重視數(shù)學應用，提升數(shù)學建模能力

吳旭寶 劉明

【摘 要】新高考更加重視對數(shù)學建模核心素養(yǎng)的考查，試題具有“展現(xiàn)中國古代數(shù)學文化”“體現(xiàn)數(shù)學的應用價值”“感受數(shù)學之美”等特點。因此，在平時的教學中，應當重視數(shù)學應用題的教學，讓學生形成數(shù)學應用題的基本解題策略，并通過開展數(shù)學閱讀等途徑提高學生的數(shù)學建模能力。

【關鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學建模;考查特點;培養(yǎng)方式

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2022）11-0040-04

【作者簡介】1.吳旭寶，江蘇省鹽城市田家炳中學（江蘇鹽城，224000）教師，一級教師;2.劉明，南京師范大學附屬中學（南京，210003）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

2020年全國各地陸續(xù)實施新課程、新高考。在新高考中，數(shù)學建模這一核心素養(yǎng)將如何考查？下面筆者結合自己對新課標、新高考試題的學習和研究，談一些初步的思考，供同行們參考。

一、新課標重視數(shù)學建模

1.新課標將數(shù)學建模納入高中數(shù)學的課程內容。

2017年版新課標與原來的課程標準相比，進行了較大幅度的修訂：在課程目標上，新增了學科核心素養(yǎng)（即六大核心素養(yǎng)），認為“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)”;在課程內容上，增設“數(shù)學的建?；顒优c數(shù)學探究活動”，形成了高中數(shù)學課程內容的四條主線——函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動;在教學建議部分，提出了“突出學科核心素養(yǎng)、整體把握教學內容”等建議;在學業(yè)評價方面，提出了“注重對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能的關系”等命題原則。[1]

2.新高考將數(shù)學建模作為學科素養(yǎng)的考查內容。

《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》對高考命題工作提出了如下要求：“突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力。創(chuàng)新試題形式，加強情境設計，注重聯(lián)系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題。”[2]此外，教育部考試中心編寫的《中國高考評價體系說明》指出：“高考評價體系將考查的素質教育目標提煉為‘核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識’四層內容”;而“數(shù)學學科素養(yǎng)包括理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探究、數(shù)學文化四項內容”。[3]可見，“數(shù)學應用”在考試評價中具有重要的地位，應當給予足夠的重視。

二、新高考試題對數(shù)學應用的考查情況

2020年，山東、海南兩省進入新高考;2021年，全國又有8個省份進入新高考。新高考在數(shù)學應用的考查方面，有如下的特點。

2020年山東卷和海南卷，一共考查了6道應用題（單選題4道、填空題1道、解答題1道）。盡管2021年新課標Ⅰ卷的應用題題量較2020年有所減少，共考查3題道（1道單選題、1道填空題、1道應用題），但隨著評價改革的不斷推進，新高考試題中的應用題將會有一定程度的增加。

1.展現(xiàn)中國古代數(shù)學文化。

在歷年的高考試題中，經常會出現(xiàn)一些有關中國古代數(shù)學文化的試題，以此對學生進行中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的教育，新高考命題也是如此。

例1（2020年山東卷、海南卷試題）：日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間。把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面。在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（ ?）。

A. 20° ? ? ?B. 40° ? ? C. 50° ? ? D. 90°

從考查的內容來看，本題以中國古代測定時間的儀器“日晷”為載體，考查了球體的相關計算，不僅涉及立體幾何中平面平行、線面垂直的性質，還涉及“緯度”這一地理知識（即直線與平面所成角的概念），對學生的空間想象能力有較高的要求，并且在一定程度上體現(xiàn)了學科綜合的要求。

此類試題的考查目的是以“立德樹人”為導向，讓學生了解中國歷史上的數(shù)學成就，了解中國歷代數(shù)學家對數(shù)學的貢獻，激勵學生繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)具有愛國情懷的社會主義事業(yè)的建設者和接班人。

2.體現(xiàn)數(shù)學的應用價值。

在新高考數(shù)學應用試題中，也有體現(xiàn)數(shù)學在社會實踐及科學研究中廣泛應用的試題。

例2（2020年山東卷、海南卷試題）：基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎疫情的流行病學基本參數(shù)。基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）=ert描述累計感染病例數(shù)I（t）隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT。有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6。據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為（ln2≈0.69）（ ?）。

A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天

本題以近兩年來的新冠肺炎疫情這一重大社會事件為實際背景，是一道考查指數(shù)型函數(shù)模型的數(shù)學應用題。這樣的試題，不僅讓學生充分感受到“數(shù)學處處可見”，提高對數(shù)學的認識，而且能夠引導學生關注生活、關注社會。

3.感受數(shù)學之美。

數(shù)學既是運算與推理的工具，也是一種表達和交流的語言，是人類文明的一個重要組成部分。因此，新高考試題將會出現(xiàn)更多的引導學生感受數(shù)學之美的試題。

例3（2019年全國高考Ⅰ卷試題）：古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是[5-12]（[5-12] ≈ 0.618，稱為“黃金分割比例”），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是[5-12]。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（ ?）。

A.165 cm ? ?B.175 cm

C.185 cm ? ?D.190 cm

此題可以選擇兩種不同的解題思路，第一種思路運用生物學知識，利用腿長估算身高;第二種思路利用不等式，求出身高的取值范圍。本題中，命題者給出了與兩個黃金分割比不相吻合的條件，就是為了引導考生在難以由“等量關系”估算身高時，應當考慮運用“不等式”這一數(shù)學模型來解決問題。此外，本題很好地體現(xiàn)了新課程理念：重視學科綜合（涉及生物學知識），考查學科核心素養(yǎng)（考查了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)）。這樣的試題不僅發(fā)展了學生體驗美、感受美的能力，而且還能夠激發(fā)學生未來繼續(xù)學習數(shù)學、研究數(shù)學的興趣。

三、對數(shù)學應用能力培養(yǎng)的思考

1.在平時的教學中重視數(shù)學應用的教學。

數(shù)學應用是培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的重要途徑之一。從數(shù)學建模的特點來看，它是在對實際問題進行數(shù)學抽象的基礎上，用數(shù)學語言表達實際問題、用數(shù)學方法建立恰當?shù)臄?shù)學模型來解決實際問題的一種方法。

數(shù)學建模的一般過程為：在實際情境中，用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。由此可見，數(shù)學建模需要經歷閱讀理解、數(shù)學抽象、邏輯推理、建立模型、數(shù)學運算等過程，是一項綜合的、復雜的系統(tǒng)工程。上述能力非一朝一夕能夠形成的，教師需要在平時的教學中結合所學內容，選擇與學生能力相適切的數(shù)學應用題，讓學生去思考、研究、解決。

例如，在學習“分段函數(shù)”時，可以選取實際生活中與分段函數(shù)有關的例子（如出租車計價等）;在學習“指數(shù)函數(shù)”時，可以選取銀行存（貸）款問題;在學習“三角函數(shù)”時，可以選用反映周期現(xiàn)象的數(shù)學應用題（如潮汐現(xiàn)象等）;等等。在學習完幾種常見的初等函數(shù)模型之后，我們還可以設計一些讓學生選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來解決實際問題的數(shù)學應用題。

2.讓學生掌握數(shù)學應用題的基本解題策略。

在解數(shù)學應用題時，可按照“理解實際問題—建立數(shù)學模型—求解數(shù)學模型—解決實際問題”的流程進行，其中建立數(shù)學模型是關鍵。

（1）認真審題，實現(xiàn)數(shù)學抽象

正確審題是建立數(shù)學模型的前提。這就需要讓學生在認真閱讀、正確理解題意的基礎上，借助畫圖、列表等手段，從應用題的文本信息中抽象出數(shù)學信息：有哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？這些量之間有什么樣的關系？

（2）恰當設元，建立數(shù)學模型

在審題之后，根據(jù)題目所給的條件與所要求的結論，對下列問題進行理性的思考：已知什么？要求什么？各個量之間有什么關系？本題想考查什么？建立怎樣的數(shù)學模型？如何設元？在思考這些問題的基礎上，設元、建立數(shù)學模型。其中最核心、最困難的環(huán)節(jié)是“尋找各個量之間的關系”。

（3）校驗模型，進行數(shù)學求解

在初步建立數(shù)學模型后，不應急于求解數(shù)學模型，而是應當對自己所建立的數(shù)學模型進行檢驗——檢查自己所建立的數(shù)學模型是否符合實際問題。若不符合實際問題，就要對其進行修正，直到滿足題意為止，然后再進行數(shù)學求解。

（4）回歸實際，給出正確答案

在求解數(shù)學模型后，還要結合應用題的實際意義，檢驗所求得的解是否滿足題意，并給出最終的答案，從而完成解題。

3.開展數(shù)學閱讀提高建模能力。

如前所述，數(shù)學建模問題經常會結合中國數(shù)學史上的重要數(shù)學發(fā)現(xiàn)、反映數(shù)學與生活密切聯(lián)系，以及體現(xiàn)數(shù)學美（數(shù)學文化）的相關內容來考查。因此，教師可以建議學生利用閑暇時間開展數(shù)學閱讀，比如，瀏覽中國歷代數(shù)學家的重要研究成果，閱讀我國古代的高水平的數(shù)學著作以及介紹國外數(shù)學家研究成果的數(shù)學科普讀物，還可以閱讀一些關于數(shù)學美學和數(shù)學文化的讀物。開展好數(shù)學閱讀活動，不僅可以幫助學生拓寬視野、提高解決數(shù)學應用題的能力，而且還能夠讓學生了解中外數(shù)學家對數(shù)學的貢獻，有利于他們葆愛國情懷、立報國之志。

以上是筆者依據(jù)新課標、新高考考試要求的變化情況，結合新高考試題對數(shù)學建模核心素養(yǎng)的考查特點，對數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方式所做的分析和探討。綜上所述，筆者認為教師應時刻關注高考新變化和新方向，在日常的教學中挑選與學生能力相適應的數(shù)學應用題，引導學生形成自己的解題方法，提高學生的數(shù)學建模能力，達到培育數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目的。

【參考文獻】

[1]劉明.新課標視域下高中數(shù)學教學的再審視——從2019年全國Ⅰ卷“維納斯女神像”考題說起[J].江蘇教育，2020（35）：24-29.

[2]國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見 [EB/OL].http：//http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm.

[3]祁平，任子朝，等.指明改革方向繪就培養(yǎng)藍圖——高考評價體系育人視角的解讀與應用[J].數(shù)學通報，2020（4）：1-6，23.

3364501908297