(shù)思想進(jìn)行更好地理解，在其他題目當(dāng)中進(jìn)行廣泛的聯(lián)系與能力的遷移，進(jìn)一步為問(wèn)題的解決找到更為合理的流程和路徑.當(dāng)然，在結(jié)合的過(guò)程當(dāng)中要充分識(shí)別這些函數(shù)思想的重要解題思路和思想要素，這樣在解題的過(guò)程當(dāng)中才能夠?qū)⑦@些關(guān)鍵的函數(shù)特征和價(jià)值工具進(jìn)行有效的遷移，從而在一定程度上為整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升創(chuàng)造更多有利的條件.